(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十二 圓錐曲線的方程與性質(zhì)講義 理(重點(diǎn)生含解析)

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1、(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十二 圓錐曲線的方程與性質(zhì)講義 理(重點(diǎn)生,含解析) 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 直線與拋物線的位置關(guān)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算·T8 雙曲線的幾何性質(zhì)·T5 雙曲線的幾何性質(zhì)·T11 雙曲線的幾何性質(zhì)·T11 直線的方程及橢圓的幾何性質(zhì)·T12 直線與拋物線的位置關(guān)系·T16 2017 直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長公式、基本不等式的應(yīng)用·T10 雙曲線的幾何性質(zhì)·T9 雙曲線的漸近線及標(biāo)準(zhǔn)方程·T5 雙曲線的幾何性質(zhì)·T15 拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程·T16 橢圓的幾何性質(zhì)·T10 2016 雙曲線的幾

2、何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程·T5 雙曲線的定義、離心率問題·T11 直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率問題·T11 拋物線與圓的綜合問題·T10 縱向把握趨勢 卷Ⅰ3年6考,且每年都有2個小題同時出現(xiàn),涉及雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì),特別是雙曲線的幾何性質(zhì)及拋物線屬每年必考內(nèi)容.預(yù)計2019年仍會延續(xù)以上命題方式,注意圓錐曲線與其他問題的綜合 卷Ⅱ3年5考,且3年均考查了雙曲線的幾何性質(zhì).在2018年高考中考查了橢圓的幾何性質(zhì),且難度較大.預(yù)計2019年仍會以選擇題或填空題的形式考查雙曲線的幾何性質(zhì)或橢圓的幾何性質(zhì) 卷Ⅲ3年5考,涉及雙曲線的幾何性質(zhì)、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系,

3、既有選擇題,也有填空題,難度適中.預(yù)計2019年仍會以選擇題或填空題的形式考查雙曲線或橢圓的方程及性質(zhì) 橫向把握重點(diǎn) 1.圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容.以選擇題、填空題的形式考查,常出現(xiàn)在第4~12或15~16題的位置,著重考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程,難度中等. 2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中與交點(diǎn)個數(shù),弦長、面積中點(diǎn)弦有關(guān)的問題,一般難度中等. 圓錐曲線的定義與方程 A.2          B.3 C.4 D.5 解析:選B 設(shè)|PF2|=m,則|PF1|+|PF2|=2a, 即m+4=2a.① 在△PF1F2中,由余弦定理得 42+m2

4、-2×m×4×cos 120°=4(a2-2).② 聯(lián)立①②,解得a=3. 2.已知雙曲線-=1(b>0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:選D 由題意知雙曲線的漸近線方程為y=±x,圓的方程為x2+y2=4, 聯(lián)立 解得或 即第一象限的交點(diǎn)為.由雙曲線和圓的對稱性,得四邊形ABCD為矩形,其相鄰兩邊長為,,故=2b,得b2=12. 故雙曲線的方程為-=1. 3.(2018·唐山模擬)過拋物線y2=2px

5、(p>0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AF|=2|BF|=6,則p=________. 解析:設(shè)直線AB的方程為x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,將直線AB的方程代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0,所以y1y2=-p2,4x1x2=p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,過A作AC⊥l,垂足為C,過B作BD⊥l,垂足為D,因為|AF|=2|BF|=6,根據(jù)拋物線的定義知,|AF|=|AC|=x1+=6,|BF|=|BD|=x2+=3,所以x1-x2=3,x1+x2=9-p,所以(x1+x2)2-(x1-x2)2=4x1x2=p2,即18p-72=0,解得p=4

6、. 答案:4 4.(2018·合肥質(zhì)檢)拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A,過拋物線E上一點(diǎn)P(在第一象限內(nèi))作l的垂線PQ,垂足為Q.若四邊形AFPQ的周長為16,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________. 解析:設(shè)P(x,y),其中x>0,y>0,由拋物線的定義知|PF|=|PQ|=x+1.根據(jù)題意知|AF|=2,|QA|=y(tǒng), 則?或(舍去). 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4). 答案:(4,4) [系統(tǒng)方法] 1.圓錐曲線的定義 (1)橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)雙曲線:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|

7、). (3)拋物線:|PF|=|PM|,點(diǎn)F不在直線l上,PM⊥l于M. 2.求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型,后計算” 所謂“定型”,就是確定曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置;所謂“計算”,就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2,p的值. 圓錐曲線的幾何性質(zhì) [由題知法]  (2018·陜西質(zhì)檢)過雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作圓x2+y2=a2的切線FM(切點(diǎn)為M),交y軸于點(diǎn)P.若M為線段FP的中點(diǎn),則雙曲線的離心率是(  ) A. B. C.2 D. [解析] 因為OM⊥PF,且M為FP的中點(diǎn),所以△POF為等腰直角三角形,即∠PFO=45°

8、,則不妨令切線FM的方程為x+y=c,由圓心到切線的距離等于半徑得=a,所以e==. [答案] A  (2018·全國卷Ⅱ)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120°,則C的離心率為(  ) A. B. C. D. [解析] 如圖,作PB⊥x軸于點(diǎn) B.由題意可設(shè)|F1F2|=|PF2|=2,則c=1.由∠F1F2P=120°,可得|PB|=,|BF2|=1,故|AB|=a+1+1=a+2,tan ∠PAB===,解得a=4,所以e==. [答案] D    如圖,

9、過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若F是AC的中點(diǎn),且|AF|=4,則線段AB的長為(  ) A.5 B.6 C. D. [學(xué)解題] 法一:直接法(學(xué)生用書不提供解題過程) 如圖,設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作AD⊥l交l于點(diǎn)D,由拋物線的定義知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中點(diǎn),知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,拋物線的方程為y2=4x.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|=x1+=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2==1,所以x2=,所以|AB|=x1+x2+p=. 法二:性

10、質(zhì)法(學(xué)生用書提供解題過程) 如圖,設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作AD⊥l交l于點(diǎn)D,由拋物線的定義知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中點(diǎn),知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,拋物線的方程為y2=4x.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因為+=,|AF|=4,所以|BF|=,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=. [答案] C [類題通法] 1.橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系,然后把b用a,c代換,求的值或范圍. 2.雙曲線的漸近線的求法及用法 (1

11、)求法:把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為0,分解因式可得. (2)用法:①可得或的值. ②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程. ③利用e=求離心率. 3.拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì) 若線段AB為拋物線y2=2px(p>0)過焦點(diǎn)F的一條弦,A(x1,y1),B(x2,y2),則 (1)x1x2=,y1y2=-p2; (2)焦半徑|AF|=x1+; (3)+=; (4)弦長l=x1+x2+p.當(dāng)弦AB⊥x軸時,弦長最短為2p,此時的弦又叫通徑. [應(yīng)用通關(guān)] 1.(2018·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C:-y2=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為C的右焦點(diǎn),過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別

12、為M,N.若△OMN為直角三角形,則|MN|=(  ) A. B.3 C.2 D.4 解析:選B 法一:由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x.設(shè)兩條漸近線的夾角為2α,則有tan α==,所以α=30°.所以∠MON=2α=60°.又△OMN為直角三角形,由于雙曲線具有對稱性,不妨設(shè)MN⊥ON,如圖所示.在Rt△ONF中,|OF|=2,則|ON|=. 在Rt△OMN中, |MN|=|ON|·tan 2α=·tan 60°=3.故選 B. 法二:因為雙曲線-y2=1的漸近線方程為y=±x,所以∠MON=60°.不妨設(shè)過點(diǎn)F的直線與直線y=x交于點(diǎn)M,由△OMN為直角三角形

13、,不妨設(shè)∠OMN=90°,則∠MFO=60°,又直線MN過點(diǎn)F(2,0),所以直線MN的方程為y=-(x-2), 由得 所以M,所以|OM|= =, 所以|MN|=|OM|=3,故選 B. 2.(2018·貴陽模擬)過雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作圓x2+y2=a2的切線FM,切點(diǎn)為M,交y軸于點(diǎn)P,若=λ,且雙曲線的離心率e=,則λ=(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:選B 如圖,|OF|=c, |OM|=a,OM⊥PF, 所以|MF|=b, 根據(jù)射影定理得|PF|=, 所以|PM|=-b, 所以λ====. 因為e2===1+=2=

14、, 所以=.所以λ=2. 3.已知橢圓x2+=1(00時,橢圓的離心率的取值范圍為(  ) A. B. C. D. 解析:選A 由題意知F,B,C的坐標(biāo)分別為(-c,0),(0,b),(1,0),則FC,BC的垂直平分線分別為x=,y-=, 聯(lián)立解得 ∴m+n=+>0, 即b-bc+b2-c>0, 整理得(1+b)(b-c)>0,∴b>c, 從而b2>c2,即a2>2c2,∴e2<, 又e>0,∴0

15、)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P,Q兩點(diǎn),與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,且=3,則||=________. 解析:過點(diǎn)P作PP1垂直準(zhǔn)線于P1, 由=3,得|PM|=2|PF|, 又由拋物線的定義知|PF|=|PP1|, 所以|PM|=2|PP1|. 由三角形相似得===, 所以|PP1|=,所以||=. 答案: 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 [多維例析] 角度一 直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個數(shù)問題  已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率e<.以兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長為8,面積為2. (1)求橢圓C的方程; (2)若點(diǎn)P(

16、x0,y0)為橢圓C上一點(diǎn),直線l的方程為3x0x+4y0y-12=0,求證:直線l與橢圓C有且只有一個交點(diǎn). [解] (1)依題意,設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0),焦距為2c, 由題設(shè)條件知,4a=8,a=2, 2××2c×b=2,b2+c2=a2=4, 所以b=,c=1或b=1,c=(經(jīng)檢驗不合題意,舍去), 故橢圓C的方程為+=1. (2)證明:當(dāng)y0=0時,由+=1, 可得x0=±2, 當(dāng)x0=2,y0=0時,直線l的方程為x=2,直線l與橢圓C有且只有一個交點(diǎn)(2,0). 當(dāng)x0=-2,y0=0時,直線l的方程為x=-2,直線l與橢圓C有且只有一個交點(diǎn)(-2,

17、0). 當(dāng)y0≠0時,直線l的方程為y=, 聯(lián)立 消去y,得(4y+3x)x2-24x0x+48-16y=0.① 由點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C上一點(diǎn),得+=1, 可得4y+3x=12. 于是方程①可以化簡為x2-2x0x+x=0, 解得x=x0, 將x=x0代入方程y=可得y=y(tǒng)0,故直線l與橢圓C有且只有一個交點(diǎn)P(x0,y0), 綜上,直線l與橢圓C有且只有一個交點(diǎn),且交點(diǎn)為P(x0,y0). [類題通法] 直線與圓錐曲線交點(diǎn)個數(shù)問題的解題策略 判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個數(shù)時,可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo),也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定,需注意利用判

18、別式的前提是二次項系數(shù)不為0.并且解題時注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧. 角度二 弦長及面積問題  (2018·蘭州檢測)已知橢圓K:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,其離心率e=,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的半焦距為半徑的圓與直線x-y+2=0相切. (1)求K的方程; (2)過F2的直線l交K于A,B兩點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),連接OM并延長交K于點(diǎn)C,若四邊形OACB的面積S滿足:a2=S,求直線l的斜率. [解] (1)由題意得解得 故橢圓K的方程為+y2=1. (2)由于直線l的傾斜角不可為零, 所以設(shè)直線l的方程為my=x-1, 與+y2=

19、1聯(lián)立并化簡可得 (m2+2)y2+2my-1=0. 設(shè)M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1+y2=-,y1y2=-, 可得y0=-,x0=my0+1=. 設(shè)C(x,y),又=λ (λ>0), 所以x=λx0,y=λy0.因為C在K上, 故λ2=1?m2+2=λ2.① 設(shè)h1為點(diǎn)O到直線l的距離,h2為點(diǎn)C到直線l的距離,則==?h2=(λ-1)h1. 又由點(diǎn)到直線的距離公式得,h1==. 而|AB|=· ==, 所以S=|AB|(h1+h2)=·=. 由題意知,S==,所以=?λ=. 將λ=代入①式得m=±1, 所以直線l的斜率為±1.

20、 [類題通法] 弦長問題的解題策略 (1)在涉及弦長的問題中,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)而不求計算弦長;涉及過焦點(diǎn)的弦的問題,可考慮用圓錐曲線的定義求解. (2)弦長計算公式:直線AB與圓錐曲線有兩個交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長|AB|=·= ·,其中k為弦AB所在直線的斜率. 角度三 弦的中點(diǎn)問題  已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn). (1)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明:AR∥FQ; (2)若△PQF的面積是△ABF面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程. [解] 由題

21、意可知F,設(shè)l1:y=a,l2:y=b,則ab≠0,且A,B,P,Q,R. (1)證明:記過A,B兩點(diǎn)的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0. 因為點(diǎn)F在線段AB上,所以ab+1=0, 記直線AR的斜率為k1,直線FQ的斜率為k2, 所以k1=,k2==-b, 又因為ab+1=0, 所以k1=====-b, 所以k1=k2,即AR∥FQ. (2)設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0), 所以S△ABF=|a-b||FD|=|a-b|×, 又S△PQF=, 所以由題意可得S△PQF=2S△ABF, 即=2××|a-b|×, 解得x1=0(舍去)或x1=1.

22、 設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y). 當(dāng)AB與x軸不垂直時, 由kAB=kDE,可得=(x≠1). 又=,所以y2=x-1(x≠1). 當(dāng)AB與x軸垂直時,E與D重合,所以所求軌跡方程為y2=x-1. [類題通法] 弦中點(diǎn)及弦問題的解題策略 (1)對于弦的中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解,在使用根與系數(shù)的關(guān)系時,要注意使用條件Δ>0,在用“點(diǎn)差法”時,要檢驗直線與圓錐曲線是否相交. (2)圓錐曲線以P(x0,y0)(y0≠0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率分別是k=-,k=,k=(拋物線y2=2px).其中k=(x1≠x2),(x1,y1),(x2,y2)為弦的端點(diǎn)

23、坐標(biāo). [綜合訓(xùn)練] 1.(2019屆高三·山西八校聯(lián)考)如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,線段OF1,OF2的中點(diǎn)分別為B1,B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形. (1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)過B1作直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使得PB2⊥QB2,求直線l的方程. 解:(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),右焦點(diǎn)為F2(c,0). 因為△AB1B2是直角三角形,且|AB1|=|AB2|, 所以∠B1AB2=90°, 因此|OA|=|OB2|,得b=. 由c2=a2-b2,得4b2=a2-b2

24、, 故a2=5b2,c2=4b2,所以離心率e==. 在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2, 故S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA| =·b=b2. 由題設(shè)條件S△AB1B2=4,得b2=4,所以a2=5b2=20. 因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由題意知直線l的斜率存在且不為0,故可設(shè)直線l的方程為x=my-2,代入橢圓方程并整理得(m2+5)y2-4my-16=0. 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 則y1+y2=,y1y2=-, 又=(x1-2,y1), =(x2-2,y2), 所

25、以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2 =(my1-4)(my2-4)+y1y2 =(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16 =--+16 =-, 由PB2⊥QB2,得·=0, 即16m2-64=0,解得m=±2. 所以滿足條件的直線l有兩條,其方程分別為x+2y+2=0和x-2y+2=0. 2.(2018·惠州調(diào)研)如圖,橢圓C:+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(2,0),左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過點(diǎn)A且斜率為的直線與y軸交于點(diǎn)P,與橢圓交于另一個點(diǎn)B,且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為點(diǎn)F1. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)過點(diǎn)P且斜率大于的直線與橢圓交于M,N

26、兩點(diǎn)(|PM|>|PN|),若S△PAM∶S△PBN=λ,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍. 解:(1)因為BF1⊥x軸,所以點(diǎn)B, 所以解得 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1. (2)因為===λ?=(λ>2),所以=-. 由(1)可知P(0,-1),設(shè)直線MN:y=kx-1,M(x1,y1),N(x2,y2), 聯(lián)立化簡得(4k2+3)x2-8kx-8=0. 則x1+x2=,x1x2=. 又=(x1,y1+1), =(x2,y2+1), 則x1=-x2,即=-, 所以=+2+ =-+2-=-, 即=. 因為k>,所以=∈(1,4), 則1<<4且λ>2?4<λ<4+2. 綜上所

27、述,實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(4,4+2). 重難增分 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)的綜合問題 [典例細(xì)解]    (2017·全國卷Ⅰ)設(shè)A,B是橢圓C:+=1長軸的兩個端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是(  ) A.(0,1]∪[9,+∞)    B.(0, ]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0, ]∪[4,+∞) [解析] 當(dāng)0<m<3時,焦點(diǎn)在x軸上, 要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°, 則≥tan 60°=,即≥, 解得0<m≤1. 當(dāng)m>3時,焦點(diǎn)在y軸上, 要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=12

28、0°, 則≥tan 60°=,即≥,解得m≥9. 故m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞). [答案] A [啟思維] 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的對稱性,求解本題時,要注意橢圓的長軸所在的坐標(biāo)軸,題目中只說A,B為橢圓長軸的兩個端點(diǎn),并未說明橢圓長軸所在的坐標(biāo)軸,因此,需要根據(jù)m與3的大小關(guān)系,討論橢圓長軸所在的坐標(biāo)軸.  (2017·全國卷Ⅱ)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為(  ) A. B.2 C.2 D.3 [解析] 法一:依題意,得直線FM的傾斜角為60°

29、, 則|MN|-|MF|cos 60°=2, 由拋物線的定義,得|MN|=|MF|=4. 又∠NMF等于直線FM的傾斜角,即∠NMF=60°, 因此△MNF是邊長為4的等邊三角形, 所以點(diǎn)M到直線NF的距離為4×=2. 法二:由題意,得F(1,0), 則直線FM的方程是y=(x-1). 由得x=或x=3. 由M在x軸的上方,得M(3,2), 由MN⊥l,得|MN|=|MF|=3+1=4. 又∠NMF等于直線FM的傾斜角,即∠NMF=60°, 因此△MNF是邊長為4的等邊三角形, 所以點(diǎn)M到直線NF的距離為4×=2. [答案] C [啟思維] 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

30、程及其幾何性質(zhì).涉及拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的有關(guān)問題,應(yīng)充分利用拋物線的定義求解.本題中直線的傾斜角為特殊角60°,通過解三角形更快捷.  (2016·全國卷Ⅲ)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左、右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PF⊥x軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn),則C的離心率為(  ) A. B. C. D. [解析] 如圖所示,由題意得A(-a,0),B(a,0),F(xiàn)(-c,0). 設(shè)E(0,m), 由PF∥OE, 得=, 則|MF|=.① 又由OE∥MF,得=, 則|MF|=.②

31、 由①②得a-c=(a+c),即a=3c,所以e==. [答案] A [啟思維] 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,解決本題時,要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. [綜合訓(xùn)練] 1.(2018·福州模擬)已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)M,N在E上,MN∥F1F2,|MN|=|F1F2|,線段F2M交E于點(diǎn)Q,且=,則E的離心率為(  ) A. B. C.2 D. 解析:選B 設(shè)雙曲線E的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),∵M(jìn)N∥F1F2,|MN|=|F1F2|, ∴|MN|=c,不妨設(shè)M. ∵

32、=,∴Q是線段F2M的中點(diǎn),∴Q. 把M,Q分別代入E的方程-=1(a>0,b>0), 可得∴=15,∴e=. 2.已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線上,過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為(  ) A. B. C. D. 解析:選D 拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為直線x=-, 因為點(diǎn)A(-2,3)在準(zhǔn)線上, 所以-=-2,即p=4, 從而C:y2=8x,焦點(diǎn)為F(2,0). 設(shè)切線方程為y-3=k(x+2), 代入y2=8x,消去x, 化簡得y2-y+2k+3=0(k≠0),① 由Δ=1-4××(2k

33、+3)=0,得k=-2或k=, 因為切點(diǎn)在第一象限,所以k=. 將k=代入①中得y=8, 再將y=8代入y2=8x中,得x=8, 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,8), 所以直線BF的斜率為=. 3.(2018·石家莊模擬)如圖,兩個橢圓的方程分別為+=1(a>b>0)和+=1(a>b>0,m>1),從大橢圓的兩個頂點(diǎn)分別向小橢圓引切線AC,BD,若AC,BD的斜率之積恒為-,則大橢圓的離心率為(  ) A. B. C. D. 解析:選A 易知大橢圓和小橢圓的離心率相等.大橢圓的方程為+=1,則A(ma,0),B(0,mb),設(shè)切線AC的方程為y=k1(x-ma), 聯(lián)立

34、消去y,得(a2k+b2)x2-2mka3x+m2ka4-a2b2=0, 由Δ=(-2mka3)2-4(ka2+b2)(m2ka4-a2b2)=0, 化簡得ka2-m2ka2+b2=0?k=·, 設(shè)直線BD的斜率為k2, 同理可得k=(m2-1), ∴kk=··(m2-1)==2, ∴=,∴e= =.[專題跟蹤檢測](對應(yīng)配套卷P193) 一、全練保分考法——保大分 1.直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為(  ) A.           B. C. D. 解析:選B 不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)B(0,

35、b)和一個焦點(diǎn)F(c,0),則直線l的方程為+=1,即bx+cy-bc=0.由題意知=×2b,解得=,即e=.故選 B. 2.(2019屆高三·湖南長郡中學(xué)模擬)已知F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一個焦點(diǎn),其關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對稱點(diǎn)在另一條漸近線上,則雙曲線C的離心率為(  ) A. B. C.2 D. 解析:選C 依題意,設(shè)雙曲線的漸近線y=x的傾斜角為θ,則有3θ=π,θ=,=tan =,雙曲線C的離心率e= =2. 3.(2019屆高三·南寧、柳州名校聯(lián)考)已知雙曲線-=1(b>0)的一個焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的漸近線方程為(  

36、) A.y=±x B.y=±x C.y=±3x D.y=±x 解析:選B 由題意知,拋物線的焦點(diǎn)是(2,0),即雙曲線-=1的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),則c=2,且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,所以3+b=22,即b=1,于是雙曲線的漸近線方程為y=±x. 4.(2018·昆明調(diào)研)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),過線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,若|MN|=|AB|,則l的傾斜角為(  ) A.15° B.30° C.45° D.60° 解析:選B 分別過A,B,N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A

37、′,B′,Q,由拋物線的定義知|AF|=|AA′|,|BF|=|BB′|,|NQ|=(|AA′|+|BB′|)=|AB|,因為|MN|=|AB|,所以|NQ|=|MN|,所以∠MNQ=60°,即直線MN的傾斜角為120°,又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角,所以直線l的傾斜角為30°. 5.(2018·南昌模擬)已知F1,F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個公共點(diǎn),且∠F1PF2=,則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為(  ) A. B. C.1 D. 解析:選B 如圖,設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓和雙曲線的左、右焦點(diǎn),P是第一象限的點(diǎn),橢圓的長半軸長為a1,雙曲線

38、的實(shí)半軸長為a2,則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.設(shè)|F1F2|=2c,又∠F1PF2=,則在△PF1F2中,由余弦定理得,4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos ,化簡得(2-)a+(2+)a=4c2,設(shè)橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,∴+=4, 又+≥2=, ∴≤4,即e1·e2≥, ∴橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為. 6.(2018·長春質(zhì)檢)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2-y2=1的左、右焦點(diǎn),P為雙

39、曲線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)F1作∠F1PF2的平分線的垂線,垂足為H,則|OH|=(  ) A.1 B.2 C.4 D. 解析:選A 不妨設(shè)P在雙曲線的左支,如圖,延長F1H交PF2于點(diǎn)M,由于PH既是∠F1PF2的平分線又垂直于F1M,故△PF1M為等腰三角形,|PF1|=|PM|且H為F1M的中點(diǎn),所以O(shè)H為△MF1F2的中位線,所以|OH|=|MF2|=(|PF2|-|PM|)=(|PF2|-|PF1|)=1. 7.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點(diǎn),則|AB|=________. 解析:拋物線C:

40、y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2.從而橢圓E的半焦距c=2.可設(shè)橢圓E的方程為+=1(a>b>0),因為離心率e==,所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由題意知|AB|==2×=6. 答案:6 8.(2018·南寧模擬)已知橢圓+=1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x-y+5=0,弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(-4,1),則橢圓的離心率是________. 解析:設(shè)直線x-y+5=0與橢圓+=1相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn), 因為AB的中點(diǎn)M(-4,1), 所以x1+x2=-8,y1+y2=2. 易知直線AB的斜率k==1. 由兩式相減得,

41、+=0, 所以=-·,所以=, 于是橢圓的離心率e===. 答案: 9.(2019屆高三·惠州調(diào)研)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩個焦點(diǎn),過其中一個焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M,若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi),則雙曲線離心率的取值范圍是________. 解析:如圖,不妨設(shè)F1(0,c),F(xiàn)2(0,-c),則過點(diǎn)F1與漸近線y=x平行的直線為y=x+c,聯(lián)立 解得即M.因為點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓x2+y2=c2內(nèi),故2+2

42、心率的取值范圍是(1,2). 答案:(1,2) 10.(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為B,若△BF1F2的周長為6,且點(diǎn)F1到直線BF2的距離為 B. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)A1,A2是橢圓C長軸的兩個端點(diǎn),P是橢圓C上不同于A1,A2的任意一點(diǎn),直線A1P交直線x=m于點(diǎn)M,若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2,求實(shí)數(shù)m的值. 解:(1)由題意得F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),B(0,b), 則2a+2c=6.① 直線BF2的方程為bx+cy-bc=0, 所以=b,即2c=a.② 又a2=b2+c2,③

43、 所以由①②③可得a=2,b=, 所以橢圓C的方程為+=1. (2)不妨設(shè)A1(-2,0),A2(2,0),P(x0,y0), 則直線A1P的方程為y=(x+2), 所以M. 又點(diǎn)P在橢圓C上,所以y=3. 若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2,則A2M⊥A2P, 即·=0, 所以·(x0-2,y0) =(m-2)(x0-2)+(m+2) =(m-2)(x0-2)+(m+2) =(x0-2)=0. 又點(diǎn)P不同于點(diǎn)A1,A2,所以x0≠±2, 所以m-=0,解得m=14. 11.(2018·唐山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,長為+1的線段的兩端點(diǎn)C,D分別在x軸、y軸上滑動,=

44、 .記點(diǎn)P的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程; (2)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)作直線與曲線E相交于A,B兩點(diǎn),=+,當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時,求四邊形AOBM的面積. 解:(1)設(shè)C(m,0),D(0,n),P(x,y). 由= ,得(x-m,y)=(-x,n-y), 所以得 由||=+1,得m2+n2=(+1)2, 所以(+1)2x2+y2=(+1)2, 整理,得曲線E的方程為x2+=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由=+,知點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1+x2,y1+y2). 由題意知,直線AB的斜率存在. 設(shè)直線AB的方程為y=kx+1, 代入曲線E的方程,得(k

45、2+2)x2+2kx-1=0, 則x1+x2=-,x1x2=-. y1+y2=k(x1+x2)+2=. 由點(diǎn)M在曲線E上,知(x1+x2)2+=1, 即+=1, 解得k2=2. 所以|AB|=|x1-x2| ==, 又原點(diǎn)到直線AB的距離d==, 所以平行四邊形OAMB的面積S=|AB|·d=. 12.(2019屆高三·洛陽第一次統(tǒng)考)已知短軸長為2的橢圓E:+=1(a>b>0),直線n的橫、縱截距分別為a,-1,且原點(diǎn)O到直線n的距離為. (1)求橢圓E的方程; (2)直線l經(jīng)過橢圓E的右焦點(diǎn)F且與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),若橢圓E上存在一點(diǎn)C滿足+ -2 =0,求直線l

46、的方程. 解:(1)∵橢圓E的短軸長為2,∴b=1. 依題意設(shè)直線n的方程為-y=1, 由=,解得a=, 故橢圓E的方程為+y2=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 當(dāng)直線l的斜率為0時,顯然不符合題意. 當(dāng)直線l的斜率不為0或直線l的斜率不存在時,F(xiàn)(,0),設(shè)直線l的方程為x=ty+, 由消去x,得(t2+3)y2+2ty-1=0, ∴y1+y2=-,y1y2=-,① ∵+ -2=0, ∴x3=x1+x2,y3=y(tǒng)1+y2, 又點(diǎn)C在橢圓E上, ∴+y=2+2=++=1, 又+y=1,+y=1, ∴x1x2+y1y2=0,②

47、 將x1=ty1+,x2=ty2+及①代入②得t2=1, 即t=1或t=-1. 故直線l的方程為x+y-=0或x-y-=0. 二、強(qiáng)化壓軸考法——拉開分 1.(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|PF1|=|OP|,則C的離心率為(  ) A. B.2 C. D. 解析:選C 法一:不妨設(shè)一條漸近線的方程為y=x, 則F2到y(tǒng)=x的距離d==b. 在Rt△F2PO中,|F2O|=c, 所以|PO|=a,所以|PF1|=a, 又|F1O|=c,所以在△F1

48、PO與Rt△F2PO中, 根據(jù)余弦定理得 cos∠POF1==-cos∠POF2=-, 即3a2+c2-(a)2=0,得3a2=c2,所以e==. 法二:如圖,過點(diǎn)F1向OP的反向延長線作垂線,垂足為P′,連接P′F2,由題意可知,四邊形PF1P′F2為平行四邊形,且△PP′F2是直角三角形.因為|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a. 又|PF1|=a=|F2P′|,|PP′|=2a,所以|F2P|=a=b,所以c==a,所以e==. 2.(2018·合肥質(zhì)檢)已知橢圓M:+y2=1,圓C:x2+y2=6-a2在第一象限有公共點(diǎn)P,設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為k1,橢圓M

49、在點(diǎn)P處的切線斜率為k2,則的取值范圍為(  ) A.(1,6) B.(1,5) C.(3,6) D.(3,5) 解析:選D 由于橢圓M:+y2=1,圓C:x2+y2=6-a2在第一象限有公共點(diǎn)P,所以解得3

50、值為(  ) A.24 B.16 C.8 D.-16 解析:選B 由=2知G是線段AB的中點(diǎn), ∴=(+), ∴(-)2-42=(-)2-(+)2=-4·. 由A,B是動直線l與拋物線C:x2=4y的交點(diǎn), 不妨設(shè)A,B, ∴-4·=-4 =-4 =16-42≤16, ∴(-)2-42的最大值為16. 4.(2018·合肥檢測)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l過點(diǎn)F交拋物線于A,B兩點(diǎn),且|AF|=3|FB|.直線l1,l2分別過點(diǎn)A,B,且與x軸平行,在直線l1,l2上分別取點(diǎn)M,N(M,N分別在點(diǎn)A,B的右側(cè)),分別作∠ABN和∠BAM的角平分線并相交于

51、點(diǎn)P,則△PAB的面積為(  ) A. B. C. D. 解析:選C 因為拋物線方程為y2=4x,所以其焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,如圖所示,不妨設(shè)點(diǎn)B在x軸上方,過點(diǎn)B向l1作垂線,垂足為C.設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),因為|AF|=3|FB|,所以xA+1=3(xB+1),所以xA-xB=2(xB+1)=2|FB|,所以cos∠BAC==,所以∠BAC=60°,因為AP,BP分別為∠BAM與∠ABN的角平分線,所以∠BAP=60°,∠ABP=30°,所以∠APB=90°,所以|AP|=2|FB|=2xB+2,所以S△PAB=|AP||AB|sin 60°=

52、×2(xB+1)×4(xB+1)×=2(xB+1)2.由∠BAC=60°,F(xiàn)(1,0)可得直線AB的方程為y=-(x-1),聯(lián)立解得x=或x=3,易知xB=,所以S△PAB=2×2=. 5.已知等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD=4,∠BAD=60°,雙曲線以A,B為焦點(diǎn),且與線段CD(包括端點(diǎn)C,D)有兩個交點(diǎn),則該雙曲線的離心率的取值范圍是________. 解析:以AB所在直線為x軸,AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,過點(diǎn)O且垂直于AB的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A(-2,0),B(2,0),C(1,).設(shè)以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),則c

53、=2.由a2+b2=c2,得b2=4-a2,當(dāng)x=1時,y2=a2+-5.要使雙曲線與線段CD(包括端點(diǎn)C,D)有兩個交點(diǎn),則a2+-5≥3,解得a2≥4+2或0<a2≤4-2,由a2≥4+2得a≥+1>2,舍去,∴a2≤4-2,即0<a≤-1.∴雙曲線的離心率e=≥=+1.即該雙曲線的離心率的取值范圍是[+1,+∞). 答案:[+1,+∞) 6.(2018·洛陽統(tǒng)考)已知F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),P(x0,y0)是雙曲線C右支上的一點(diǎn),連接PF1并過F1作垂直于PF1的直線交雙曲線左支于R,Q,其中R(-x0,-y0),△QF1P為等腰三角形,則雙曲

54、線C的離心率為________. 解析:設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接OP,OR,F(xiàn)2P,F(xiàn)2R, 因為P,R關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以|OP|=|OR|, 又|OF1|=|OF2|,PF1⊥RQ, 故四邊形F1RF2P為矩形. 設(shè)|PF1|=m,由雙曲線的定義,得|PF2|=m-2a. 法一:因為△QF1P為等腰直角三角形, 所以|QF1|=|PF1|=m,|PQ|=m, 連接QF2,則|QF2|=m+2a. 在△QPF2中,∠QPF2=45°+90°=135°, 由余弦定理得(m+2a)2=(m-2a)2+(m)2-2(m-2a)·m·cos 135°,化簡得m=3a. 在Rt△F1PF2中,|PF1|=3a,|PF2|=a,|F1F2|=2c, 所以(3a)2+a2=(2c)2,即5a2=2c2,=, 即雙曲線的離心率為. 法二:因為△QF1P為等腰直角三角形, 所以|QF1|=|PF1|=m,連接QF2, 則在Rt△QRF2中,|RQ|=2m-2a, |RF2|=m,|QF2|=m+2a, 由勾股定理得(2m-2a)2+m2=(m+2a)2, 化簡得m=3a. 在Rt△F1PF2中,|PF1|=3a,|PF2|=a,|F1F2|=2c, 所以(3a)2+a2=(2c)2,即5a2=2c2,=, 即雙曲線的離心率為. 答案:

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