(通用版)2022年高考數(shù)學二輪復習 特訓“2+1+2”壓軸滿分練(二)理(重點生含解析)

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1、(通用版)2022年高考數(shù)學二輪復習 特訓“2+1+2”壓軸滿分練(二)理(重點生,含解析) 1.已知A,B,C,D四點均在以點O1為球心的球面上,且AB=AC=AD=2,BC=BD=4,CD=8.若球O2在球O1內(nèi)且與平面BCD相切,則球O2直徑的最大值為(  ) A.1           B.2 C.4 D.8 解析:選D 由題意,得BC2+BD2=CD2,所以BC⊥BD,所以△BCD為等腰直角三角形.如圖,設CD的中點為O,則O為△BCD的外心,且外接圓半徑r=4.連接AO,BO,因為AC=AD=2,所以AO⊥CD,AO=2,又BO=4,所以AO2+BO2=AB2,所以AO

2、⊥BO,所以AO⊥平面BCD,所以球心O1在直線AO上.設球O1的半徑為R,則有r2+OO=R2,即16+(R-2)2=R2,解得R=5.當球O2直徑最大時,球O2與平面BCD相切,且與球O1內(nèi)切,此時A,O,O1,O2四點共線,所以球O2直徑的最大值為R+OO1=8. 2.已知函數(shù)f(x)=(x-a)3-3x+a(a>0)在[-1,b]上的值域為[-2-2a,0],則b的取值范圍是(  ) A.[0,3] B.[0,2] C.[2,3] D.(-1,3] 解析:選A 由題意,得f′(x)=3(x-a)2-3=3(x-a+1)(x-a-1).由f′(x)=0,得x=a+1或x=

3、a-1,所以當a-1a+1時,f′(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(a-1,a+1)上單調(diào)遞減,在(-∞,a-1),(a+1,+∞)上單調(diào)遞增.又f(a+1)=-2a-2,f(a-1)=-2a+2.若f(-1)=-2a-2,即(-1-a)3+3+a=-2a-2,則a=1,此時f(x)=(x-1)3-3x+1,且f(x)=-4時,x=-1或x=2;由f(x)=0,解得x=0或x=3.因為函數(shù)f(x)在[-1,b]上的值域為[-4,0],所以0≤b≤3.若f(-1)>-2a-2,因為a>0,所以a-1>-1,要使函數(shù)f(x)在[-1,b]上的值域為[

4、-2-2a,0],需a+1≤b,此時a-1∈[-1,b],所以 即無解.綜上所述,b的取值范圍是[0,3]. 3.在平面四邊形ABCD中,AB=1,AC=,BD⊥BC,BD=2BC,則AD的最小值為________. 解析:設∠BAC=α,∠ABD=β(β∈(0,π)),則∠ABC=β+.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos α=6-2cos α,由正弦定理,得=,即BC=.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+DB2-2AB·DBcos β=1+4BC2-4BCcos β=1+4(6-2cos α)-4··cos β=25-8cos α-4sin

5、 α=25-20sin(α+θ)(其中sin θ=,cos θ=),所以當sin(α+θ)=1,即sin α=,cos α=時,AD2取得最小值5,所以AD的最小值為. 答案: 4.橢圓E:+=1(a>b>0)的右頂點為A,右焦點為F,上、下頂點分別是B,C,|AB|=,直線CF交線段AB于點D,且|BD|=2|DA|. (1)求E的標準方程; (2)是否存在直線l,使得l交橢圓于M,N兩點,且F恰是△BMN的垂心?若存在,求l的方程;若不存在,說明理由. 解:(1)法一:由題意知F(c,0),A(a,0),B(0,b),C(0,-b), 所以直線AB的方程為+=1, 直線CF的

6、方程為-=1, 由得,xD=. 因為|BD|=2|DA|,所以=2, 所以=| |,得=a, 解得a=2c,所以b==c. 因為|AB|=,即=,所以c=, 所以c=1,a=2,b=, 所以橢圓E的標準方程為+=1. 法二:如圖,設橢圓E的左焦點為G,連接BG, 由橢圓的對稱性得BG∥CF, 則==2, 即|GF|=2|FA|, 由題意知F(c,0),則|GF|=2c, |FA|=a-c, 所以2c=2(a-c),得a=2c, 所以b==c. 因為|AB|=,即=,即c=, 所以c=1,a=2,b=, 所以橢圓E的標準方程為+=1. (2)假設存在直線l,

7、使得F是△BMN的垂心,連接BF,并延長,連接MF,并延長,如圖,則BF⊥MN,MF⊥BN. 由(1)知,B(0,),F(xiàn)(1,0), 所以直線BF的斜率kBF=-, 易知l的斜率存在,設為k,則kBF·k=-1,所以k=, 設l的方程為y=x+m,M(x1,y1),N(x2,y2), 由消去y得13x2+8mx+12(m2-3)=0, 由Δ=(8m)2-4×13×12(m2-3)>0得, -

8、-+=0, 整理得(x1+x2)-x1x2-m2+m=0, 所以·-·-m2+m=0, 整理得21m2-5m-48=0, 解得m=或m=-. 當m=時,M或N與B重合,不符合題意,舍去; 當m=-時,滿足-

9、=0時,u(x)>0,f′(x)>0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞). ②當a>0時,Δ=(4a)2-4a(2a+1)=4a(2a-1), (ⅰ)當a>時,Δ>0,令u(x)=0,得x1=,x2=,且x10,f′(x)>0, 當x∈(x1,x2)時,u(x)<0,f′(x)<0, 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為, ,單調(diào)遞減區(qū)間為. (ⅱ)當00,令u(x)=0,得x1=,x2=,且x2<

10、x1, 所以當x∈(x2,x1)時,u(x)>0,f′(x)>0, 當x∈(-∞,x2)∪(x1,+∞)時,u(x)<0,f′(x)<0, 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為-, . 綜上,當a>時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為; 當0≤a≤時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞); 當a<0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為, . (2)證明:f(x)=(ax2+2ax+1)ex-2=aex(x2+2x)+ex-2, 令φ(a)=aex(x2+2x)+ex-2, 顯然當x≥0時,ex(x2+2x)≥0, 所以當a<-時,φ(a)<φ=-+ex-2. 所以要證當x≥0時,f(x)<0,只需證當x≥0時, -+ex-2≤0, 即證當x≥0時,ex(x2+2x-7)+14≥0. 令g(x)=ex(x2+2x-7)+14, 則g′(x)=ex(x2+4x-5)=(x-1)(x+5)ex, 所以當x∈(0,1)時,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減, 當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增, 所以當x≥0時,g(x)≥g(1)=14-4e>0, 從而當x≥0時,f(x)<0.

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