山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 計數(shù)原理練習(xí)（含解析）

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1、山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 計數(shù)原理練習(xí)（含解析） 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 （正確答案）B 解：從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段， 從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同， 每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有種走法． 同理從F到G，最短的走法，有種走法．

2、小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為種走法． 故選：B． 從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，由組合數(shù)可得最短的走法，同理從F到G，最短的走法，有種走法，利用乘法原理可得結(jié)論． 本題考查排列組合的簡單應(yīng)用，得出組成矩形的條件和最短走法是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題 2. 某企業(yè)有4個分廠，新培訓(xùn)了一批6名技術(shù)人員，將這6名技術(shù)人員分配到各分廠，要求每個分廠至少1人，則不同的分配方案種數(shù)為 A. 1080 B. 480 C. 1560 D. 300 （正確答案）C 解：先

3、把6名技術(shù)人員分成4組，每組至少一人． 若4個組的人數(shù)按3、1、1、1分配，則不同的分配方案有種不同的方法． 若4個組的人數(shù)為2、2、1、1，則不同的分配方案有種不同的方法． 故所有的分組方法共有種． 再把4個組的人分給4個分廠，不同的方法有種， 故選：C． 先把6名技術(shù)人員分成4組，每組至少一人，再把這4個組的人分給4個分廠，利用乘法原理，即可得出結(jié)論． 本題考查組合知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確分組是關(guān)鍵． 3. 如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇要求每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的

4、涂色方法種數(shù)為 A. 84 B. 72 C. 64 D. 56 （正確答案）A 解：分兩種情況： 、C不同色注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的2中顏色中任意取一色：有種； 、C同色注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的3中顏色中任意取一色：有種． 共有84種， 故選：A 每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，然后分類研究，A、C不同色；A、C同色兩大類 本題考查了區(qū)域涂色、種植花草作物是一類題目分類要全要細． 4. 用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為 A. 8

5、 B. 24 C. 48 D. 120 （正確答案）C 解：由題意知本題需要分步計數(shù)， 2和4排在末位時，共有種排法， 其余三位數(shù)從余下的四個數(shù)中任取三個有種排法， 根據(jù)由分步計數(shù)原理得到符合題意的偶數(shù)共有個． 故選C． 本題需要分步計數(shù)，首先選擇2和4排在末位時，共有種結(jié)果，再從余下的其余三位數(shù)從余下的四個數(shù)中任取三個有種結(jié)果，根據(jù)由分步計數(shù)原理得到符合題意的偶數(shù)． 本題考查分步計數(shù)原理，是一個數(shù)字問題，這種問題是最典型的排列組合問題，經(jīng)常出現(xiàn)限制條件，并且限制條件變化多樣，是一個易錯題． 5. 6把椅子排成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為 A. 1

6、44 B. 120 C. 72 D. 24 （正確答案）D 解：使用“插空法“第一步，三個人先坐成一排，有種，即全排，6種；第二步，由于三個人必須隔開，因此必須先在1號位置與2號位置之間擺放一張凳子，2號位置與3號位置之間擺放一張凳子，剩余一張凳子可以選擇三個人的左右共4個空擋，隨便擺放即可，即有種辦法根據(jù)分步計數(shù)原理，． 故選：D． 使用“插空法“第一步，三個人先坐成一排，有種，即全排，6種；第二步，由于三個人必須隔開，因此必須先在1號位置與2號位置之間擺放一張凳子，2號位置與3號位置之間擺放一張凳子，剩余一張凳子可以選擇三個人的左右共4個空擋，隨便擺放即可，即有種辦法根據(jù)分步計數(shù)原

7、理可得結(jié)論． 本題考查排列知識的運用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是關(guān)鍵． 6. 將4個紅球與2個藍球這些球只有顏色不同，其他完全相同放入一個的格子狀木柜里如圖所示，每個格至多放一個球，則“所有紅球均不位于相鄰格子”的放法共有 種． 7. A. 30 B. 36 C. 60 D. 72 （正確答案）C 解：第一類，當4個紅球在4個頂角的位置時，藍球放在剩下5個格種任選兩個，故有種，如圖 第二類，當有一個紅球再最中間時，其它三個紅球只能放在頂角位置，有出種，藍球放在剩下5個格種任選兩個，種，如圖 第三類，當4個紅球放在每外圍三個格的中間時，藍球在剩

8、下5個格種任選兩個有種，如圖 根據(jù)分類計數(shù)原理，故有． 故選：C． 對紅球的位置分類討論：第一類，當4個紅球在4個頂角的位置時，藍球放在剩下5個格種任選兩個；第二類，當有一個紅球再最中間時，其它三個紅球只能放在頂角位置，藍球放在剩下5個格種任選兩個；第三類，當4個紅球放在每外圍三個格的中間時，藍球放在剩下5個格種任選兩個，即可得出． 本題主要考查了分類計數(shù)原理，關(guān)鍵是如何分類，屬于中檔題． 8. 4名學(xué)生參加3項不同的競賽，每名學(xué)生必須參加其中的一項競賽，有 種不同的結(jié)果． A. B. C. D. （正確答案）A 解：由題意知本題是一個分步計數(shù)問題， 首先第

9、一名學(xué)生從三種不同的競賽中選有三種不同的結(jié)果， 第二名學(xué)生從三種不同的競賽中選有3種結(jié)果， 同理第三個和第四個同學(xué)從三種競賽中選都有3種結(jié)果， 根據(jù)分步計數(shù)原理得到共有 故選A． 本題是一個分步計數(shù)問題，首先第一名學(xué)生從三種不同的競賽中選有三種不同的結(jié)果，第二名學(xué)生從三種不同的競賽中選有3種結(jié)果，同理第三個和第四個同學(xué)從三種競賽中選都有3種結(jié)果，相乘得到結(jié)果數(shù)． 解答此題，先考慮學(xué)生問題還是競賽問題才能很好地完成這件事，易把兩問結(jié)果混淆；另外，每位學(xué)生選定競賽或每項競賽選定學(xué)生這一做法對完成整個事件的影響理解錯誤導(dǎo)致原理弄錯，其原因是對題意理解不清，對事情完成的方式有錯誤的認識．

10、 9. 某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為 A. 504 B. 210 C. 336 D. 120 （正確答案）A 解：由題意知將這3個節(jié)目插入節(jié)目單中，原來的節(jié)目順序不變， 三個新節(jié)目一個一個插入節(jié)目單中， 原來的6個節(jié)目形成7個空，在這7個位置上插入第一個節(jié)目，共有7種結(jié)果， 原來的6個和剛插入的一個，形成8個空，有8種結(jié)果，同理最后一個節(jié)目有9種結(jié)果 根據(jù)分步計數(shù)原理得到共有插法種數(shù)為， 故選A． 由題意知將這3個節(jié)目插入節(jié)目單中，原來的節(jié)目順序不變，三個新節(jié)目一個一個插入節(jié)目

11、單中，原來的6個節(jié)目形成7個空，在這7個位置上插入第一個節(jié)目，共有7種結(jié)果；用同樣的方法插入第二個和第三個節(jié)目，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到結(jié)果． 本題考查分步計數(shù)原理，是一個實際問題，解題時注意題目條件中對于原來6個節(jié)目的順序要求不變，所以采用插入法． 10. 從5名學(xué)生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競賽，其中甲不能參加A，B兩科競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為 A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 （正確答案）C 解：從5名學(xué)生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競賽，其中甲不能參加A，B兩科競賽， 可分為以下幾步： 先從5人中選出4人，分為兩種情況：有甲參

12、加和無甲參加． 有甲參加時，選法有：種； 無甲參加時，選法有：種 安排科目 有甲參加時，先排甲，再排其它人排法有：種 無甲參加時，排法有種 綜上，． 不同的參賽方案種數(shù)為72． 故答案為：72． 本題可以先從5人中選出4人，分為有甲參加和無甲參加兩種情況，再將甲安排參加C、D科目，然后安排其它學(xué)生，通過乘法原理，得到本題的結(jié)論 本題是一道排列組合題，要考慮特殊元素，本題還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題有一定難度，屬于中檔題． 11. 考生甲填報某高校專業(yè)意向，打算從5個專業(yè)中挑選3個，分別作為第一、第二、第三志愿，則不同的填法有 A. 10種 B. 60種

13、 C. 125種 D. 243種 （正確答案）B 解：從中選3個并分配到3個志愿中，故有種， 故選：B． 從中選3個并分配到3個志愿中，問題得以解決． 本題考查了簡單的排列組合問題，關(guān)鍵是分清是排列還是組合，屬于基礎(chǔ)題． 12. 某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是 A. 72 B. 120 C. 144 D. 168 （正確答案）B 解：分2步進行分析： 1、先將3個歌舞類節(jié)目全排列，有種情況，排好后，有4個空位， 2、因為3個歌舞類節(jié)目不能相鄰，則中間2個空位必須安排2個節(jié)目， 分2種情況討論

14、： 將中間2個空位安排1個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目，有種情況， 排好后，最后1個小品類節(jié)目放在2端，有2種情況， 此時同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是種； 將中間2個空位安排2個小品類節(jié)目，有種情況， 排好后，有6個空位，相聲類節(jié)目有6個空位可選，即有6種情況， 此時同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是種； 則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是種． 故選：B． 根據(jù)題意，分2步進行分析：先將3個歌舞類節(jié)目全排列，因為3個歌舞類節(jié)目不能相鄰，則分2種情況討論中間2個空位安排情況，由分步計數(shù)原理計算每一步的情況數(shù)目，進而由分類計數(shù)原理計算可得答案． 本題考查計數(shù)原理的運用，注意分步方法的運用，既要滿

15、足題意的要求，還要計算或分類簡便． 13. 某公司慶?；顒有鑿募?、乙、丙等5名志愿者中選2名擔任翻譯，2名擔任向?qū)?，還有1名機動人員，為來參加活動的外事人員提供服務(wù)，并且翻譯和向?qū)Ф急仨氂幸蝗诉x自甲、乙、丙，則不同的選法有 A. 20 B. 22 C. 24 D. 36 （正確答案）D 解：翻譯和向?qū)Ф急仨氂幸蝗诉x自甲、乙、丙， 有種方法， 其余3人全排，有種方法， 根據(jù)乘法原理，有種方法， 故選D． 翻譯和向?qū)葌€安排1人，其余3人全排，即可得出結(jié)論． 本題考查計數(shù)原理運用，注意要根據(jù)題意，進而按一定順序分情況討論，對于有限制條件的元素要首先安排． 二、填空

16、題（本大題共4小題，共20分） 14. 用1，2，3三個數(shù)字組成一個五位數(shù)，要求相鄰的位置的數(shù)字不能相同，則不同的五位數(shù)共有______ 種以數(shù)字作答． （正確答案）42 解：第一類：其中一個數(shù)字用3次，另外兩個數(shù)字用1次，把3個相同的數(shù)字排除一排，再將另外兩個數(shù)字插入到所形成的2個空中不包含兩端共有種， 第二類，其中一個數(shù)字用1次，另外兩個數(shù)字用2次，若把相同的兩個數(shù)字互相間隔，例如，再把另一個數(shù)字插入前4個數(shù)字所形成的5個空中的任意一個空，有種， 若若把相同的兩個數(shù)字有只有一組相鄰，例如，把另一個數(shù)字插入前相鄰的數(shù)字中間，有種， 根據(jù)分類計數(shù)原理，共有種， 故答案為：42．

17、 根據(jù)重復(fù)數(shù)字的個數(shù)，分兩類，第一類：其中一個數(shù)字用3次，另外兩個數(shù)字用1次，第二類，其中一個數(shù)字用1次，另外兩個數(shù)字用2次，根據(jù)分類計數(shù)原理可得． 本題考查了分類計數(shù)原理，關(guān)鍵是分類，屬于中檔題． 15. 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被3整除的四位數(shù)有______個 （正確答案）96 解：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)能被3整除，符合題意的有： 一類：含0、3則需1、4 和2、5各取1個，可組成； 二類：含0或3中一個均不適合題意； 三類：不含0，3，由1、2、4、5可組成個， 共有個． 故答案為：96． 各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)能被3整除，符合

18、題意的有：一類：含0、3則需1、4 和2、5各取1個，可組成；二類：含0或3中一個均不適合題意；三類：不含0，3，由1、2、4、5可組成個，相加得到結(jié)果． 本題考查排列組合的實際應(yīng)用，本題是一個數(shù)字問題，解題的關(guān)鍵是注意0不能在首位，注意分類和分步的應(yīng)用． 16. 學(xué)校安排4名教師在六天里值班，每天只安排一名教師，每人至少安排一天，至多安排兩天，且這兩天要相連，那么不同的安排方法種數(shù)是______用數(shù)字作答 （正確答案）144 解：由題意知本題是一個簡單計數(shù)問題， 排四名老師時：有12，34，5，6和12，3，45，6和12，3，4，56和1，23，45，6和1，23，4，56和

19、1，2，34，56，共6種情形． 根據(jù)分步計數(shù)原理知四名時有， 故答案為：144． 本題是一個簡單計數(shù)問題，分為排三名老師時和排四名老師時兩大類結(jié)果，分別列舉出這兩種情況的結(jié)果，用分步計數(shù)表示出結(jié)果數(shù)，再用分類加法得到結(jié)果． 本題考查計數(shù)問題，對于復(fù)雜一點的計數(shù)問題，有時分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個原理解決，即類中有步，步中有類． 17. 在冬奧會志愿者活動中，甲、乙等5人報名參加了A，B，C三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，且甲不能參加A，B項目，乙不能參加B，C項目，那么共有______種不同的志愿者分配方案用

20、數(shù)字作答 （正確答案）21 解：若甲，乙都參加，則甲只能參加C項目，乙只能參見A項目，B項目有3種方法， 若甲參加，乙不參加，則甲只能參加C項目，A，B項目，有種方法， 若甲參加，乙不參加，則乙只能參加A項目，B，C項目，有種方法， 若甲不參加，乙不參加，有種方法， 根據(jù)分類計數(shù)原理，共有種． 由題意可以分為四類，根據(jù)分類計數(shù)原理可得． 本題考查了分類計數(shù)原理，關(guān)鍵是分類，屬于中檔題． 三、解答題（本大題共3小題，共40分） 18. 設(shè)，對1，2，，n的一個排列，如果當時，有，則稱是排列的一個逆序，排列的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序數(shù)例如：對1，2，3的一個排列231，只

21、有兩個逆序，，則排列231的逆序數(shù)為記為1，2，，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個數(shù)． 求，的值； 求的表達式用n表示． （正確答案）解：記為排列abc得逆序數(shù)，對1，2，3的所有排列，有 ，，，， ，， 對1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進去，4在新排列中的位置只能是最后三個位置． 因此，； 對一般的的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個：，． 逆序數(shù)為1的排列只能是將排列中的任意相鄰兩個數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，． 為計算，當1，2，，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將添加進原排列，在新排列中的位置只能是最后三個位置． 因此，． 當時， ．

22、 因此，當時，． 由題意直接求得的值，對1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進去，4在新排列中的位置只能是最后三個位置，由此可得的值； 對一般的的情形，可知逆序數(shù)為0的排列只有一個，逆序數(shù)為1的排列只能是將排列中的任意相鄰兩個數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，． 為計算，當1，2，，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將添加進原排列，在新排列中的位置只能是最后三個位置，可得，則當時，，則的表達式可求． 本題主要考查計數(shù)原理、排列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和推理論證能力，是中檔題． 19. 男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多

23、少種選派方法？ 男運動員3名，女運動員2名； 至少有1名女運動員； 隊長中至少有1人參加； 既要有隊長，又要有女運動員． （正確答案）解：由題意知本題是一個分步計數(shù)問題， 首先選3名男運動員，有種選法． 再選2名女運動員，有種選法． 共有種選法． 法一直接法：“至少1名女運動員”包括以下幾種情況： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分類加法計數(shù)原理可得有種選法． 法二間接法：“至少1名女運動員”的反面為“全是男運動員”． 從10人中任選5人，有種選法，其中全是男運動員的選法有種 所以“至少有1名女運動員”的選法有種． 法一直接法：“只有男隊長”的

24、選法為種； “只有女隊長”的選法為種； “男、女隊長都入選”的選法為種； 共有種． 法二間接法：“至少要有一名隊長”的反面是“一個隊長都沒有”． 從10人中任選5人，有種選法，其中一個隊長都沒有有種選法． “至少1名隊長”的選法有種選法． 當有女隊長時，其他人選法任意，共有種選法． 不選女隊長時，必選男隊長，共有種選法． 其中不含女運動員的選法有種， 不選女隊長時共有種選法． 既有隊長又有女運動員的選法共有種． 本題是一個分步計數(shù)問題，首先選3名男運動員，有種選法再選2名女運動員，有種選法利用乘法原理得到結(jié)果． 至少1名女運動員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男

25、，3女2男，4女1男分別寫出這幾種結(jié)果，利用分類加法原理得到結(jié)果本題也可以從事件的對立面來考慮，寫出所有的結(jié)果減去都是男運動員的結(jié)果數(shù)． 只有男隊長的選法為種，只有女隊長的選法為種，男、女隊長都入選的選法為種，把所有的結(jié)果數(shù)相加． 當有女隊長時，其他人選法任意，共有種選法不選女隊長時，必選男隊長，共有種選法其中不含女運動員的選法有種，得到結(jié)果． 本題考查分步計數(shù)原理，考查分類計數(shù)原理，在比較復(fù)雜的題目中，會同時出現(xiàn)分類和分步，本題是一個比較綜合的題目． 20. 用紅、黃、藍、白四種不同顏色的鮮花布置如圖一所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域用不同顏色鮮花，問共有多少

26、種不同的擺放方案？ 用紅、黃、藍、白、橙五種不同顏色的鮮花布置如圖二所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域使用不同顏色鮮花． 求恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花的概率； 記花圃中紅色鮮花區(qū)域的塊數(shù)為S，求它的分布列及其數(shù)學(xué)期望． （正確答案）解：根據(jù)分步計數(shù)原理，擺放鮮花的不同方案有：種 設(shè)M表示事件“恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花”， 如圖二，當區(qū)域A、D同色時，共有種； 當區(qū)域A、D不同色時，共有種；因此，所有基本事件總數(shù)為：種由于只有A、D，B、E可能同色，故可按選用3色、4色、5色分類計算，求出基本事件總數(shù)為種它們是等可能的又因為A、D為紅色時，共有種；B、E為紅色時，共有種；因此，事件M包含的基本事件有：種所以， 隨機變量的分布列為： 0 1 2 P 所以， 對于圖一根據(jù)分布計數(shù)原理依次擺放鮮花，可直接解得． 對于圖二求恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花的概率設(shè)M表示事件“恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花”，把圖二5個區(qū)域中的4個區(qū)域用A、B、D、E分別表示出來，然后分類討論出當區(qū)域A、D同色時和當區(qū)域A、D不同色時的總的排列種數(shù)再求出有兩個區(qū)域同用紅色的種數(shù)，列出分布列，利用期望的公式求出期望． 此題主要考查分布乘法計數(shù)原理和簡單的排列組合問題在實際中的應(yīng)用，題中涉及到分類討論思想，在高考中屬于常用思想，同學(xué)們需要多加注意．