2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 算法初步 1-1-1 算法的概念學(xué)案 新人教A版必修3

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1、1．1.1　算法的概念 1．通過回顧二元一次方程組的求解過程，體會算法的基本思想． 2．了解算法的含義和特征． 3．會用自然語言描述簡單的具體問題的算法． 1．算法的特征 (1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限的操作之后停止，不能是無限的． (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的，并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)模棱兩可． (3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后續(xù)步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題． (4)不唯一性：求解某一問題的

2、解法不一定是唯一的，對于同一個問題可以有不同的算法． (5)普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解決． 2．算法與計算機(jī) 計算機(jī)解決任何問題都要依賴于算法．只有將解決問題的過程分解為若干個明確的步驟，即算法，并用計算機(jī)能夠接受的“語言”準(zhǔn)確地描述出來，計算機(jī)才能夠解決問題． 3．算法的設(shè)計 (1)設(shè)計算法的目的 設(shè)計算法的目的實際上是尋求一類問題的解決方法，它可以通過計算機(jī)來完成．設(shè)計算法的關(guān)鍵是把過程分解成若干個明確的步驟，然后用計算機(jī)能夠接受的“語言”準(zhǔn)確地描述出來，從而達(dá)到讓計算機(jī)執(zhí)行的目的． (2)設(shè)計算

3、法的要求 ①寫出的算法必須能解決一類問題． ②要使算法盡量簡單、步驟盡量少． ③要保證算法步驟有效，且計算機(jī)能夠執(zhí)行． 判斷正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)一個算法可以無止境地算下去．(　　) (2)一個程序的算法步驟是可逆的．(　　) (3)算法執(zhí)行后可以不產(chǎn)生確定的結(jié)果．(　　) [提示]　(1)×　一個算法的步驟是有限的，必須保證執(zhí)行有限步后結(jié)束． (2)×　算法的步驟具有順序性，是不可逆的． (3)×　一個算法得到有效地執(zhí)行后應(yīng)該得到確定的結(jié)果． 題型一　對算法概念的理解　　　　　　　　　　　　　　　　　 【典例1】　下列描述不能看作算法

4、的是(　　) A．洗衣機(jī)的使用說明書 B．解方程x2＋2x－1＝0 C．做米飯需要刷鍋、淘米、添水、加熱這些步驟 D．利用公式S＝πr2計算半徑為3的圓的面積，就是計算π×32 [解析]　A、C、D都描述了解決問題的過程，可以看作算法，而B只描述了一個事例，沒有說明怎樣解決問題，不是算法． [答案]　B 　算法的判斷方法 要判斷一個語段是不是算法，需要抓住以下兩點： (1)寫出的算法可以用于解決某一類問題，并且能重復(fù)使用； (2)算法的過程或步驟必須是確定的且經(jīng)過有限步后能完成的． [針對訓(xùn)練1]　下列說法中是算法的有________(填序號)． ①

5、從上海到拉薩旅游，先坐飛機(jī)，再坐客車； ②解一元一次不等式的步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項，系數(shù)化為1； ③求以A(1,1)，B(－1，－2)兩點為端點的線段AB的中垂線方程，可先求出AB中點的坐標(biāo)，再求kAB及中垂線的斜率，最后用點斜式方程求得線段AB的中垂線方程； ④求1×2×3×4的值，先計算1×2＝2，再計算2×3＝6,6×4＝24，得最終結(jié)果為24； ⑤x>2x＋4. [解析]?、僬f明了從上海到拉薩的行程安排．②給出了解一元一次不等式這類問題的解法．③給出了求線段的中垂線的方法及步驟．④給出了求1×2×3×4的值的過程并得出結(jié)果．故①②③④都是算法． [答案]?、?/p>

6、②③④ 題型二算法的設(shè)計 【典例2】　給出求解方程組的一個算法． [解]　解法一：用代入消元法 第一步，由2x＋y＝7得y＝7－2x. 第二步，將y＝7－2x代入4x＋5y＝11，得4x＋5(7－2x)＝11，解得x＝4. 第三步，將x＝4代入方程y＝7－2x，解得y＝－1. 第四步，輸出方程組的解為 解法二：用加減消元法 第一步，方程2x＋y＝7兩邊都乘以5得，10x＋5y＝35. 第二步，將第一步所得的方程與方程4x＋5y＝11作差，消去y得6x＝24，解得x＝4. 第三步，將x＝4代入方程2x＋y＝7，解得y＝－1. 第四步，輸出方程組的解為 　

7、設(shè)計算法的四個步驟 [針對訓(xùn)練2]　所謂正整數(shù)p為素數(shù)是指：p的所有約數(shù)只有1和p.例如，35不是素數(shù)，因為35的約數(shù)除了1,35外，還有5與7；29是素數(shù)，因為29的約數(shù)就只有1和29.試設(shè)計一個能夠判斷一個任意正整數(shù)n(n＞1)是否為素數(shù)的算法． [解]　算法如下： 第一步，給出任意一個正整數(shù)n(n＞1)． 第二步，若n＝2，則輸出“2是素數(shù)”，判斷結(jié)束． 第三步，令m＝1. 第四步，將m的值增加1，仍用m表示． 第五步，如果m≥n，則輸出“n是素數(shù)”，判斷結(jié)束． 第六步，判斷m能否整除n， ①如果能整除，則輸出“n不是素數(shù)”，判斷結(jié)束； ②如果不能整除，則轉(zhuǎn)第

8、四步. 題型三算法的實際應(yīng)用 【典例3】　一次青青草原草原長包包大人帶著灰太狼、懶羊羊和一捆青草過河．河邊只有一條船，由于船太小，只能裝下兩樣?xùn)|西．在無人看管的情況下，灰太狼要吃懶羊羊，懶羊羊要吃青草，請問包包大人如何才能帶著他們平安過河？試設(shè)計一種算法． [思路導(dǎo)引]　先根據(jù)條件建立過程模型，再設(shè)計算法． [解]　包包大人采取的過河的算法可以是： 第一步，包包大人帶懶羊羊過河； 第二步，包包大人自己返回； 第三步，包包大人帶青草過河； 第四步，包包大人帶懶羊羊返回； 第五步，包包大人帶灰太狼過河； 第六步，包包大人自己返回； 第七步，包包大人帶懶羊羊過河．

9、 解決此類問題： (1)弄清題目中所給要求． (2)建立過程模型． (3)根據(jù)過程模型建立算法步驟，必要時由變量進(jìn)行判斷． [針對訓(xùn)練3]　某鐵路客運部門規(guī)定甲、乙兩地之間旅客托運行李的費用為 C＝ 其中W(單位：kg)為行李的質(zhì)量．請設(shè)計一個計算托運費C(單位：元)的算法． [解]　第一步，輸入行李的質(zhì)量W. 第二步，若W≤50，則C＝0.53×W； 否則，C＝50×0.53＋(W－50)×0.85. 第三步，輸出托運費C. 課堂歸納小結(jié) 1．算法的特點：有限性、確定性、邏輯性、普遍性、不唯一性． 2．算法設(shè)計的要求： (1)寫出的算法必須能夠

10、解決一類問題(如判斷一個整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，求任意一個方程的近似解等)，并且能夠 重復(fù)使用． (2)要使算法盡量簡單，步驟盡量少． (3)要保證算法正確，且算法步驟能夠一步一步執(zhí)行，每步執(zhí)行的操作必須確切，不能含混不清，而且在有限步后能得到結(jié)果． 1．下列可以看成算法的是(　　) A．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，課前預(yù)習(xí)，課上認(rèn)真聽講并記好筆記，課下先復(fù)習(xí)再做作業(yè)，之后做適當(dāng)?shù)木毩?xí)題 B．今天餐廳的飯真好吃 C．這道數(shù)學(xué)題難做 D．方程2x2－x＋1＝0無實數(shù)根 [解析]　A是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個步驟，所以是算法． [答案]　A 2．下面四種敘述能稱為算法的是(　　) A．在家里一般是媽

11、媽做飯 B．世界杯決賽中規(guī)定兩隊出場順序為混雙、男單、男雙、女單、女雙，且贏3局者為冠軍 C．在野外做飯叫野炊 D．做飯必須要有米 [解析]　算法是解決一類問題的程序或步驟，A，C，D均不符合． [答案]　B 3．下列有關(guān)“算法”的說法不正確的是(　　) A．算法是解決問題的方法和步驟 B．算法的每一個步驟和次序應(yīng)當(dāng)是確定的 C．算法在執(zhí)行有限個步驟后必須結(jié)束 D．算法是能夠在計算機(jī)上運行的程序語言 [解析]　因為算法是為解決問題而設(shè)計的一系列可操作或可計算的步驟，通過這些步驟能夠有效地解決問題．算法具有有限性、確定性、有序性、可行性、有輸出等特征，因此A，B，C正確，而

12、算法只有用計算機(jī)能夠接受的“語言”準(zhǔn)確的描述出來，才能夠在計算機(jī)上運行，而一般用自然語言描述的算法是不能夠在計算機(jī)上運行的程序語言． [答案]　D 4．有藍(lán)、黑兩個墨水瓶，但現(xiàn)在卻錯把藍(lán)墨水裝在了黑墨水瓶中，黑墨水錯裝在了藍(lán)墨水瓶中，要求將其互換，現(xiàn)有空墨水瓶若干，解決這一問題最少需要的步驟數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　第一步，將藍(lán)墨水裝到一個空墨水瓶中；第二步，將黑墨水裝到黑墨水瓶中；第三步，將藍(lán)墨水裝到藍(lán)墨水瓶中，這樣就解決了這個問題，故選B. [答案]　B 5．早上從起床到出門需要洗臉?biāo)⒀?5 min)、刷水壺(2 min)、燒水(8 min)

13、、泡面(3 min)、吃飯(10 min)、聽廣播(8 min)幾個過程．下列選項中最好的一種算法是(　　) A．第一步，洗臉?biāo)⒀溃诙?，刷水壺．第三步，燒水．第四步，泡面．第五步，吃飯．第六步，聽廣播 B．第一步，刷水壺．第二步，燒水同時洗臉?biāo)⒀溃谌剑菝妫谒牟?，吃飯．第五步，聽廣播 C．第一步，刷水壺．第二步，燒水同時洗臉?biāo)⒀溃谌剑菝妫谒牟?，吃飯同時聽廣播 D．第一步，吃飯同時聽廣播．第二步，泡面．第三步，燒水同時洗臉?biāo)⒀溃谒牟?，刷水? [解析]　最好算法的標(biāo)準(zhǔn)是方便、省時、省力． A中共需5＋2＋8＋3＋10＋8＝36(min)， B中共需2＋8＋3＋10

14、＋8＝31(min)， C中共需2＋8＋3＋10＝23(min)， D中共需10＋3＋8＋2＝23(min)，但算法步驟不合理，最好的算法為C. [答案]　C 課后作業(yè)(一) (時間45分鐘) 學(xué)業(yè)水平合格練(時間25分鐘) 1．下列關(guān)于算法的說法正確的是(　　) A．一個算法的步驟是可逆的 B．描述算法可以有不同的方式 C．算法可以看成是按照要求設(shè)計好的、有限的、確切的計算序列，并且這樣的步驟或序列只能解決當(dāng)前問題 D．算法只能用一種方式顯示 [解析]　由算法的定義知A，C，D錯． [答案]　B 2．計算下列各式中S的值，能設(shè)計算法求

15、解的是(　　) ①S＝＋＋＋…＋； ②S＝＋＋＋…＋＋…； ③S＝＋＋＋…＋(n≥1，n∈N*)． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ [解析]　由算法的有限性知，②不能設(shè)計算法求解，①③都能通過有限步輸出確定結(jié)果． [答案]　B 3．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的正確步驟是(　　) ①配方得(x－2)2＝1；②移項得x2－4x＝－3；③解得x＝1或x＝3；④開方得x－2＝±1. A．①②③④ B．②①④③ C．②③④① D．④③②① [解析]　使用配方法的步驟應(yīng)按移項、配方、開方、得解的順序進(jìn)行，故選B. [答案]　B 4．在用二分法求方程零

16、點的算法中，下列說法正確的是(　　) A．這個算法可以求所有的零點 B．這個算法可以求任何方程的零點 C．這個算法能求所有零點的近似解 D．這個算法可以求變號零點的近似解 [解析]　二分法的理論依據(jù)是函數(shù)的零點存在定理．它解決的是求變號零點的問題，并不能求所有零點的近似值． [答案]　D 5．給出下面一個算法： 第一步，給出三個數(shù)x，y，z. 第二步，計算M＝x＋y＋z. 第三步，計算N＝M. 第四步，得出每次計算結(jié)果． 則上述算法是(　　) A．求和 B．求余數(shù) C．求平均數(shù) D．先求和再求平均數(shù) [解析]　由算法過程可知M為三數(shù)之和，N為這三個數(shù)的平均

17、數(shù)，故選D. [答案]　D 6．已知直角三角形兩直角邊長為a，b，求斜邊長c的一個算法分下列三步： (1)計算c＝； (2)輸入直角三角形兩直角邊長a，b的值； (3)輸出斜邊長c的值． 其中正確的順序是________． [解析]　算法的步驟是有先后順序的，第一步是輸入，最后一步是輸出，中間的步驟是賦值、計算． [答案]　(2)(1)(3) 7．判斷5是否為質(zhì)數(shù)的算法步驟如下： 第一步：用2除5，得余數(shù)為1.因為余數(shù)不為0，所以2不能整除5. 第二步：_____________________________________. 第三步：用4除5，得余數(shù)為1.因為余數(shù)不

18、為0，所以4不能整除5.因此，5是質(zhì)數(shù)． [答案]　用3除5，得余數(shù)為2.因為余數(shù)不為0，所以3不能整除5 8．已知一個學(xué)生的語文成績?yōu)?9，數(shù)學(xué)成績?yōu)?6，外語成績?yōu)?9.求他的總分和平均分的一個算法為： 第一步，令A(yù)＝89，B＝96，C＝99. 第二步，計算總分S＝____________. 第三步，計算平均分M＝____________. 第四步，輸出S和M. [答案]　A＋B＋C　 9．寫出解方程x2－2x－3＝0的一個算法． [解]　解法一：第一步，移項得x2－2x＝3.① 第二步，①式兩邊同加1，并配方得(x－1)2＝4.② 第三步，②式兩邊開方，得x－1＝±

19、2.③ 第四步，解③得x＝3或x＝－1. 解法二：第一步，計算出一元二次方程的判別式的值，并判斷其符號，顯然Δ＝22＋4×3＝16>0. 第二步，將a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x1,2＝得，x1＝3或x2＝－1. 10．下面給出一個問題的算法： 第一步，輸入x. 第二步，若x≥4，則執(zhí)行第三步，否則執(zhí)行第四步． 第三步，輸出2x－1結(jié)束． 第四步，輸出x2－2x＋3結(jié)束． 問： (1)這個算法解決的問題是什么？ (2)當(dāng)輸入的x的值為多少時，輸出的數(shù)值最??？ [解]　(1)這個算法解決的問題是求分段函數(shù)y＝ 的函數(shù)值的問題． (2)本問的實質(zhì)是求分段函數(shù)最

20、小值的問題． 當(dāng)x≥4時，y＝2x－1≥7； 當(dāng)x<4時，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2. ∴函數(shù)最小值為2，當(dāng)x＝1時取到最小值． ∴當(dāng)輸入x的值為1時，輸出的數(shù)值最?。? 應(yīng)試能力等級練(時間20分鐘) 11．給出下列算法： 第一步，輸入正整數(shù)n(n>1)． 第二步，判斷n是否等于2，若n＝2，則輸出n；若n>2，則執(zhí)行第三步． 第三步，依次從2到n－1檢驗?zāi)懿荒苷齨，若不能整除n，則執(zhí)行第四步；若能整除n，則執(zhí)行第一步． 第四步，輸出n. 則輸出的n的值是(　　) A．奇數(shù) B．偶數(shù) C．質(zhì)數(shù) D．合數(shù) [解析]　根據(jù)算法可知n＝2時，輸出n

21、的值2；若n＝3，輸出n的值3；若n＝4,2能整除4，則重新輸入n的值……，故輸出的n的值為質(zhì)數(shù)． [答案]　C 12．小明中午放學(xué)回家自己煮面條吃，有下面幾道工序：①洗鍋、盛水2分鐘；②洗菜6分鐘；③準(zhǔn)備面條及佐料2分鐘；④用鍋把水燒開10分鐘；⑤煮面條和菜共3分鐘．以上各道工序，除了④之外，一次只能進(jìn)行一道工序．小明要將面條煮好，最少要用(　　) A．13分鐘 B．14分鐘 C．15分鐘 D．23分鐘 [解析]　第一步，洗鍋、盛水花2分鐘； 第二步，用鍋把水燒開10分鐘，同時洗菜6分鐘、準(zhǔn)備面條及佐料2分鐘，總計10分鐘． 第三步，用燒開的水煮面條和菜要3分鐘． 總

22、計共用2＋10＋3＝15分鐘． [答案]　C 13. 下面給出了解決問題的算法： 第一步，輸入x. 第二步，若x≤1，則y＝2x－1，否則y＝x2＋3. 第三步，輸出y. (1)這個算法解決的問題是________； (2)當(dāng)輸入的x值為________時，輸入值與輸出值相等． [解析]　由算法過程知這個算法解決的問題是求分段函數(shù)y＝ 的函數(shù)值，由或 解得x＝1. [答案]　(1)求分段函數(shù)y＝的函數(shù)值　(2)1 14．已知一個算法如下： 第一步，令m＝a. 第二步，如果b

23、c＝2，則執(zhí)行這個算法的結(jié)果是________． [解析]　這個算法是求a，b，c三個數(shù)中的最小值，故這個算法的結(jié)果是2. [答案]　2 15．設(shè)計一個算法，找出閉區(qū)間[20,25]上所有能被3整除的整數(shù)． [解]　第一步，用20除以3，余數(shù)不為0，故20不能被3整除； 第二步，用21除以3，余數(shù)為0，故21能被3整除； 第三步，用22除以3，余數(shù)不為0，故22不能被3整除； 第四步，用23除以3，余數(shù)不為0，故23不能被3整除； 第五步，用24除以3，余數(shù)為0，故24能被3整除； 第六步，用25除以3，余數(shù)不為0，故25不能被3整除； 第七步，指出在閉區(qū)間[20,25]上能被3整除的整數(shù)為21和24. 12