(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十三 圓錐曲線的綜合問(wèn)題講義 理(重點(diǎn)生含解析)

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1、(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十三 圓錐曲線的綜合問(wèn)題講義 理(重點(diǎn)生,含解析) 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、證明問(wèn)題·T19 直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題、拋物線與圓的綜合問(wèn)題·T19 直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的證明與平面向量綜合問(wèn)題·T20 2017 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題·T20 軌跡問(wèn)題、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題·T20 直線與拋物線的位置關(guān)系、直線方程、圓的方程·T20 2016 軌跡問(wèn)題、定值問(wèn)題、面積的取值范圍問(wèn)題·T20 直線與橢圓的位置關(guān)系、求三角形的面積、參數(shù)的取值范圍問(wèn)題·T

2、20 直線與拋物線的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題、證明問(wèn)題·T20 縱向把握趨勢(shì) 卷Ⅰ3年3考,難度較大,涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、定點(diǎn)問(wèn)題、定值問(wèn)題、軌跡問(wèn)題、取值范圍問(wèn)題及證明問(wèn)題.特別注意2018年高考將此綜合題前移到第19題,難度降低.這一變化,預(yù)計(jì)2019年仍會(huì)以橢圓為載體考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及定點(diǎn)或定值問(wèn)題 卷Ⅱ3年3考,難度偏大,涉及軌跡問(wèn)題、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題、三角形面積、范圍問(wèn)題以及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.特別注意2018年高考將此綜合題前移到第19題,難度降低.這一變化,預(yù)計(jì)2019年會(huì)以橢圓為載體考查弦長(zhǎng)問(wèn)題及弦長(zhǎng)

3、取值范圍問(wèn)題 卷Ⅲ3年3考,涉及直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題及證明問(wèn)題.預(yù)計(jì)2019年會(huì)將拋物線與圓綜合考查,考查直線與圓或拋物線的位置關(guān)系及其應(yīng)用問(wèn)題 橫向把握重點(diǎn) 解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范,是高中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)板塊,是高考考查的重點(diǎn)知識(shí)之一,在解答題中一般會(huì)綜合考查直線、圓、圓錐曲線等.試題難度較大,多以壓軸題出現(xiàn). 解答題的熱點(diǎn)題型有: (1)直線與圓錐曲線位置關(guān)系;(2)圓錐曲線中定點(diǎn)、定值、最值及范圍的求解;(3)軌跡方程及探索性問(wèn)題的求解. 求什么想什么 求拋物線C的方程,想到求p的值 給什么用什么 給出焦點(diǎn)F的坐標(biāo),利用焦點(diǎn)坐標(biāo)與p的關(guān)

4、系求p 求什么想什么 求證:直線AB過(guò)x軸上一定點(diǎn),想到直線AB的方程 給什么用什么 題目條件中給出“A,B是拋物線C上異于點(diǎn)O的兩點(diǎn)”以及“直線OA,OB的斜率之積為-”,可設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),也可設(shè)直線AB的方程 差什么 找什么 要求直線AB的方程,還需要知道直線AB的斜率是否存在,可分類討論解決 ②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+b,A(xA,yA),B(xB,yB),聯(lián)立消去x,化簡(jiǎn)得ky2-4y+4b=0. 所以yAyB=, 因?yàn)橹本€OA,OB的斜率之積為-, 所以·=-, 整理得xAxB+2yAyB=0. 即·+2yAyB=0, 解得yAyB

5、=0(舍去)或yAyB=-32. 所以yAyB==-32,即b=-8k, 所以y=kx-8k,即y=k(x-8). 綜上所述,直線AB過(guò)定點(diǎn)(8,0). [題后悟通] 思路 受阻 分析 不能正確應(yīng)用條件“直線OA,OB的斜率之積為-”是造成不能解決本題的關(guān)鍵 技法 關(guān)鍵 點(diǎn)撥 定點(diǎn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)及求解步驟 解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)是:當(dāng)動(dòng)直線或動(dòng)圓變化時(shí),這些直線或圓相交于一點(diǎn),即這些直線或圓繞著定點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng).這類問(wèn)題的求解一般可分為以下三步: [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(2018·成都一診)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(,0),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸

6、長(zhǎng)的比值為2. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M,N,若點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上,證明直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 解:(1)由題意得,c=,=2,a2=b2+c2, ∴a=2,b=1, ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. (2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m≠1),M(x1,y1),N(x2,y2). 聯(lián)立消去y, 可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. ∴Δ=16(4k2+1-m2)>0, x1+x2=,x1x2=. ∵點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上, ∴·=0.

7、則·=(x1,kx1+m-1)·(x2,kx2+m-1)=(k2+1)x1x2+k(m-1)(x1+x2)+(m-1)2=0, ∴(k2+1)+k(m-1)+(m-1)2=0, 整理,得5m2-2m-3=0, 解得m=-或m=1(舍去). ∴直線l的方程為y=kx-. 易知當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不符合題意. 故直線l過(guò)定點(diǎn),且該定點(diǎn)的坐標(biāo)為. 題型·策略(二)    (2018·沈陽(yáng)質(zhì)監(jiān))設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓+=1上,過(guò)M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足= . (1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程; (2)過(guò)F(1,0)的直線l1與點(diǎn)P的軌跡交于A,B兩點(diǎn),過(guò)F(1

8、,0)作與l1垂直的直線l2與點(diǎn)P的軌跡交于C,D兩點(diǎn),求證:+為定值. [破題思路] 第(1)問(wèn) 求什么 想什么 求點(diǎn)P的軌跡E的方程,想到建立點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的關(guān)系式 給什么 用什么 題目條件中給出= ,利用此條件建立點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系式 差什么 找什么 要求點(diǎn)P的軌跡方程,還缺少點(diǎn)P,M,N的坐標(biāo),可設(shè)點(diǎn)P(x,y),M(x0,y0),N(x,0),然后用x,y表示x0,y0 第(2)問(wèn) 求什么 想什么 要證明+為定值,想到利用合適的參數(shù)表示|AB|和|CD| 給什么 用什么 題目條件給出過(guò)F(1,0)互相垂直的兩條直線分別與軌跡E

9、分別交于A,B和C,D兩點(diǎn),用弦長(zhǎng)公式可求|AB|和|CD| 差什么 找什么 要求|AB|和|CD|,還缺少直線l1和l2的方程,可設(shè)出直線斜率,利用點(diǎn)斜式表示直線方程.但要注意直線斜率不存在的情況 [規(guī)范解答] (1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x,0). ∵= ,∴(0,y)=(x0-x,y0), ∴x0=x,y0=. 又點(diǎn)M在橢圓上,∴+=1, 即+=1. ∴點(diǎn)P的軌跡E的方程為+=1. (2)證明:由(1)知F為橢圓+=1的右焦點(diǎn), 當(dāng)直線l1與x軸重合時(shí), |AB|=6,|CD|==, ∴+=. 當(dāng)直線l1與x軸垂直時(shí),|AB|=,|CD

10、|=6, ∴+=. 當(dāng)直線l1與x軸不垂直也不重合時(shí),可設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1)(k≠0), 則直線l2的方程為y=-(x-1), 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 聯(lián)立消去y,得(8+9k2)x2-18k2x+9k2-72=0, 則Δ=(-18k2)2-4(8+9k2)(9k2-72)=2 304(k2+1)>0, x1+x2=,x1x2=, ∴|AB|= ·=. 同理可得|CD|=. ∴+=+=. 綜上可得+為定值. [題后悟通] 思路 受阻 分析 在解決本題第(1)問(wèn)時(shí),不能正確應(yīng)用= 求得點(diǎn)P的軌跡E的方程,導(dǎo)致第(2)問(wèn)也無(wú)法求

11、解,是解決本題易發(fā)生的錯(cuò)誤之一;在解決第(2)問(wèn)時(shí),忽視直線斜率的不存在性或不能正確求解|AB|,|CD|都是常見解題失誤的原因. 技法 關(guān)鍵 點(diǎn)撥 定值問(wèn)題實(shí)質(zhì)及求解步驟 定值問(wèn)題一般是指在求解解析幾何問(wèn)題的過(guò)程中,探究某些幾何量(斜率、距離、面積、比值等)與變量(斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等)無(wú)關(guān)的問(wèn)題.其求解步驟一般為: [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 2.已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為. (1)求橢圓C的方程; (2)如圖所示,點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:△BDE與

12、△BDN的面積之比為定值,并求出該定值. 解:(1)設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0), 由題意得解得 所以橢圓C的方程為+y2=1. (2)證明:法一:設(shè)D(x0,0),M(x0,y0),N(x0,-y0),-2

13、設(shè)=λ, 則=+=+λ =(2-2cos θ,0)+λ(2cos θ-2,-sin θ) =(2-2cos θ+2λcos θ-2λ,-λsin θ). 又=(2cos θ+2,sin θ),由⊥,得·=0,從而[(2-2cos θ)+λ(2cos θ-2)](2cos θ+2)-λsin2θ=0, 整理得4sin2θ-4λsin2θ-λsin2θ=0,即5λsin2θ=4sin2θ. 所以λ=,所以==. 故△BDE與△BDN的面積之比為定值. [考法二 圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題] 題型·策略(一) 欲求變量的取值范圍,可設(shè)法構(gòu)造含有變量的不等式(組),通過(guò)解不

14、等式(組)來(lái)達(dá)到目的.  已知A是橢圓E:+=1(t>3)的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MA⊥NA. (1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí),求△AMN的面積; (2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),求k的取值范圍. [破題思路] 第(1)問(wèn) 求什么 想什么 求△AMN的面積,想到三角形的面積公式S=×底×高或S=absin C 給什么 用什么 題目條件中給出“MA⊥NA,|AM|=|AN|”,得△AMN為等腰直角三角形,故可利用面積S=|AM||AN|求解 差什么 找什么 到此就缺少|(zhì)AM|,|AN|的值,由于A點(diǎn)已知,故想法求M,N

15、的坐標(biāo) 第(2)問(wèn) 求什么 想什么 求k的取值范圍,想到建立關(guān)于k的不等式 給什么 用什么 題目條件中給出2|AM|=|AN|,可利用此條件建立t與k的關(guān)系式 差什么 找什么 缺少關(guān)于k的不等式,想到t>3即可建立k的不等式 [規(guī)范解答] (1)由|AM|=|AN|,可得M,N關(guān)于x軸對(duì)稱,由MA⊥NA,可得直線AM的斜率k為1. 因?yàn)閠=4,所以A(-2,0), 所以直線AM的方程為y=x+2, 代入橢圓方程+=1,可得7x2+16x+4=0, 解得x=-2或x=-, 所以M,N, 則△AMN的面積為××=. (2)由題意知t>3,k>0,A(-

16、,0), 將直線AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0, 設(shè)M(x1,y1), 則x1·(-)=,即x1=, 故|AM|=|x1+|=. 由題設(shè)知,直線AN的方程為y=-(x+), 故同理可得|AN|=. 由2|AM|=|AN|,得=, 即(k3-2)t=3k(2k-1). 當(dāng)k=時(shí)上式不成立,因此t=. 由t>3,得>3, 所以=<0,即<0. 由此得或 解得

17、t之間的關(guān)系,往往會(huì)忽視題目中的已知條件t>3,不能建立關(guān)于k的不等式,從而導(dǎo)致問(wèn)題無(wú)法求解. 技法 關(guān)鍵 點(diǎn)撥 利用題目中隱藏的已知參數(shù)的范圍求新參數(shù)的范圍問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系,將新參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為已知參數(shù)的范圍問(wèn)題.    設(shè)橢圓+=1(a>)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A.已知|OA|-|OF|=1,其中O為原點(diǎn),e為橢圓的離心率. (1)求橢圓的方程及離心率e的值; (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直線l的斜率的取值范圍. [破題思路] 第(1)

18、問(wèn) 求什么 想什么 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率e的值,想到利用a,b,c的關(guān)系求參數(shù)a及離心率e的值 給什么 用什么 題目條件中給出|OA|-|OF|=1,則a-c=1 差什么 找什么 還缺少一個(gè)關(guān)于a和c的關(guān)系式,可利用a2=b2+c2 第(2)問(wèn) 求什么 想什么 求直線l的斜率k的取值范圍,想到建立關(guān)于斜率k的不等式 給什么 用什么 由題目條件垂直于直線l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H,利用k·kMH=-1,建立關(guān)于k的兩條直線方程,由題目條件∠MOA≤∠MAO,利用三角形的大角對(duì)大邊,建立關(guān)于xM的不等式,利用題目條件BF⊥HF,即·=0建立關(guān)系式

19、 差什么 找什么 還缺少關(guān)于k的不等式,應(yīng)找到xM與k的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于k的不等式 [規(guī)范解答] (1)由題意可知|OF|=c=, 又|OA|-|OF|=1,所以a-=1,解得a=2, 所以橢圓的方程為+=1, 離心率e==. (2)設(shè)M(xM,yM),易知A(2,0), 在△MAO中,∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|, 即(xM-2)2+y≤x+y,化簡(jiǎn)得xM≥1. 設(shè)直線l的斜率為k(k≠0), 則直線l的方程為y=k(x-2). 設(shè)B(xB,yB),聯(lián)立消去y, 整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0, 解得x=2或x=. 由題意得

20、xB=,從而yB=. 由(1)知F(1,0),設(shè)H(0,yH), 則=(-1,yH),=. 由BF⊥HF,得·=0, 即+=0,解得yH=, 所以直線MH的方程為y=-x+. 由消去y,得xM=. 由xM≥1,得≥1,解得k≤-或k≥, 所以直線l的斜率的取值范圍為 ∪. [題后悟通] 思路 受阻 分析 不能將條件中的幾何信息∠MOA≤∠MAO準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化成代數(shù)不等式xM≥1,并將其用直線l的斜率表示出來(lái),得到目標(biāo)不等式,是不能正確求解此題的常見原因. 技法 關(guān)鍵 點(diǎn)撥 利用已知條件中的幾何關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為

21、代數(shù)不等式,從而構(gòu)建出目標(biāo)不等式.  已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C,其上一點(diǎn)Q到兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之和為4,離心率為. (1)求橢圓C的方程; (2)若直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,且線段MN恰被直線x=-平分,設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍. [破題思路] 第(1)問(wèn) 求什么 想什么 求橢圓C的方程,想到求橢圓的長(zhǎng)半軸a和短半軸b的值 給什么 用什么 題目條件中給出橢圓焦點(diǎn)的位置,以及橢圓上一點(diǎn)Q到兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之和及離心率,用橢圓的定義和離心率公式即可求a,b的值 第(2)問(wèn) 求什么 想什么

22、求m的取值范圍,想到建立關(guān)于m的不等式 給什么 用什么 題目條件給出線段MN恰被直線x=-平分,弦MN的垂直平分線方程為y=kx+m,用y=kx+m是弦MN的中垂線及MN的中點(diǎn)在直線x=-上,可設(shè)出中點(diǎn)坐標(biāo)P,建立y0與m的關(guān)系,通過(guò)y0范圍求m范圍或建立m與k的關(guān)系式 差什么 找什么 還缺少建立不等式的條件,注意到MN的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部及直線x=-上,其隱含條件為線段MN的中點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍可確定或聯(lián)立直線l與橢圓方程,利用判別式Δ>0求解 [規(guī)范解答] (1)由題意可設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0), 由條件可得a=2,c=,則b=1. 故橢圓C的方程為+x2=1.

23、 (2)法一:設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P,M(xM,yM),N(xN,yN),則由點(diǎn)M,N為橢圓C上的點(diǎn),可知4x+y=4,4x+y=4,兩式相減, 得4(xM-xN)(xM+xN)+(yM-yN)(yM+yN)=0, 將xM+xN=2×=-1,yM+yN=2y0,=-,代入上式得k=-. 又點(diǎn)P在弦MN的垂直平分線上, 所以y0=-k+m,所以m=y(tǒng)0+k=y(tǒng)0. 由點(diǎn)P在線段BB′上B′(xB′,yB′),B(xB,yB)為直線x=-與橢圓的交點(diǎn),如圖所示, 所以yB′

24、(xM,yM),N(xN,yN),則由點(diǎn)M,N為橢圓C上的點(diǎn),可知4x+y=4,4x+y=4,兩式相減, 得4(xM-xN)(xM+xN)+(yM-yN)(yM+yN)=0, 將xM+xN=2×=-1,yM+yN=2y0,=-,代入上式得y0=-2k. 又點(diǎn)P在弦MN的垂直平分線上, 所以y0=-k+m,所以m=y(tǒng)0+k=-k. 設(shè)直線l的方程為y+2k=-, 即x=-ky-2k2-, 聯(lián)立消去x, 得(4k2+1)y2+8k2k2+y+16k4+8k2-3=0, 由Δ>0,得k∈∪, 所以m=-k∈∪, 即m的取值范圍為∪. [題后悟通] 思路 受阻 分析

25、 利用點(diǎn)差法求解第(2)問(wèn)時(shí),關(guān)鍵是利用點(diǎn)差法得到目標(biāo)參數(shù)m與y0的關(guān)系,再根據(jù)點(diǎn)P與橢圓的位置關(guān)系得到y(tǒng)0的取值范圍,從而求得目標(biāo)參數(shù)m的取值范圍.很多同學(xué)在解決本題時(shí)往往出現(xiàn)如下失誤:(1)忽視y0的取值范圍而造成思路受阻無(wú)法正確求解.(2)利用判別式法求解此題時(shí),抓住直線與圓錐曲線相交這一條件,利用判別式Δ>0構(gòu)建m與k的關(guān)系式,從而得所求,但部分考生忽視Δ>0,導(dǎo)致思路受阻而無(wú)法求解 技法 關(guān)鍵 點(diǎn)撥 (1)利用點(diǎn)在曲線內(nèi)(外)的充要條件構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是抓住目標(biāo)參數(shù)和某點(diǎn)的關(guān)系,根據(jù)點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式. (2)利用判別式構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是抓住直線與

26、圓錐曲線的位置關(guān)系和判別式Δ的關(guān)系建立目標(biāo)不等式 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O,離心率等于,以橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長(zhǎng)為4.直線l:y=kx+m與y軸交于點(diǎn)P,與橢圓E相交于A,B兩個(gè)點(diǎn). (1)求橢圓E的方程; (2)若=3,求m2的取值范圍. 解:(1)根據(jù)已知設(shè)橢圓E的方程為+=1(a>b>0),焦距為2c, 由已知得=,∴c=a,b2=a2-c2=. ∵以橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長(zhǎng)為4, ∴4=2a=4,∴a=2,b=1. ∴橢圓E的方程為x2+=1. (2)根據(jù)已知得P(0,m),設(shè)A(x1,kx1+m

27、),B(x2,kx2+m), 由消去y, 得(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0. 由已知得Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0, 即k2-m2+4>0, 且x1+x2=,x1x2=. 由=3,得x1=-3x2. ∴3(x1+x2)2+4x1x2=12x-12x=0. ∴+=0, 即m2k2+m2-k2-4=0. 當(dāng)m2=1時(shí),m2k2+m2-k2-4=0不成立, ∴k2=. ∵k2-m2+4>0, ∴-m2+4>0,即>0. 解得1

28、+5ay+5a=0,直線l1與l2的交點(diǎn)為M,點(diǎn)M的軌跡為曲線C. (1)當(dāng)a變化時(shí),求曲線C的方程; (2)已知點(diǎn)D(2,0),過(guò)點(diǎn)E(-2,0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),求△ABD面積的最大值. 解:(1)由消去a,得曲線C的方程為+y2=1(y≠-1,即點(diǎn)(0,-1)不在曲線C上). (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my-2, 由得(m2+5)y2-4my-1=0, 則y1+y2=,y1y2=-, 故△ABD的面積S=2|y2-y1|=2=2=, 設(shè)t=,t∈[1,+∞), 則S==≤, 當(dāng)t=,即t=2,m=±時(shí),△ABD的面積取得最大值.

29、 題型·策略(二) 若題目中的條件和要求的結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立目標(biāo)函數(shù),然后根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)建函數(shù)模型求最值,一般情況下,可以構(gòu)建二次型函數(shù)、雙曲線型函數(shù)、多項(xiàng)式型函數(shù)等.  (2018·合肥一檢)在平面直角坐標(biāo)系中,圓O交x軸于點(diǎn)F1,F(xiàn)2,交y軸于點(diǎn)B1,B2.以B1,B2為頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)的橢圓E恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn). (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0)的直線l與橢圓E交于M,N兩點(diǎn),求△F2MN面積的最大值. [破題思路] 第(1)問(wèn) 求什么 想什么 求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程,想到求橢圓長(zhǎng)半軸a和短半軸b的值 給什么

30、 用什么 題目條件給出圓O交x軸于點(diǎn)F1,F(xiàn)2,交y軸于點(diǎn)B1,B2,易知b=c,又橢圓過(guò)點(diǎn),從而可求出a,b的值   第(2)問(wèn) 求什么 想什么 求△F2MN面積的最大值,想到面積公式 給什么 用什么 題干中給出直線l過(guò)點(diǎn)(-2,0),可設(shè)出直線l的方程,利用弦長(zhǎng)公式求|MN|,利用點(diǎn)到直線的距離求d,從而可求△F2MN的面積 差什么 找什么 要求△F2MN面積的最值,需建立相關(guān)函數(shù)模型求解 [規(guī)范解答] (1)由已知可得,橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上.設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),焦距為2c,則b=c, ∴a2=b2+c2=2b2, ∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程

31、為+=1. 又橢圓E過(guò)點(diǎn),∴+=1,解得b2=1. ∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. (2)由于點(diǎn)(-2,0)在橢圓E外,∴直線l的斜率存在. 設(shè)直線l的斜率為k,則直線l:y=k(x+2),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2). 由消去y得,(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0. 由Δ>0,得0≤k2<, 從而x1+x2=,x1x2=, ∴|MN|= |x1-x2|=2·. ∵點(diǎn)F2(1,0)到直線l的距離d=, ∴△F2MN的面積S=|MN|·d=3. 令1+2k2=t,則t∈[1,2), ∴S=3=3 =3=3, 當(dāng)=,即t=時(shí),S有最大值, Sma

32、x=,此時(shí)k=±. ∴當(dāng)直線l的斜率為±時(shí),可使△F2MN的面積最大,其最大值為. [題后悟通] (一)思路受阻分析 解決本例(2)的關(guān)鍵是建立△F2MN的面積S關(guān)于斜率k的關(guān)系式,然后通過(guò)換元構(gòu)造一元二次函數(shù)求解,而很多同學(xué)因不會(huì)構(gòu)造函數(shù)造成思路受阻無(wú)法繼續(xù)求解. (二)技法關(guān)鍵點(diǎn)撥 求圓錐曲線中范圍、最值的2種方法 幾何法 若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)求解 代數(shù)法 若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值、范圍.常用的方法有基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、判別式法等 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 3.

33、(2019屆高三·武漢調(diào)研)已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且離心率為. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),不經(jīng)過(guò)F1的直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A, B.如果直線AF1,l,BF1的斜率依次成等差數(shù)列,求焦點(diǎn)F2到直線l的距離d的取值范圍. 解:(1)由題意,知解得 所以橢圓C的方程為+y2=1. (2)易知直線l的斜率存在且不為零.設(shè)直線l的方程為y=kx+m,代入橢圓方程+y2=1, 整理得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0. 由Δ=(4km)2-8(1+2k2)(m2-1)>0, 得2k2>m2-1.① 設(shè)

34、A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=-,x1x2=. 因?yàn)镕1(-1,0),所以kAF1=,kBF1=. 由題可得2k=+,且y1=kx1+m,y2=kx2+m, 所以(m-k)(x1+x2+2)=0. 因?yàn)橹本€l:y=kx+m不過(guò)焦點(diǎn)F1(-1,0),所以m-k≠0, 所以x1+x2+2=0,從而-+2=0, 即m=k+.② 由①②得2k2>2-1,化簡(jiǎn)得|k|>.③ 焦點(diǎn)F2(1,0)到直線l:y=kx+m的距離 d===, 令t=,由|k|>知t∈(1,). 于是d==, 因?yàn)楹瘮?shù)f (t)=在[1,]上單調(diào)遞減, 所以f ()

35、,解得

36、x2+y2=25(y≠0). (2)依題意知A(-5,0),B(5,0),F(xiàn)(-4,0), 設(shè)Q(x0,y0), ∵線段AB為圓E的直徑,∴AP⊥BP, 設(shè)直線PB的斜率為kPB, 則==-kQFkPB=-kQFkQB =-·=- =-== =, ∵點(diǎn)P不同于A,B兩點(diǎn)且直線QF的斜率存在, ∴-5

37、相切且與圓C外切. (1)求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程; (2)若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(6,0)的直線l與曲線T交于A,B兩點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn),過(guò)M作x軸的平行線與曲線T相交于點(diǎn)N,試問(wèn)是否存在直線l,使得NA⊥NB,若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. [破題思路] 第(1)問(wèn) 求什么想什么 求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程,想到建立點(diǎn)P(x,y)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系式 給什么用什么 題目中給出動(dòng)圓與直線x=-相切,與圓C外切,想到用直線與圓相切以及兩圓外切的條件建立x,y的關(guān)系式 第(2)問(wèn) 求什么想什么 判斷是否存在直線l,使NA⊥NB,想到·=0 給什么用什

38、么 題目中給出直線l過(guò)點(diǎn)Q (6,0)與曲線交于點(diǎn)A,B,過(guò)A,B的中點(diǎn)M作x軸的平行線交曲線T于點(diǎn)N,聯(lián)立直線l與曲線T,利用根與系數(shù)的關(guān)系求解 差什么找什么 缺少直線l的方程,應(yīng)先假設(shè)存在,并設(shè)出直線l的方程求解.要注意討論斜率是否存在 [規(guī)范解答] (1)設(shè)P(x,y),分析可知?jiǎng)訄A的圓心不能在y軸的左側(cè),故x≥0, 因?yàn)閯?dòng)圓與直線x=-相切,且與圓C外切, 所以|PC|-=, 所以|PC|=x+1, 所以 =x+1, 化簡(jiǎn)可得y2=4x. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意可知,當(dāng)直線l與y軸垂直時(shí),顯然不符合題意,故可設(shè)直線l的方程為x=my

39、+6, 聯(lián)立消去x, 可得y2-4my-24=0, 顯然Δ=16m2+96>0, 則 ① 所以x1+x2=(my1+6)+(my2+6)=4m2+12, ② 因?yàn)閤1x2=·,所以x1x2=36, ③ 假設(shè)存在N(x0,y0),使得·`=0, 由題意可知y0=,所以y0=2m, ④ 由N點(diǎn)在拋物線上可知x0=,即x0=m2, ⑤ 又=(x1-x0,y1-y0),=(x2-x0,y2-y0), 若·=0, 則x1x2-x0(x1+x2)+x+y1y2-y0(y1+y2)+y=0, 由①②③④⑤代入上式化簡(jiǎn)可得:3m4+1

40、6m2-12=0, 即(m2+6)(3m2-2)=0, 所以m2=,故m=±, 所以存在直線3x+y-18=0或3x-y-18=0,使得NA⊥N B. [題后悟通] 思路受阻分析 本題(2)中條件的關(guān)系較多且層層遞進(jìn)又相互關(guān)聯(lián).先是過(guò)定點(diǎn)的直線l與曲線T相交于A,B,再是過(guò)A,B中點(diǎn)與x軸平行的直線交曲線T于點(diǎn)N,再是NA⊥NB,能否合理轉(zhuǎn)化這些條件及條件中的關(guān)系是正確解決此題的關(guān)鍵.常因不會(huì)轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)化過(guò)程中計(jì)算失誤導(dǎo)致無(wú)法繼續(xù)解題或解題失誤 技法關(guān)鍵點(diǎn)撥 存在性問(wèn)題的求解方法 (1)解決存在性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”,將不確定性問(wèn)題明朗化.一般步驟: ①假設(shè)滿足條件

41、的曲線(或直線、點(diǎn))等存在,用待定系數(shù)法設(shè)出; ②列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組); ③若方程(組)有實(shí)數(shù)解,則曲線(或直線、點(diǎn)等)存在,否則不存在. (2)反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問(wèn)題常用的方法 題型·策略(二)含字母參數(shù)的存在性問(wèn)題    如圖,橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,離心率e=,直線l的方程為x=4. (1)求橢圓C的方程; (2)AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P),設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M,記直線PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問(wèn):是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. [破題

42、思路] 第(1)問(wèn) 求什么想什么 求橢圓C的方程,想到求a,b的值 給什么用什么 題目條件中給出橢圓過(guò)點(diǎn)P,離心率e=.將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得a,b的關(guān)系式;用離心率公式可得a,c的關(guān)系式,另外,還有a2=b2+c2,即可求得a,b的值 第(2)問(wèn) 求什么想什么 判斷是否存在常數(shù)λ,使k1+k2=λk3成立.想到k1+k2=λk3是否有解 給什么用什么 題目條件中給出直線AB過(guò)右焦點(diǎn)F,且與橢圓及直線l分別交于點(diǎn)A,B,M,直線PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3,想到用斜率公式表示k1,k2,k3 差什么找什么 需要A,B,M的坐標(biāo),可設(shè)出A,B,M的

43、坐標(biāo),通過(guò)建立直線AB與橢圓方程的方程組求得各坐標(biāo)的關(guān)系 [規(guī)范解答] (1)由題意得解得 故橢圓C的方程為+=1. (2)由題意可設(shè)直線AB的斜率為k, 則直線AB的方程為y=k(x-1),① 代入橢圓方程,并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2≠1, 則x1+x2=,x1x2=,② 在方程①中令x=4,得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,3k). 從而k1=,k2=,k3==k-. 因?yàn)锳,F(xiàn),B三點(diǎn)共線,所以k=kAF=kBF, 即==k, 所以k1+k2=+=+-=2k-·,③ 將②代入③得,

44、k1+k2=2k-·=2k-1, 又k3=k-,所以k1+k2=2k3. 故存在常數(shù)λ=2符合題意. [題后悟通] 思路受阻分析 不會(huì)利用A,F(xiàn),B三點(diǎn)共線建立各個(gè)坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系,從而不能將k1+k2進(jìn)行化簡(jiǎn)是導(dǎo)致解題受阻、不能正確求解的主要原因 技法關(guān)鍵點(diǎn)撥 字母參數(shù)值存在性問(wèn)題的求解方法 求解字母參數(shù)值的存在性問(wèn)題時(shí),通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的參數(shù)值存在,然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算,若不出現(xiàn)矛看,并且得到了相應(yīng)的參數(shù)值,就說(shuō)明滿足條件的參數(shù)值存在;若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾,則說(shuō)明滿足條件的參數(shù)值不存在,同時(shí)推理與計(jì)算的過(guò)程就是說(shuō)明理

45、由的過(guò)程 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]  (2019屆高三·福州四校聯(lián)考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P,△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為,設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS,當(dāng)l⊥x軸時(shí),|RS|=3. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)在x軸上是否存在一點(diǎn)T,使得當(dāng)l變化時(shí),總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì),得×2c×b=×(2a+2c)×,所以=. 將x=c代入+=1, 得y=±,所以=3. 又a2=b2+c2,所以a=2,b=, 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=

46、1. (2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),顯然x軸上任意一點(diǎn)T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱. 當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),假設(shè)存在T(t,0)滿足條件,設(shè)l的方程為y=k(x-1),R(x1,y1),S(x2,y2). 聯(lián)立消去y,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 由根與系數(shù)的關(guān)系得①,其中Δ>0恒成立, 由TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱,得kTS+kTR=0(顯然TS,TR的斜率存在), 即+=0.② 因?yàn)镽,S兩點(diǎn)在直線y=k(x-1)上, 所以y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),代入②得 ==0, 即2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t

47、=0.③ 將①代入③得 ==0, 則t=4, 綜上所述,存在T(4,0),使得當(dāng)l變化時(shí),總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱. [高考大題通法點(diǎn)撥] 圓錐曲線問(wèn)題重在“設(shè)”——設(shè)點(diǎn)、設(shè)線 [思維流程]    [策略指導(dǎo)] 圓錐曲線解答題的常見類型是:第1小題通常是根據(jù)已知條件,求曲線方程或離心率,一般比較簡(jiǎn)單.第2小題往往是通過(guò)方程研究曲線的性質(zhì)——弦長(zhǎng)問(wèn)題、中點(diǎn)弦問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題、定點(diǎn)與定值問(wèn)題、最值問(wèn)題、相關(guān)量的取值范圍問(wèn)題等等,這一小題綜合性較強(qiáng),可通過(guò)巧設(shè)“點(diǎn)”“線”,設(shè)而不求.在具體求解時(shí),可將整個(gè)解題過(guò)程分成程序化的三步: 第一步,聯(lián)立兩個(gè)方程,并將

48、消元所得方程的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系正確寫出; 第二步,用兩個(gè)交點(diǎn)的同一類坐標(biāo)的和與積,來(lái)表示題目中涉及的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系; 第三步,求解轉(zhuǎn)化而來(lái)的代數(shù)問(wèn)題,并將結(jié)果回歸到原幾何問(wèn)題中. 在求解時(shí),要根據(jù)題目特征,恰當(dāng)?shù)脑O(shè)點(diǎn)、設(shè)線,以簡(jiǎn)化運(yùn)算.                                     已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),且點(diǎn)P在橢圓C上,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍; (3)過(guò)橢圓C1:+=1上異于其頂點(diǎn)

49、的任一點(diǎn)P,作圓O:x2+y2=的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N(M,N不在坐標(biāo)軸上),若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m,n,證明:+為定值. [破題思路] 第(1)問(wèn) 求什么想什么 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程,想到求a和b的值 給什么用什么 題目條件中給出橢圓的右焦點(diǎn)為F(1,0)以及橢圓上的一點(diǎn)P,將點(diǎn)P代入橢圓方程中,再結(jié)合c2=a2+b2即可求解 第(2)問(wèn) 求什么想什么 求直線l的斜率k的取值范圍,想到建立關(guān)于k的不等式 給什么用什么 題目條件中給出直線l過(guò)定點(diǎn)(0,2)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B且∠AOB為銳角,可用k表示出直線l的方程,與橢圓聯(lián)立,得出關(guān)于x的

50、一元二次方程.由于直線與橢圓相交,故判別式Δ>0,由于∠AOB為銳角,故·>0,從而得出關(guān)于k的不等式 第(3)問(wèn) 求什么想什么 證明:+為定值,想到尋找合適的參數(shù)表示m和n或求出m和n的值 給什么用什么 題目條件中給出M,N是過(guò)橢圓C1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P作圓O的切線所得切點(diǎn)以及m,n為直線MN在x軸、y軸上的截距.用P,M,N的坐標(biāo)表示出切線PM,PN的方程以及直線MN的方程,再用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出m和n 差什么找什么 需求出m,n,可利用P點(diǎn)坐標(biāo)表示m,n.然后借助點(diǎn)P在橢圓C1上求得定值證明問(wèn)題 [規(guī)范解答] (1)由題意得c=1,所以a2=b2+1.① 又

51、點(diǎn)P在橢圓C上,所以+=1.② 由①②可解得a2=4,b2=3, 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)設(shè)直線l的方程為 y=kx+2,A(x1,y1), B(x2,y2), 由得 (4k2+3)x2+16kx+4=0, 因?yàn)棣ぃ?6(12k2-3)>0, 所以k2>, 則x1+x2=,x1x2=. 因?yàn)椤螦OB為銳角, 所以·>0,即x1x2+y1y2>0, 所以x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0, 所以(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0, 即(1+k2)·+2k·+4>0, 解得k2<. 又k2>,所以

52、k<. 故直線l的斜率k的取值范圍為∪. (3)證明:由(1)知橢圓C1的方程為+=1, 設(shè)P(x0,y0),M(x3,y3),N(x4,y4), 因?yàn)镸,N不在坐標(biāo)軸上,所以kPM=-=-, 直線PM的方程為y-y3=-(x-x3), 化簡(jiǎn)得x3x+y3y=.③ 同理可得直線PN的方程為x4x+y4y=.④ 把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入③④得 所以直線MN的方程為x0x+y0y=. 令y=0,得m=,令x=0,得n=, 所以x0=,y0=, 又點(diǎn)P在橢圓C1上, 所以2+32=4,即+=,為定值. [關(guān)鍵點(diǎn)撥] 解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題的步驟 (1)設(shè)方程及點(diǎn)的

53、坐標(biāo); (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組,消元得方程(注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零); (3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式; (4)結(jié)合已知條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長(zhǎng)公式求解. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]  (2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)橢圓C:+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0). (1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程; (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA=∠OM B. 解:(1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1. 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或. 又M(2,0), 所以直線AM的方程為y=-x+或y=x-, 即x+y-2=0或x-y-2=0.

54、 (2)證明:當(dāng)l與x軸重合時(shí),∠OMA=∠OMB=0°. 當(dāng)l與x軸垂直時(shí),OM為AB的垂直平分線, 所以∠OMA=∠OM B. 當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí),設(shè)l的方程為 y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1<,x2<,直線MA,MB的斜率之和為 kMA+kMB=+. 由y1=kx1-k,y2=kx2-k, 得kMA+kMB=. 將y=k(x-1)代入+y2=1, 得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0, 所以x1+x2=,x1x2=. 則2kx1x2-3k(x1+x2)+4k ==0. 從而kMA+kMB=0, 故

55、MA,MB的傾斜角互補(bǔ). 所以∠OMA=∠OMB. 綜上,∠OMA=∠OMB成立. [總結(jié)升華] 解析幾何部分知識(shí)點(diǎn)多,運(yùn)算量大,能力要求高,綜合性強(qiáng),在高考試題中大都是以壓軸題的面貌出現(xiàn),是考生“未考先怕”題型,不是怕解題無(wú)思路,而是怕解題過(guò)程中繁雜的運(yùn)算.因此,在遵循“設(shè)—列—解”程序化運(yùn)算的基礎(chǔ)上,應(yīng)突出解析幾何“設(shè)”的重要性,以克服平時(shí)重思路方法、輕運(yùn)算技巧的頑疾,突破如何避繁就簡(jiǎn)這一瓶頸.     [專題跟蹤檢測(cè)](對(duì)應(yīng)配套卷P195) 1.(2018·武漢調(diào)研)已知拋物線C:x2=2py(p>0)和定點(diǎn)M(0,1),設(shè)過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),拋物線C在

56、A,B處的切線的交點(diǎn)為N. (1)若N在以AB為直徑的圓上,求p的值; (2)若△ABN的面積的最小值為4,求拋物線C的方程. 解:設(shè)直線AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x2-2pkx-2p=0, 則x1+x2=2pk,x1x2=-2p.① (1)由x2=2py得y′=,則A,B處的切線斜率的乘積為=-, ∵點(diǎn)N在以AB為直徑的圓上, ∴AN⊥BN, ∴-=-1,∴p=2. (2)易得直線AN:y-y1=(x-x1), 直線BN:y-y2=(x-x2), 聯(lián)立結(jié)合①式, 解得即N(pk,-1). 所以|A

57、B|=|x2-x1| =· =·, 點(diǎn)N到直線AB的距離d=, 則S△ABN=·|AB|·d=≥2, 當(dāng)k=0時(shí),取等號(hào), ∵△ABN的面積的最小值為4, ∴2=4,∴p=2, 故拋物線C的方程為x2=4y. 2.(2019屆高三·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+y2=1,點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線OP,OQ的斜率分別為k1,k2,若m=,n=,m·n=0. (1)求證:k1·k2=-; (2)試探求△POQ的面積S是否為定值,并說(shuō)明理由. 解:(1)證明:∵k1,k2存在,∴x1x2≠0, ∵m·

58、n=0,∴+y1y2=0, ∴k1·k2==-. (2)①當(dāng)直線PQ的斜率不存在, 即x1=x2,y1=-y2時(shí), 由=-,得-y=0, 又由P(x1,y1)在橢圓上, 得+y=1, ∴|x1|=,|y1|=, ∴S△POQ=|x1|·|y1-y2|=1. ②當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí),設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b(b≠0). 由得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0, Δ=64k2b2-4(4k2+1)(4b2-4)=16(4k2+1-b2)>0, ∴x1+x2=,x1x2=. ∵+y1y2=0, ∴+(kx1+b)(kx2+b)=0, 得2b2-4k2=

59、1,滿足Δ>0. ∴S△POQ=·|PQ| =|b| =2|b|·=1. ∴△POQ的面積S為定值. 3.(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)如圖,在矩形ABCD中,|AB|=4,|AD|=2,O為AB的中點(diǎn),P,Q分別是AD和CD上的點(diǎn),且滿足①=,②直線AQ與BP的交點(diǎn)在橢圓E:+=1(a>b>0)上. (1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)R為橢圓E的右頂點(diǎn),M為橢圓E第一象限部分上一點(diǎn),作MN垂直于y軸,垂足為N,求梯形ORMN面積的最大值. 解:(1)設(shè)AQ與BP的交點(diǎn)為G(x,y),P(-2,y1),Q(x1,2), 由題可知,=. ∵kAG=kAQ,kBG=kBP, ∴=,=-

60、, 從而有=-=-,整理得+y2=1, 即橢圓E的方程為+y2=1. (2)由(1)知R(2,0),設(shè)M(x0,y0),則y0=, 從而梯形ORMN的面積S=(2+x0)y0=, 令t=2+x0,則20,u=4t3-t4單調(diào)遞增, 當(dāng)t∈(3,4)時(shí),u′<0,u=4t3-t4單調(diào)遞減, 所以當(dāng)t=3時(shí),u取得最大值,則S也取得最大值,最大值為. 4.已知拋物線E:y2=2px(p>0),直線x=my+3與E交于A,B兩點(diǎn),且·=6,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求拋

61、物線E的方程; (2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0),記直線CA,CB的斜率分別為k1,k2,證明:+-2m2為定值. 解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 聯(lián)立消去x,整理得y2-2pmy-6p=0, 則y1+y2=2pm,y1y2=-6p,x1x2==9, 由·=x1x2+y1y2=9-6p=6, 解得p=,所以y2=x. (2)證明:由題意得k1==, k2==, 所以=m+,=m+, 所以+-2m2=2+2-2m2 =2m2+12m+36-2m2 =12m·+36·. 由(1)可知:y1+y2=2pm=m,y1y2=-6p=-3, 所以+-2m2=

62、12m·+36·=24, 所以+-2m2為定值. 5.(2018·惠州調(diào)研)已知C為圓(x+1)2+y2=8的圓心,P是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在圓的半徑CP上,且有點(diǎn)A(1,0)和AP上的點(diǎn)M,滿足·=0,=2. (1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡方程; (2)若斜率為k的直線l與圓x2+y2=1相切,與(1)中所求點(diǎn)Q的軌跡交于不同的兩點(diǎn)F,H,O是坐標(biāo)原點(diǎn),且≤·≤,求k的取值范圍. 解:(1)由題意知MQ是線段AP的垂直平分線, 所以|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2, 所以點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)C,A為焦點(diǎn),焦距為2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓, 所以a=

63、,c=1,b==1, 故點(diǎn)Q的軌跡方程是+y2=1. (2)設(shè)直線l:y=kx+t,F(xiàn)(x1,y1),H(x2,y2), 直線l與圓x2+y2=1相切?=1?t2=k2+1. 聯(lián)立?(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0, 則Δ=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)=8(2k2-t2+1)=8k2>0?k≠0, x1+x2=,x1x2=, 所以·=x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2 =+kt+t2 =-+k2+1 =, 所以≤≤?≤k2≤?≤|k|≤, 所以-≤k≤-或≤k≤. 故k的取值范圍是∪. 6.如圖所示,設(shè)

64、橢圓M:+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,中心為O,若橢圓M過(guò)點(diǎn)P,且AP⊥OP. (1)求橢圓M的方程; (2)若△APQ的頂點(diǎn)Q也在橢圓M上,試求△APQ面積的最大值; (3)過(guò)點(diǎn)A作兩條斜率分別為k1,k2的直線交橢圓M于D,E兩點(diǎn),且k1k2=1,求證:直線DE過(guò)定點(diǎn). 解:(1)由AP⊥OP,可知kAP·kOP=-1. 又點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a,0), 所以·=-1,解得a=1. 又因?yàn)闄E圓M過(guò)點(diǎn)P,所以+=1,解得b2=, 所以橢圓M的方程為x2+=1. (2)由題意易求直線AP的方程為=, 即x-y+1=0. 因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓M上,故可設(shè)Q, 又|AP|=,

65、所以S△APQ=×× =× cos+1 . 當(dāng)θ+=2kπ(k∈Z),即θ=2kπ-(k∈Z)時(shí), S△APQ取得最大值+. (3)證明:法一:由題意易得,直線AD的方程為y=k1(x+1),代入x2+3y2=1,消去y,得(3k+1)x2+6kx+3k-1=0. 設(shè)D(xD,yD),則(-1)·xD=, 即xD=,yD=k1=. 設(shè)E(xE,yE),同理可得xE=,yE=. 又k1k2=1且k1≠k2,可得k2=且k1≠±1, 所以xE=,yE=, 所以kDE===, 故直線DE的方程為y-=. 令y=0,可得x=-=-2. 故直線DE過(guò)定點(diǎn)(-2,0). 法二

66、:設(shè)D(xD,yD),E(xE,yE). 若直線DE垂直于y軸,則xE=-xD,yE=y(tǒng)D,此時(shí)k1k2=·===與題設(shè)矛盾, 若DE不垂直于y軸,可設(shè)直線DE的方程為x=ty+s,將其代入x2+3y2=1,消去x,得(t2+3)y2+2tsy+s2-1=0, 則yD+yE=,yDyE=. 又k1k2=· = =1, 可得(t2-1)yDyE+t(s+1)(yD+yE)+(s+1)2=0, 所以(t2-1)·+t(s+1)·+(s+1)2=0, 可得s=-2或s=-1. 又DE不過(guò)點(diǎn)A,即s≠-1,所以s=-2. 所以DE的方程為x=ty-2. 故直線DE過(guò)定點(diǎn)(-2,0). 7.(2018·南昌模擬)如圖,已知直線l:y=kx+1(k>0)關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱的直線為l1,直線l,l1與橢圓E:+y2=1分別交于點(diǎn)A,M和A,N,記直線l1的斜率為k1. (1)求k·k1的值; (2)當(dāng)k變化時(shí),試問(wèn)直線MN是否恒過(guò)定點(diǎn)?若恒過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不恒過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱的點(diǎn)為P0

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