(通用版)2022年高考數學二輪復習 專題跟蹤檢測(七)三角恒等變換與解三角形 理(重點生含解析)
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1、(通用版)2022年高考數學二輪復習 專題跟蹤檢測(七)三角恒等變換與解三角形 理(重點生,含解析) 1.已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=,c=2,cos A=,則b=( ) A. B. C.2 D.3 解析:選D 由余弦定理得5=22+b2-2×2bcos A, ∵cos A=,∴3b2-8b-3=0, ∴b=3. 2.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,已知a=6,b=4,C=120°,則sin B=( ) A. B. C. D.- 解析:選B 在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2
2、-2abcos C=76,所以c=.由正弦定理得=,所以sin B===. 3.已知△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,則△ABC的面積為( ) A. B.1 C. D.2 解析:選C ∵a2=b2+c2-bc,∴bc=b2+c2-a2, ∴cos A==.∵A為△ABC的內角,∴A=60°,∴S△ABC=bcsin A=×4×=. 4.(2019屆高三·洛陽第一次統(tǒng)考)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a,b,c成等比數列,且a2=c2+ac-bc,則=( ) A. B. C. D. 解
3、析:選B 由a,b,c成等比數列得b2=ac,則有a2=c2+b2-bc,由余弦定理得cos A===,因為A為△ABC的內角,所以A=,對于b2=ac,由正弦定理得,sin2B=sin Asin C=sin C,由正弦定理得,===. 5.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,則C=( ) A. B. C. D. 解析:選B 在△ABC中,sin B=sin(A+C), 則sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, 即
4、sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,
∴cos Asin C+sin Asin C=0,
∵sin C≠0,∴cos A+sin A=0,
即tan A=-1,所以A=.
由=得=,∴sin C=,
又0 5、9,∴BC=3.
∴S△ABC=AB·ACsin∠BAC=×××=,∴BC邊上的高為==1.
7.(2018·開封模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,btan B+btan A=2ctan B,且a=5,△ABC的面積為2,則b+c的值為__________.
解析:由正弦定理及btan B+btan A=2ctan B,
得sin B·+sin B·=2sin C·,
即cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos A,
亦即sin(A+B)=2sin Ccos A,
故sin C=2sin Ccos A.
因為sin C≠0,所以cos 6、 A=,所以A=.
因為S△ABC=bcsin A=2,
所以bc=8.
由余弦定理,知a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc,
可得b+c=7.
答案:7
8.(2018·福州模擬)如圖,小明同學在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛,小明在A處測得公路上B,C兩點的俯角分別為30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽車從B點到C點歷時14 s,則這輛汽車的速度約為______ m/s(精確到0.1).
參考數據: ≈1.414, ≈2.236.
解析:因為小明在A處測得公路上B,C兩點的俯角分別為30°,45°,所以 7、∠BAD=60°,∠CAD=45°.設這輛汽車的速度為v m/s,則BC=14v,在Rt△ADB中AB===200.在Rt△ADC中,AC===100.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,所以(14v)2=(100)2+2002-2×100×200×cos 135°,所以v=≈22.6,所以這輛汽車的速度約為22.6 m/s.
答案:22.6
9.(2018·長春質檢)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若其面積S=b2sin A,角A的平分線AD交BC于點D,AD=,a=,則b=________.
解析:由面積公式S=bcs 8、in A=b2sin A,可得c=2b,即=2.由a=,并結合角平分線定理可得,BD=,CD=,在△ABC中,由余弦定理得cos B=,在△ABD中,cos B=,即=,
化簡得b2=1,解得b=1.
答案:1
10.(2018·昆明調研)已知△ABC的面積為3,AC=2,BC=6,延長BC至D,使∠ADC=45°.
(1)求AB的長;
(2)求△ACD的面積.
解:(1)因為S△ABC=×6×2×sin∠ACB=3,
所以sin∠ACB=,∠ACB=30°或150°,
又∠ADC=45°,所以∠ACB=150°,
由余弦定理得AB2=12+36-2×2×6cos 150°= 9、84,
所以AB=2.
(2)在△ACD中,因為∠ACB=150°,∠ADC=45°,
所以∠CAD=105°,
由正弦定理得=,
即=,
解得CD=3+,
又∠ACD=180°-150°=30°,
所以S△ACD=AC·CD·sin∠ACD
=×2×(3+)×=.
11.(2018·沈陽質檢)在△ABC中,已知內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且2ccos B=2a+b.
(1)求角C的大??;
(2)若a+b=6,△ABC的面積為2,求c.
解:(1)由正弦定理得2sin Ccos B=2sin A+sin B,
又sin A=sin(B+C),
∴2sin 10、 Ccos B=2sin(B+C)+sin B,
∴2sin Ccos B=2sin Bcos C+2cos Bsin C+sin B,
∴2sin Bcos C+sin B=0,
∵sin B≠0,∴cos C=-.
又C∈(0,π),∴C=.
(2)∵S△ABC=absin C=2,∴ab=8,
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=a2+ab+b2=(a+b)2-ab=28,∴c=2.
12.(2018·長沙模擬)在銳角△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,且4sin Acos2A-cos(B+C)=sin 3A+.
(1)求角A的大??;
(2)若 11、b=2,求△ABC面積的取值范圍.
解:(1)∵A+B+C=π,∴cos(B+C)=-cos A. ①
∵3A=2A+A,
∴sin 3A=sin(2A+A)=sin 2Acos A+cos 2Asin A. ②
又sin 2A=2sin Acos A, ③
cos 2A=2cos2A-1, ④
將①②③④代入已知等式,得2sin 2Acos A+cos A=sin 2Acos A+cos 2Asin A+,
整理得sin A+cos A=,
即sin=,
又A∈,∴A+=,即A=.
(2)由(1)得B+C=,∴C=-B,
∵△A 12、BC為銳角三角形,
∴-B∈且B∈,解得B∈,
在△ABC中,由正弦定理得=,
∴c===+1,
又B∈,∴∈(0,),∴c∈(1,4),
∵S△ABC=bcsin A=c,∴S△ABC∈.
故△ABC面積的取值范圍為.
二、強化壓軸考法——拉開分
1.(2018·成都模擬)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,△ABC的外接圓半徑為.則△ABC面積的最大值為( )
A. B.
C. D.
解析:選D 由正弦定理,得===2,所以sin A=,sin B=,sin C=,將其代入2(sin2 13、A-sin2C)=(a-b)sin B得,a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cos C==,又0 14、
解析:選A 法一:由題意可得,sin B+2sin Ccos A=0,即sin(A+C)+2sin Ccos A=0,
得sin Acos C=-3sin Ccos A,即tan A=-3tan C.
又cos A=-<0,所以A為鈍角,于是tan C>0.
從而tan B=-tan(A+C)=-==,由基本不等式,得+3tan C≥2 =2,當且僅當tan C=時等號成立,此時角B取得最大值,且tan B=tan C=,tan A=-,即b=c,A=120°,又bc=1,所以b=c=1,a=,故△ABC的周長為2+.
法二:由已知b+2ccos A=0,得b+2c·=0,整理得2b 15、2=a2-c2.由余弦定理,得cos B==≥=,當且僅當a=c時等號成立,此時角B取得最大值,將a=c代入2b2=a2-c2可得b=c.又bc=1,所以b=c=1,a=,故△ABC的周長為2+.
3.(2019屆高三·惠州調研)已知a,b,c是△ABC中角A,B,C的對邊,a=4,b∈(4,6),sin 2A=sin C,則c的取值范圍為______________.
解析:在△ABC中,由正弦定理得=,
即=,∴c=8cos A,
由余弦定理得16=b2+c2-2bccos A,
∴16-b2=64cos2A-16bcos2A,
又b≠4,∴cos2A===,
∴c2=64c 16、os2A=64×=16+4 B.
∵b∈(4,6),∴32 17、os A,即sin C=2sin Ccos A,
又sin C≠0,所以cos A=,sin A=.
設外接圓的半徑為r,則r=1,
由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc.
當且僅當b=c時,等號成立,
又因為a=2rsin A=,
所以bc≤3,所以S△ABC=bcsin A=bc≤.
答案:
5.(2018·陜西質檢)已知△ABC 的內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且(a2+b2-c2)(acos B+bcos A)=abc,若a+b=2,則c的取值范圍為________.
解析:由sin Acos B+sin B 18、cos A=sin(A+B)=sin C及正弦定理,可知acos B+bcos A=c,
則由(a2+b2-c2)(acos B+bcos A)=abc,
得a2+b2-c2=ab,
由余弦定理可得cos C=,則C=,B=-A,
由正弦定理==,
得==,又a+b=2,
所以+=2,
即c==.
因為A∈,所以A+∈,
所以sin∈,則c∈[1,2).
答案:[1,2)
6.(2018·南昌模擬)如圖,平面上有四個點A,B,P,Q,其中A,B為定點,且AB=,P,Q為動點,滿足關系AP=PQ=QB=1,若△APB和△PQB的面積分別為S,T,則S2+T2的最大值為___ 19、_____.
解析:設PB=2x,則-1<2x<2,
∴<x<1,
∴T2=2=x2(1-x2),
cos∠PAB==,
sin2∠PAB=1-2,
∴S2=2=1-=-(1-x2)2,
∴S2+T2=-(1-x2)2+x2(1-x2),
令1-x2=t,則x2=1-t,0<t<,
∴S2+T2=-t2+(1-t)t=-2t2+t+,
其對稱軸方程為t=,且∈,
∴當t=時,S2+T2取得最大值,
此時S2+T2=-2×++=.
答案:
三、加練大題考法——少失分
1.(2019屆高三·洛陽聯(lián)考)如圖,在△ABC中,點P在BC邊上,∠PAC=60°,PC= 20、2,AP+AC=4.
(1)求∠ACP;
(2)若△APB的面積是,求sin∠BAP.
解:(1)在△APC中,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4,
由余弦定理得
PC2=AP2+AC2-2·AP·AC·cos∠PAC,
所以22=AP2+(4-AP)2-2·AP·(4-AP)·cos 60°,
整理得AP2-4AP+4=0,
解得AP=2,所以AC=2,
所以△APC是等邊三角形,所以∠ACP=60°.
(2)由于∠APB是△APC的外角,
所以∠APB=120°,
因為△APB的面積是,
所以·AP·PB·sin∠APB=,所以PB=3.
在△APB中, 21、由余弦定理得
AB2=AP2+PB2-2·AP·PB·cos∠APB
=22+32-2×2×3×cos 120°=19,
所以AB=.
在△APB中,由正弦定理得=,
所以sin∠BAP==.
2.(2018·開封模擬)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S,已知3a2-4S=3b2+3c2.
(1)求A;
(2)若a=3,求△ABC周長的取值范圍.
解:(1)∵S=bcsin A,
∴由已知得,b2+c2-a2=-S=-·bcsin A,
∴cos A==-sin A,
∴tan A=-,又∵A∈(0,π),∴A=.
(2)在△ABC中,由正弦定理 22、得,
===2,
∴b=2sin B,c=2sin C=2sin,
記△ABC周長為y,
∴y=a+b+c=2sin B+2sin+3
=2sin B+2+3
=sin B+3cos B+3=2sin+3,
∵B∈,∴sin∈,
∴y∈(6,3+2],
∴△ABC周長的取值范圍是(6,3+2].
3. (2018·淄博模擬)在△ABC中,∠BAC=,D為邊BC上一點,DA⊥AB,且AD=.
(1)若AC=2,求BD;
(2)求+的取值范圍.
解:(1)因為∠BAC=,∠BAD=,
所以∠CAD=,在△DAC中,
由余弦定理知
CD2=AC2+AD2-2AC·AD 23、cos=,
得CD=,
從而cos∠ADC===-.
或用正弦定理求得sin∠ADC=
所以cos∠ADB=.
在Rt△DAB中,BD==,
所以所求BD的長為.
(2)設∠ADB=α,則∠ACD=α-,
在Rt△DAB中,=cos α,
在△DAC中,由正弦定理知
==2sin.
于是+=cos α+2sin=sin α.
由題設知<α<,故<sin α<1,
因此所求+的取值范圍為.
4.設函數f(x)=sin x(cos x+sin x)-.
(1)求函數f(x)的最大值,并求此時的x值;
(2)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若f( 24、A)=1,且2bsin B+2csin C=bc+a,求a的值.
解:(1)由題意可得f(x)=sin xcos x+sin2x-
=sin 2x+(1-cos 2x)-
=sin 2x-cos 2x
=sin.
當2x-=+2kπ(k∈Z),
即x=+kπ(k∈Z)時,函數f(x)取得最大值為1.
(2)∵A∈(0,π),∴2A-∈.
又f(A)=sin=1,
∴2A-=,
∴A=.
根據正弦定理==,
得sin B=,sin C=.
∵2bsin B+2csin C=bc+a,
∴2b·+2c·=bc+a,
∴(b2+c2-a2)=abc,
∴·2bccos =abc,
∴a=.
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