2022年高考總復習文數(shù)（北師大版）講義：第8章 第04節(jié) 空間中的垂直關系 Word版含答案

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1、2022年高考總復習文數(shù)（北師大版）講義：第8章 第04節(jié) 空間中的垂直關系 Word版含答案 考點 高考試題 考查內容 核心素養(yǎng) 直線、平面 垂直的判 定與性質 xx·全國卷Ⅲ·T10·5分 線面垂直的判定 直觀想象 邏輯推理 xx·全國卷Ⅰ·T18·12分 線面垂直的證明與體積的計算 xx·全國卷Ⅰ·T18·12分 面面垂直的證明與側面積的計算 命題分析 從近幾年高考來看，線面垂直是必考點，常與體積、距離、側面積等綜合考查，考查邏輯推理和轉化的思想方法，難度適中. 文字語言 圖形語言 符號語言 判定 定理 如果一條直線和一個平面內的兩條相交

2、直線都垂直，那么該直線與此平面垂直 ?l⊥α 性質 定理 如果兩條直線同垂直于一個平面那么這兩條直線平行 ?a∥b 文字語言 圖形語言 符號語言 判定 定理 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 ?β⊥α 性質 定理 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 ?AB⊥α 二面角 的定義 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角．這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面 二面角的度 量——二面 角的平面角 以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內分

3、別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角 A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件　　　 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面M的無數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分條件． 4．如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________． 解析：∵PC⊥平面ABC， ∴PC垂直于直線AB，BC，AC； ∵AB⊥AC，AB⊥PC，A

4、C∩PC＝C， ∴AB⊥平面PAC， ∴與AP垂直的直線是AB. 答案：AB，BC，AC　AB 5．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對． 解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC，共7對． 答案：7 直線與平面垂直的判定與性質 [明技法] 　判定線面垂直的四種方法 [提能力] 【典例】 (xx·全國卷Ⅱ改編)如圖，菱形

5、ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB＝5，AC＝6，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝. 求證：D′H⊥平面ABCD. 證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD. 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF. 因此EF⊥HD，從而EF⊥D′H. 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4. 由EF∥AC得＝＝. 所以OH＝1，D′H＝DH＝3. 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF平面ABCD， 所以D′H⊥平面ABCD. [刷好題

6、] 如圖，在三棱錐P－ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC. (1)若AB⊥BC，且CP⊥PB，求證：CP⊥PA； (2)若過點A作直線l⊥平面ABC，求證：l∥平面PBC. 證明：(1)因為平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AB平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC. 因為CP平面PBC，所以CP⊥AB. 又CP⊥PB，且PB∩AB＝B，AB平面PAB，PB平面PAB，所以CP⊥平面PAB. 又PA平面PAB，所以CP⊥PA. (2)在平面PBC內過點P作PD⊥BC，垂足為D. 因為平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC

7、＝BC，PD平面PBC，所以PD⊥平面ABC. 又l⊥平面ABC，所以l∥PD. 因為l平面PBC，PD平面PBC， 所以l∥平面PBC. 平面與平面垂直的判定與性質 [明技法] 1．判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定義； (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，aα?α⊥β)． 2．在已知平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化． 在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直． [提能力] 【典例】 菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，且平面ABCD⊥平面BCE，F(xiàn)D⊥平面ABCD，F(xiàn)D＝. (1)求證：EF∥平面ABCD； (

8、2)求證：平面ACF⊥平面BDF. 證明：(1)如圖，過點E作EH⊥BC于H，連接HD， ∴EH＝. ∵平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE， 平面ABCD∩平面BCE＝BC， ∴EH⊥平面ABCD， 又∵FD⊥平面ABCD，，F(xiàn)D＝， ∴FD∥EH，F(xiàn)D＝EH. ∴四邊形EHDF為平行四邊形．∴EF∥HD. ∵EF平面ABCD，HD平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. (2)∵FD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴FD⊥AC， 又四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， 又FD∩BD＝D，∴AC⊥平面FBD， 又AC平面ACF，從而平面ACF⊥平

9、面BDF. [刷好題] 　(xx·濟寧月考)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且平面PAC⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝PC，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°. (1)求證：PB∥平面ACE； (2)求證：平面PBC⊥平面PAC. 證明：(1)連接BD，交AC于點O，連接OE， ∵底面ABCD是平行四邊形，∴O為BD中點， 又E為PD中點，∴OE∥PB， 又OE平面ACE，PB平面ACE， ∴PB∥平面ACE. (2)∵PA＝PC，O為AC中點，∴PO⊥AC， 又平面PAC⊥平面ABCD， 平面PAC∩平面ABCD＝AC，PO平

10、面PAC， ∴PO⊥平面ABCD， 又BC平面ABCD，∴PO⊥BC. 在△ABC中，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°， ∴AC＝ ＝＝， ∴AC2＝AB2－BC2，∴BC⊥AC. 又PO平面PAC，AC平面PAC，PO∩AC＝O， ∴BC⊥平面PAC， 又BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC. 空間位置關系的綜合問題 [明技法] 空間位置關系的轉化路線圖 線線平行(垂直)、線面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空間中三種基本平行(垂直)關系，它們之間可以相互轉化，其轉化關系如下： [提能力] 【典例】 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面

11、ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC； (3)設點E為AB的中點．在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由． (1)證明：因為PC⊥平面ABCD，DC平面ABCD. 所以PC⊥DC. 又因為DC⊥AC，且PC∩AC＝C， 所以DC⊥平面PAC. (2)證明：因為AB∥DC，DC⊥AC， 所以AB⊥AC. 因為PC⊥平面ABCD， 所以PC⊥AB.又因為PC∩AC＝C， 所以AB⊥平面PAC.又AB平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAC. (3)解：棱PB上存在點F，使得PA∥平

12、面CEF.理由如下： 如圖，取PB中點F，連接EF，CE，CF. 又因為E為AB的中點，所以EF∥PA. 又因為PA平面CEF，且EF平面CEF， 所以PA∥平面CEF. [刷好題] 　(xx·濰坊模擬)如圖(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到圖(2)中△A1BE的位置，得到四棱錐A1－BCDE. (1)證明：CD⊥平面A1OC； (2)當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1－BCDE的體積為36，求a的值． (1)證明：在題圖(1)中，因為AB＝BC＝AD＝a， E是AD的中點，∠BAD＝，所以BE⊥AC. 即在題圖(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC， 從而BE⊥平面A1OC. 又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC. (2)解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE， 且平面A1BE∩平面BCDE＝BE， 又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE. 即A1O是四棱錐A1－BCDE的高． 由題圖(1)知，A1O＝AO＝AB＝a，平行四邊形BCDE的面積S＝BC·AB＝a2，從而四棱錐A1－BCDE的體積為V＝S·A1O＝×a2×a＝a3. 由a3＝36，得a＝6.