（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十七 坐標(biāo)系與參數(shù)方程講義 理（重點(diǎn)生含解析）（選修4-4）

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1、（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十七 坐標(biāo)系與參數(shù)方程講義 理（重點(diǎn)生，含解析）（選修4-4） 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、曲線方程的求解 參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程的應(yīng)用 參數(shù)方程與普通方程的互化、參數(shù)方程的應(yīng)用 2017 參數(shù)方程與普通方程的互化、點(diǎn)到直線的距離 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法、三角形面積的最值問(wèn)題 直線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法 2016 參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用、直線與圓的位置關(guān)系

2、 參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程及點(diǎn)到直線的距離、三角函數(shù)的最值 縱向把握趨勢(shì) 考題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化、曲線方程的求解及點(diǎn)到直線距離的應(yīng)用．預(yù)計(jì)2019年會(huì)以直線與圓為載體考查直線與圓參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 考題主要涉及直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的互化、軌跡方程的求法、三角形面積的最值問(wèn)題、直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，難度適中．預(yù)計(jì)2019年會(huì)以極坐標(biāo)或參數(shù)方程為載體，考查直線與圓的方程及性質(zhì) 橫向把握重點(diǎn) 1.坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點(diǎn)主要有兩個(gè)方面：一是簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用．

3、 2.全國(guó)卷對(duì)此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 極坐標(biāo)方程及應(yīng)用 (3)直線過(guò)M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 　(2019屆高三·廣州七校第一次聯(lián)考)已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2與曲線C相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A，B，求△AOB的面積． [解]　(1)∵曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， ∴曲線C的普通方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 將代入并化簡(jiǎn)得ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴曲

4、線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)在極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ＝4cos θ＋2sin θ， 由得|OA|＝2＋1. 同理可得|OB|＝2＋. 又∠AOB＝， ∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝. ∴△AOB的面積為. [類題通法] 1．極坐標(biāo)方程與普通方程的互化技巧 (1)巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以ρ或同時(shí)平方技巧，將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化簡(jiǎn)得到普通方程． (2)巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的結(jié)構(gòu)形式，進(jìn)而利用互化公式得到普通方程． (3)將直角坐標(biāo)

5、方程中的x轉(zhuǎn)化為ρcos θ，將y換成ρsin θ，即可得到其極坐標(biāo)方程． 2．求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問(wèn)題的主要方法 (1)直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合使用． (2)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解．若結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)． [應(yīng)用通關(guān)] 1．(2019屆高三·南寧模擬)已知曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin，直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝x. (1)求曲線C1和直線l的極坐標(biāo)方程； (2)已知直線l分別與曲線C1、曲線C2相交于異于極點(diǎn)的A，B兩點(diǎn)，若A，B的

6、極徑分別為ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值． 解：(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 得曲線C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝1， 則C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. 易知直線l過(guò)原點(diǎn)，且傾斜角為， 故直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ， 直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝， 將θ＝代入C1的極坐標(biāo)方程得ρ1＝1， 將θ＝代入C2的極坐標(biāo)方程得ρ2＝4， ∴|ρ2－ρ1|＝3. 2．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐

7、標(biāo)方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程． 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設(shè)知，C1是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2. 由于點(diǎn)B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l

8、1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0. 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)； 當(dāng)k＝－時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝. 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)； 當(dāng)k＝時(shí)，l2與C2沒(méi)有公共點(diǎn)． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 參數(shù)方程及應(yīng)用 [由題知法] 常見(jiàn)的幾種曲線的普通方程和參數(shù)方程 點(diǎn)的 軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線 y－y0＝tan α(x－x0) (t為參數(shù)) 圓 (x－x0)2＋(y－y0)2

9、＝r2 (θ為參數(shù)) 橢圓 ＋＝1(a>b>0) (φ為參數(shù)) 拋物線 y2＝2px (t為參數(shù)) 　　　已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)若直線l與圓C的相交弦長(zhǎng)不小于，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P在圓C上，試求線段PA的中點(diǎn)Q的軌跡方程． [解]　(1)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，得直線l的普通方程為y＝mx， 由圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 得圓C的普通方程為x2＋(y－1)2＝1. 則圓心(0,1)到直線l的距離d＝， 故相交弦長(zhǎng)為2 ， 所以2 ≥， 解得m≤－1或m

10、≥1. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)設(shè)P(cos α，1＋sin α)，Q(x，y)， 則x＝(cos α＋2)，y＝(1＋sin α)， 消去α，整理可得線段PA的中點(diǎn)Q的軌跡方程為 (x－1)2＋2＝. [類題通法] 1．參數(shù)方程化為普通方程消去參數(shù)的方法 (1)代入消參法：將參數(shù)解出來(lái)代入另一個(gè)方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入消參法． (2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去參數(shù)，圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都是運(yùn)用三角恒等式法． (3)常見(jiàn)消參數(shù)的關(guān)系式： ①t·＝1； ②2－2＝4； ③2＋2＝1. 2．

11、與參數(shù)方程有關(guān)問(wèn)題的求解方法 (1)過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù))，|t|等于直線上的點(diǎn)P到點(diǎn)P0(x0，y0)的距離．若直線上任意兩點(diǎn)P1，P2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為(t1＋t2)． (2)解決與直線、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化，主要是通過(guò)互化解決與圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，如最值、范圍等． [應(yīng)用通關(guān)] 1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求C

12、和l的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率． 解：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1.當(dāng)cos α≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tan α·x＋2－tan α， 當(dāng)cos α＝0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)， 所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－， 故2cos α＋sin α＝0， 于是直線l的斜率k＝tan α＝

13、－2. 2．(2018·石家莊質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝－. (1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)和△PAB面積的最小值． 解：(1)由消去參數(shù)t， 得(x＋5)2＋(y－3)2＝2， 所以圓C的普通方程為(x＋5)2＋(y－3)2＝2. 由ρcos＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0. (2)直線l與x軸，y

14、軸的交點(diǎn)分別為A(－2,0)，B(0,2)， 化為極坐標(biāo)為A(2，π)，B， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－5＋cos t,3＋sin t)， 則點(diǎn)P到直線l的距離為 d＝ ＝. 所以dmin＝＝2，又|AB|＝2. 所以△PAB面積的最小值是S＝×2×2＝4. 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合問(wèn)題 [由題知法] 　　　(2018·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過(guò)點(diǎn)(1,0)，傾斜角為α，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝. (1)寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若α＝，設(shè)直線l與曲線C交于

15、A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積． [解]　(1)由題意可得直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． ∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝， ∴ρsin2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin2θ＝8ρcos θ， 即曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝8x. (2)法一：當(dāng)α＝時(shí)，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))， 代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0， 設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝8，t1t2＝－16， ∴|AB|＝|t1－t2|＝＝8. 又點(diǎn)O到直線AB的距離d＝1×sin＝， ∴S△AOB＝×|AB|×d＝×8×＝2. 法二：當(dāng)α＝時(shí)，直線l的方程為y＝x－1，

16、 設(shè)M(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y2－8y－8＝0， 則y1＋y2＝8，y1y2＝－8， ∴S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×＝×＝×4＝2. [類題通法]　解極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問(wèn)題的策略 (1)對(duì)于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標(biāo)的普通方程，這樣思路可能更加清晰． (2)對(duì)于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問(wèn)題，用參數(shù)方程計(jì)算會(huì)比較簡(jiǎn)捷． (3)利用極坐標(biāo)方程解決問(wèn)題時(shí)，要注意題目所給的限制條件及隱含條件． [應(yīng)用通關(guān)] 1．(2018·合肥第一次質(zhì)量檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參

17、數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ－2cos θ＝0. (1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C1上有一動(dòng)點(diǎn)M，曲線C2上有一動(dòng)點(diǎn)N，求|MN|的最小值． 解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0. ∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，∴x2＋y2－2x＝0， 即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)由(1)可知，圓C2的圓心為C2(1,0)，半徑為1. 設(shè)曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)M(3cos θ，2sin θ)， 由動(dòng)點(diǎn)N在圓C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1. ∵|MC2|＝ ＝，

18、 ∴當(dāng)cos θ＝時(shí)，|MC2|min＝， ∴|MN|min＝|MC2|min－1＝－1. 2．(2018·陜西質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(t＞0，α為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝3. (1)當(dāng)t＝1時(shí)，求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值； (2)若曲線C上的所有點(diǎn)都在直線l的下方，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解：(1)由ρsin＝3，得ρsin θ＋ρcos θ＝3， 把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－3＝0， 當(dāng)t＝1時(shí)，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))

19、， 消去參數(shù)得曲線C的普通方程為x2＋y2＝1， ∴曲線C為圓，且圓心為O，半徑r＝1， 則點(diǎn)O到直線l的距離d＝＝， ∴曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為1＋. (2)∵曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的下方， ∴對(duì)任意的α∈R，tcos α＋sin α－3＜0恒成立， 即cos(α－φ)＜3恒成立， ∴ ＜3， 又t＞0，∴0＜t＜2. ∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為(0,2)． [專題跟蹤檢測(cè)](對(duì)應(yīng)配套卷P207) 1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)． (1)求α的取值范圍

20、； (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程． 解：(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1. 當(dāng)α＝時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)． 當(dāng)α≠時(shí)，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－. l與⊙O交于兩點(diǎn)需滿足<1， 解得k<－1或k>1， 即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，<α<）.設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP， 則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 （α為參數(shù)，<α<）. 2．(2018·開(kāi)封模擬

21、)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C2：(x－2)2＋y2＝4，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程和交點(diǎn)A的坐標(biāo)(非坐標(biāo)原點(diǎn))； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為B(非坐標(biāo)原點(diǎn))，求△OAB的最大面積． 解：(1)由(t為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為y＝xtan α，故曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)．將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－2)2＋y2＝4，得C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ.故交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4cos α，α)(也可寫(xiě)出直角坐標(biāo))． (2)由

22、題意知，點(diǎn)B的極坐標(biāo)為. ∴S△OAB＝＝ ， 當(dāng)sin＝－1時(shí)，(S△OAB)max＝2＋2， 故△OAB的最大面積是2＋2. 3．(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，θ∈. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)在曲線C上求一點(diǎn)D，使它到直線l：(t為參數(shù))的距離最短，寫(xiě)出D點(diǎn)的直角坐標(biāo)． 解：(1)由ρ＝2sin θ，可得ρ2＝2ρsin θ， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0. (2)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，消去t得l的

23、普通方程為x＋y－5＝0， 由(1)得曲線C的圓心為(0,1)，半徑為1， 又點(diǎn)(0,1)到直線l的距離為＝2＞1， 所以曲線C與l相離． 因?yàn)辄c(diǎn)D在曲線C上， 所以可設(shè)D(cos α，1＋sin α)，則點(diǎn)D到直線l的距離d＝＝， 當(dāng)sin＝1時(shí)，點(diǎn)D到直線l的距離d最短，此時(shí)α＝，故點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為. 4．(2019屆高三·昆明調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知傾斜角為α的直線l過(guò)點(diǎn)A(2,1)．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，直線l與曲線C分別交于P，Q兩點(diǎn)． (1)寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

24、 (2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直線l的斜率k. 解：(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0， 由Δ＝(4cos α)2－4×3＞0，得cos2α＞， 則t1＋t2＝－4cos α，t1·t2＝3， 由參數(shù)的幾何意義知， |AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|， |PQ|＝|t1－t2|， 由題意知，(t1－t2)2＝t1·t2， 則(t1＋t2)2＝5t1·t2，得(－4cos α)2＝5×3， 解得cos2α＝，滿足cos2α＞，

25、 所以sin2α＝，tan2α＝， 所以直線l的斜率k＝tan α＝±. 5．已知曲線C：(α為參數(shù))和定點(diǎn)A(0，)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是此曲線的左、右焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求直線AF2的極坐標(biāo)方程； (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1且與直線AF2垂直的直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)，求||MF1|－|NF1||的值． 解：(1)曲線C：可化為＋＝1， 故曲線C為橢圓，則焦點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)． 所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，)和F2(1,0)的直線AF2的方程為x＋＝1，即x＋y－＝0， 所以直線AF2的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ＝. (

26、2)由(1)知，直線AF2的斜率為－，因?yàn)閘⊥AF2，所以直線l的斜率為，即傾斜角為30°， 所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入橢圓C的方程中，得13t2－12t－36＝0. 則t1＋t2＝. 因?yàn)辄c(diǎn)M，N在點(diǎn)F1的兩側(cè)， 所以||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝. 6．(2018·濰坊模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ＜π)． (1)寫(xiě)出曲線C1的極坐標(biāo)方程，并求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)； (2)射線θ＝β與曲線C1，

27、C2分別交于點(diǎn)A，B(A，B異于原點(diǎn))，求的取值范圍． 解：(1)由題意可得曲線C1的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， 把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ， 聯(lián)立得4sin θcos2θ＝sin θ，此時(shí)0≤θ＜π， ①當(dāng)sin θ＝0時(shí)，θ＝0，ρ＝0，得交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(0,0)； ②當(dāng)sin θ≠0時(shí)，cos2θ＝，得cos θ＝±， 當(dāng)cos θ＝時(shí)，θ＝，ρ＝2，得交點(diǎn)的極坐標(biāo)為， 當(dāng)cos θ＝－時(shí)，θ＝，ρ＝2，得交點(diǎn)的極坐標(biāo)為， ∴C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(0,0)，，. (2)將θ＝β代入C1的極坐標(biāo)方程中，得

28、ρ1＝4sin β， 代入C2的極坐標(biāo)方程中，得ρ2＝， ∴＝＝4cos2β. ∵≤β≤，∴1≤4cos2β≤3， ∴的取值范圍為[1,3]． 7．(2018·福州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(α為參數(shù)，t＞0)．在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l：ρcos ＝. (1)若l與曲線C沒(méi)有公共點(diǎn)，求t的取值范圍； (2)若曲線C上存在點(diǎn)到l的距離的最大值為＋，求t的值． 解：(1)因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝，即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝2. 因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，t＞0)，

29、 所以曲線C的普通方程為＋y2＝1(t＞0)， 由消去x，得(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0， 所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)＜0， 又t＞0，所以0＜t＜， 故t的取值范圍為(0，)． (2)由(1)知直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0， 故曲線C上的點(diǎn)(tcos α，sin α)到l的距離 d＝， 故d的最大值為， 由題設(shè)得＝＋， 解得t＝±. 又t＞0，所以t＝. 8．(2019屆高三·成都診斷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，過(guò)極點(diǎn)O的

30、射線與曲線C相交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)A，且點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，θ)，其中θ∈. (1)求θ的值； (2)若射線OA與直線l相交于點(diǎn)B，求|AB|的值． 解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲線C的極坐標(biāo)方程為(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4， 即ρ＝4sin θ. 由ρ＝2，得sin θ＝， ∵θ∈，∴θ＝. (2)易知直線l的普通方程為x＋y－4＝0， ∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ－4＝0. 又射線OA的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ≥0)， 聯(lián)立解得ρ＝4. ∴點(diǎn)B的極坐標(biāo)為， ∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.