(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測(cè)(十六)計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列 理(普通生含解析)

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1、(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測(cè)(十六)計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列 理(普通生,含解析) 一、選擇題 1.投籃測(cè)試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為(  ) A.0.648           B.0.432 C.0.36 D.0.312 解析:選A 3次投籃投中2次的概率為P(k=2)=C×0.62×(1-0.6),投中3次的概率為P(k=3)=0.63,所以通過測(cè)試的概率為P(k=2)+P(k=3)=C×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648. 2

2、.小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游,每人只去一個(gè)景點(diǎn),設(shè)事件A=“4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”,事件B=“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”,則P(A|B)=(  ) A. B. C. D. 解析:選A 小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)共有4×3×3×3=108種可能性,4個(gè)人去的景點(diǎn)不同的可能性有A=4×3×2×1=24種,∴P(A|B)==. 3.(2018·全國卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù),DX=2.4,P(X=4)

3、析:選B 由題意可知,10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布,即X~B(10,p), 所以DX=10p(1-p)=2.4,所以p=0.4或0.6. 又因?yàn)镻(X=4)0.5,所以p=0.6. 4.若5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(  ) A.-40 B.-20 C.20 D.40 解析:選D 令x=1,可得a+1=2,a=1,5的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為(-1)3C22,x項(xiàng)的系數(shù)為C23,∴5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(-1)3C22+C23=40.故選D. 5.(x2+2x

4、+3y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為(  ) A.60 B.180 C.520 D.540 解析:選D (x2+2x+3y)5可看作5個(gè)(x2+2x+3y)相乘,從中選2個(gè)y,有C種選法;再從剩余的三個(gè)括號(hào)里邊選出2個(gè)x2,最后一個(gè)括號(hào)選出x,有C·C種選法,所以x5y2的系數(shù)為32C·C·2·C=540. 6.在平面區(qū)域{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤4}內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足y≤x2的概率為(  ) A. B. C. D. 解析:選B 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中長方形OABC,其面積為2×4=8,不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所

5、示,其面積為x2dx=x3=,因此所求的概率P==. 二、填空題 7.在(x2-4)5的展開式中,含x6的項(xiàng)為________. 解析:因?yàn)?x2-4)5的展開式的第r+1項(xiàng)Tr+1=C(x2)5-r(-4)r=(-4)rCx10-2r, 令10-2r=6,解得r=2, 所以含x6的項(xiàng)為T3=(-4)2Cx6=160x6. 答案:160x6 8.已知在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=2,現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)O,則四棱錐O-ABCD的體積不小于的概率為________. 解析:當(dāng)四棱錐O-ABCD的體積為時(shí),設(shè)O到平面

6、ABCD的距離為h, 則有×22×h=,解得h=. 如圖所示,在四棱錐P-ABCD內(nèi)作平面EFGH平行于底面ABCD,且平面EFGH與底面ABCD的距離為. 因?yàn)镻A⊥底面ABCD,且PA=2,所以=, 又四棱錐P-ABCD與四棱錐P-EFGH相似, 所以四棱錐O-ABCD的體積不小于的概率為P==3=3=. 答案: 9.在一投擲竹圈套小玩具的游戲中,竹圈套住小玩具的全部記2分,竹圈只套在小玩具一部分上記1分,小玩具全部在竹圈外記0分.某人投擲100個(gè)竹圈,有50個(gè)竹圈套住小玩具的全部,25個(gè)竹圈只套在小玩具一部分上,其余小玩具全部在竹圈外,以頻率估計(jì)概率,則該人兩次投擲后得分ξ

7、的數(shù)學(xué)期望是________. 解析:將“竹圈套住小玩具的全部”,“竹圈只套在小玩具一部分上”,“小玩具全部在竹圈外”分別記為事件A,B,C,則P(A)==,P(B)=P(C)==. 某人兩次投擲后得分ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4,且P(ξ=0)=×=, P(ξ=1)=2××=, P(ξ=2)=×+2××=, P(ξ=3)=2××=, P(ξ=4)=×=. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P 所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=. 答案: 三、解答題 10.(2019屆高三·貴陽摸底考試)某高校學(xué)生社團(tuán)為了

8、解“大數(shù)據(jù)時(shí)代”下畢業(yè)生對(duì)就業(yè)情況的滿意度,對(duì)20名畢業(yè)生進(jìn)行問卷計(jì)分調(diào)查(滿分100分),得到如圖所示的莖葉圖, (1)計(jì)算男生打分的平均分,觀察莖葉圖,評(píng)價(jià)男、女生打分的分散程度; (2)從打分在80分以上的畢業(yè)生中隨機(jī)抽取3人,求被抽到的女生人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解:(1)男生打分的平均分為 ×(55+53+62+65+71+70+73+74+86+81)=69. 由莖葉圖知,女生打分比較集中,男生打分比較分散. (2)∵打分在80分以上的畢業(yè)生有3女2男, ∴X的可能取值為1,2,3, P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==, ∴X的分布列

9、為 X 1 2 3 P E(X)=1×+2×+3×=. 11.為調(diào)查大學(xué)生這個(gè)微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量,現(xiàn)從某市大學(xué)生中隨機(jī)抽取300位同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果如下: 微信群數(shù)量 0至5個(gè) 6至10個(gè) 11至15個(gè) 16至20個(gè) 20個(gè)以上 合計(jì) 頻數(shù) 0 90 90 x 15 300 頻率 0 0.3 0.3 y z 1 (1)求x,y,z的值; (2)以這300人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計(jì)概率,若從全市大學(xué)生(數(shù)量很大)中隨機(jī)抽取3人,記X表示抽到的是微信群個(gè)數(shù)超過15的人數(shù),求X的分布列、數(shù)

10、學(xué)期望和方差. 解:(1)由已知得0+90+90+x+15=300, 解得x=105, 所以y==0.35,z==0.05. (2)依題意可知,微信群個(gè)數(shù)超過15的概率為P==. X的所有可能取值為0,1,2,3.依題意得,X~B. 所以P(X=k)=Ck3-k(k=0,1,2,3). 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=3×=, D(X)=3××=. 12.在10件產(chǎn)品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.從這10件產(chǎn)品中任取3件,求: (1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望. (2)取出的3件產(chǎn)品

11、中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率. 解:(1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為C, 從10件產(chǎn)品中任取3件,其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為CC, 那么從10件產(chǎn)品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率為P(X=k)=,k=0,1,2,3. 所以隨機(jī)變量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. (2)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A, “恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1, “恰好取出2件一等品”為事件A2, “恰好取出3件一等品”為事件A3, 由于事件A1,A2,A

12、3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3而P(A1)==, P(A2)=P(X=2)=,P(A3)=P(X=3)=, 所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=. B組——大題專攻補(bǔ)短練 1.(2019屆高三·阜陽質(zhì)檢)從某市的高一學(xué)生中隨機(jī)抽取400名同學(xué)的體重進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖. (1)估計(jì)從該市高一學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,體重超過60 kg的概率; (2)假設(shè)該市高一學(xué)生的體重X服從正態(tài)分布N(57,σ2). ①利用(1)的結(jié)論估計(jì)該高一某個(gè)學(xué)生體重介于54~57 kg之間的概率; ②從該市高一學(xué)

13、生中隨機(jī)抽取3人,記體重介于54~57 kg之間的人數(shù)為Y,利用(1)的結(jié)論,求Y的分布列及E(Y). 解:(1)這400名學(xué)生中,體重超過60 kg的頻率為(0.04+0.01)×5=, 由此估計(jì)從該市高一學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,體重超過60 kg的概率為. (2)①∵X~N(57,σ2), 由(1)知P(X>60)=, ∴P(X<54)=, ∴P(54

14、的人數(shù)Y~B,P(Y=i)=Ci3-i,i=0,1,2,3. ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 3 P E(Y)=3×=. 2.(2018·長春質(zhì)檢)某種植園在芒果臨近成熟時(shí),隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個(gè)芒果,其質(zhì)量分別在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400](單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計(jì)得頻率分布直方圖如圖所示. (1)現(xiàn)按分層抽樣的方法,從質(zhì)量為[250,300),[300,350)的芒果中隨機(jī)抽取9個(gè),再從這9個(gè)中隨機(jī)抽取3個(gè),記隨機(jī)變量X表示質(zhì)量在[300,350)內(nèi)的芒

15、果個(gè)數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X); (2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值,將頻率視為概率,某經(jīng)銷商來收購芒果,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10 000個(gè),經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案: A:所有芒果以10元/千克收購; B:對(duì)質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購,高于或等于250克的以3元/個(gè)收購. 通過計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多? 解:(1)由頻率分布直方圖可得,隨機(jī)抽取的9個(gè)芒果中,質(zhì)量在[250,300)和[300,350)內(nèi)的分別有6個(gè)和3個(gè).則X的可能取值為0,1,2,3. P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==

16、. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=1. (2)設(shè)選擇方案A可獲利y1元,則 y1=(125×0.002+175×0.002+225×0.003+275×0.008+325×0.004+375×0.001)×50×10 000×10×0.001=25 750. 設(shè)選擇方案B,從質(zhì)量低于250克的芒果中獲利y2元;從質(zhì)量高于或等于250克的芒果中獲利y3元,則 y2=(0.002+0.002+0.003)×50×10 000×2=7 000. y3=(0.008+0.004+0.001)×50×

17、10 000×3=19 500. y2+y3=7 000+19 500=26 500. 由于25 750<26 500,故B方案獲利更多,應(yīng)選B方案. 3.2017年央視3·15晚會(huì)曝光了一些飼料企業(yè)瞞天過海地往飼料中非法添加各種“禁藥”,包括“人用西藥”,讓所有人驚出一身冷汗.某地區(qū)質(zhì)量監(jiān)督部門對(duì)該地甲、乙兩家畜牧用品生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行了突擊抽查,若已知在甲企業(yè)抽查了一次,抽中某種動(dòng)物飼料的概率為,用數(shù)字1表示抽中該動(dòng)物飼料產(chǎn)品,用數(shù)字0來表示沒有抽中;在乙企業(yè)抽查了兩次,每次抽中該動(dòng)物飼料的概率為,用數(shù)字2表示抽中該動(dòng)物飼料產(chǎn)品,用數(shù)字0來表示沒有抽中.該部門每次抽查的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該

18、部門完成以上三次抽查. (1)求該部門恰好有一次抽中動(dòng)物飼料這一產(chǎn)品的概率; (2)設(shè)X表示三次抽查所記的數(shù)字之和,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解:記“恰好抽中一次動(dòng)物飼料這一產(chǎn)品”為事件A,“在甲企業(yè)抽中”為事件B,“在乙企業(yè)第一次抽中”為事件C,“在乙企業(yè)第二次抽中”為事件D, 則由題意知P(B)=,P(C)=P(D)=. (1)因?yàn)锳=B?。獵+ D, 所以P(A)=P(B+ C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=P(B)P()P()+P()P(C)·P()+P()P()P(D)=×1-×1-+1-××1-+1-×1-×=. (2)根據(jù)題意,X的所有可能取值為0,1

19、,2,3,4,5. 所以P(X=0)=P()=[1-P(B)][1-P(C)]·[1-P(D)]=××=. P(X=1)=P(B)=P(B)[1-P(C)][1-P(D)]=××=, P(X=2)=P(C+D)=P(C)+P(D)=××+××=. P(X=3)=P(BC+BD)=P(BC)+P(BD)=××+××=, P(X=4)=P(CD)=[1-P(B)]P(C)P(D)=××=, P(X=5)=P(BCD)=P(B)P(C)P(D)=××=. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×

20、+5×=. 4.某地政府?dāng)M在該地一水庫上建造一座水電站,用泄流水量發(fā)電.如圖是根據(jù)該水庫歷年的日泄流量的水文資料畫成的日泄流量X(單位:萬立方米)的頻率分布直方圖(不完整),已知X∈[0,120],歷年中日泄流量在區(qū)間[30,60)的年平均天數(shù)為156,一年按364天計(jì). (1)請(qǐng)把頻率分布直方圖補(bǔ)充完整; (2)該水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能都運(yùn)行,但每30萬立方米的日泄流量才夠運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī),如60≤X<90時(shí)才夠運(yùn)行兩臺(tái)發(fā)電機(jī).若運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī),每天可獲利潤為4 000元;若不運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)每天虧損500元.以各段的頻率作為相應(yīng)段的概率,以水電站日利潤的期望值為決策依據(jù),問

21、:為使水電站日利潤的期望值最大,該水電站應(yīng)安裝多少臺(tái)發(fā)電機(jī)? 解:(1)在區(qū)間[30,60)的頻率為=,==. 設(shè)在區(qū)間[0,30)上,=a, 則×30=1, 解得a=. 補(bǔ)充完整的頻率分布直方圖如圖所示. (2)記水電站日利潤為Y元.由(1)知,無法運(yùn)行發(fā)電機(jī)的概率為,恰好運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為,恰好運(yùn)行兩臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為,恰好運(yùn)行三臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為. ①若安裝一臺(tái)發(fā)電機(jī),則Y的所有可能取值為-500,4 000,其分布列為 Y -500 4 000 P E(Y)=-500×+4 000×=. ②若安裝兩臺(tái)發(fā)電機(jī),則Y的所有可能取值為-1 000,3 500,8 000,其分布列為 Y -1 000 3 500 8 000 P E(Y)=-1 000×+3 500×+8 000×=. ③若安裝三臺(tái)發(fā)電機(jī),則Y的所有可能取值為-1 500,3 000,7 500,12 000,其分布列為 Y -1 500 3 000 7 500 12 000 P E(Y)=-1 500×+3 000×+7 500×+12 000×=. 因?yàn)?>>, 所以要使水電站日利潤的期望值最大,該水電站應(yīng)安裝三臺(tái)發(fā)電機(jī).

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