2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 習(xí)題課 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修1-1

《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 習(xí)題課 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 習(xí)題課 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修1-1（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、習(xí)題課　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.2.理解函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.3.掌握函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用. 知識(shí)點(diǎn)一　函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x) f′(x)的正負(fù) f(x)的單調(diào)性 f′(x)>0 單調(diào)遞增 f′(x)<0 單調(diào)遞減 知識(shí)點(diǎn)二　求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法 解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)， (1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值. (2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)

2、是極小值. 知識(shí)點(diǎn)三　函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上最大值與最小值的求法 1.求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值. 2.將函數(shù)y＝f(x)的極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值. 1.函數(shù)y＝xlnx在上是減函數(shù).(　√　) 2.若函數(shù)y＝ax－lnx在內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍為(2，＋∞).(　×　) 3.設(shè)函數(shù)f(x)＝x·(x－c)2在x＝2處有極大值，則c＝2.(　×　) 4.函數(shù)f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值為.(　√　) 類(lèi)型一　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性 例1　已知函數(shù)f(x)＝lnx

3、，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中g(shù)(x)的函數(shù)圖象在點(diǎn)(1，g(1))處的切線(xiàn)平行于x軸. (1)確定a與b的關(guān)系； (2)若a≥0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 解　(1)依題意得g(x)＝lnx＋ax2＋bx， 則g′(x)＝＋2ax＋b. 由函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1，g(1))處的切線(xiàn)平行于x軸得g′(1)＝1＋2a＋b＝0， ∴b＝－2a－1. (2)由(1)得 g′(x)＝＝. ∵函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， ∴當(dāng)a＝0時(shí)，g′(x)＝－. 由g′(x)＞0得0＜x

4、＜1，由g′(x)＜0得x＞1，即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減； 當(dāng)a＞0時(shí)，令g′(x)＝0得x＝1或x＝， 若＜1，即a＞，由g′(x)＞0得x＞1或0＜x＜， 由g′(x)＜0得＜x＜1， 即函數(shù)g(x)在，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 若＞1，即0＜a＜，由g′(x)＞0得x＞或0＜x＜1，由g′(x)＜0得1＜x＜， 即函數(shù)g(x)在(0,1)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 若＝1，即a＝，在(0，＋∞)上恒有g(shù)′(x)≥0， 即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增. 綜上可得，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

5、在(1，＋∞)上單調(diào)遞減； 當(dāng)00，故f(x)在

6、(0，＋∞)上單調(diào)遞增； ②當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； ③當(dāng)00，故f(x)在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增. 綜上所述，當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； 當(dāng)0

7、　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 解　(1)f′(x)＝3x2－a. ①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù). ②當(dāng)a＞0時(shí)，令3x2－a＝0得x＝±； 當(dāng)x＞或x＜－時(shí)，f′(x)＞0； 當(dāng)－＜x＜時(shí)，f′(x)＜0. 因此f(x)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù). 綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上為增函數(shù)； 當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù). (2)因?yàn)閒(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立. 因?yàn)?x2≥0，所以只需a≤0. 又因?yàn)閍＝

8、0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，所以a≤0，即a的取值范圍為(－∞，0]. 引申探究 1.函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍. 解　因?yàn)閒′(x)＝3x2－a，且f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)， 所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立， 所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3， 即a的取值范圍為(－∞，3]. 2.函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(－1,1)上為減函數(shù)，試求a的取值范圍. 解　由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得

9、a≥3x2在(－1,1)上恒成立. 因?yàn)椋?＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3. 即當(dāng)a的取值范圍為[3，＋∞)時(shí)，f(x)在(－1,1)上為減函數(shù). 3.函數(shù)f(x)不變，若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,1)，求a的值. 解　由例題可知， f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為， ∴＝1，即a＝3. 4.函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍. 解　∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a. 由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0). ∵f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調(diào)， ∴0＜＜1，得0＜a＜3， 即a的取值范圍為(0,3). 反思

10、與感悟　f(x)為(a，b)上的增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解. 跟蹤訓(xùn)練2　已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋在上是增函數(shù)，求a的取值范圍. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 解　因?yàn)閒(x)＝x2＋ax＋在上是增函數(shù)， 故f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立， 即a≥－2x在上恒成立. 令h(x)＝－2x，則h′(x)＝－－2， 當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)＜0，則h(x)為減函數(shù)， 所以h(x)＜h＝3.所以a≥3. 故a

11、的取值范圍是[3，＋∞). 類(lèi)型二　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 例3　已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b的圖象上一點(diǎn)P(1,0)，且在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與直線(xiàn)3x＋y＝0平行. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，t](0

12、＝－3. 又函數(shù)過(guò)(1,0)點(diǎn)，即－2＋b＝0，b＝2. 所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2. (2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x. 由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ①當(dāng)0

13、 t3－3t2＋2 f(x)min＝f(2)＝－2， f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個(gè). 因?yàn)閒(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0， 所以f(x)max＝f(0)＝2. (3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c， 則g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2). 當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(2,3]時(shí)，g′(x)>0. 要使g(x)＝0在[1,3]上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根， 則解得－2

14、單調(diào)性即可得極值點(diǎn)，當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，相應(yīng)的極值點(diǎn)必為函數(shù)的最值點(diǎn). (2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí)，對(duì)函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷，只需要直接與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可獲得. 跟蹤訓(xùn)練3　已知函數(shù)f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng). (1)求a，b的值； (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值； (3)當(dāng)x∈[1,5]時(shí)，求函數(shù)的最值. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 解　(1)∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)， 則f(x)是奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)，

15、 即－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b， 于是2(a－1)x2＋2b＝0恒成立， ∴解得a＝1，b＝0. (2)由(1)得f(x)＝x3－48x， ∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)， 令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4； 令f′(x)<0，得－40，得x<－4或x>4. ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－4,4)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－4)和(4，＋∞)， ∴f(x)極大值＝f(－4)＝128，f(x)極小值＝f(4)＝－128. (3)由(2)知，函數(shù)在[1,4]

16、上單調(diào)遞減，在[4,5]上單調(diào)遞增，則f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，∴函數(shù)的最大值為－47，最小值為－128. 1.已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 答案　(0,1) 解析　f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，顯然a>0，f′(x)＝3(x＋)(x－)，由已知條件0<<1，解得0

17、_. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 答案?。?7 解析　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， ∴f(x)在x∈[0,2]上單調(diào)遞減，在[－2,0]上單調(diào)遞增， ∴f(x)的最大值為f(0)＝m＝3， f(x)的最小值為f(－2)＝－16－24＋3＝－37. 3.已知函數(shù)f(x)＝在(－2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 答案　 解析　因?yàn)閒(x)＝，所以f′(x)＝. 由函數(shù)f(x)在(－2，＋∞)內(nèi)單

18、調(diào)遞減， 知f′(x)≤0在(－2，＋∞)內(nèi)恒成立， 即≤0在(－2，＋∞)內(nèi)恒成立，因此a≤. 當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝，此時(shí)函數(shù)f(x)為常函數(shù)， 故a＝不符合題意，舍去. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 4.已知a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值為4，則f(x)在[－1,0]上的最小值為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 答案?。? 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值為4，所以函數(shù)g(x)＝ax3＋bx在[0,1]上的最大值為2，而g(x)是奇函

19、數(shù)，所以g(x)在[－1,0]上的最小值為－2，故f(x)在[－1,0]上的最小值為－2＋2－1＝－. 5.已知a∈R，且函數(shù)y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 答案　(－∞，－1) 解析　因?yàn)閥＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a. 令y′＝0，即ex＋a＝0，則ex＝－a，即x＝ln(－a)， 又因?yàn)閤＞0，所以－a＞1，即a＜－1. 導(dǎo)數(shù)作為一種重要的工具，在研究函數(shù)中具有重要的作用，例如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等問(wèn)題，都可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)得以解決.

20、不但如此，利用導(dǎo)數(shù)研究得到函數(shù)的性質(zhì)后，還可以進(jìn)一步研究方程、不等式等諸多代數(shù)問(wèn)題，所以一定要熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的各種方法. 一、填空題 1.函數(shù)y＝ex－lnx的值域?yàn)開(kāi)_______. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 答案　[2，＋∞) 解析　由y′＝e－(x＞0)知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且函數(shù)連續(xù)、無(wú)上界，從而y＝ex－lnx的值域?yàn)閇2，＋∞). 2.函數(shù)y＝在定義域內(nèi)的最大值、最小值分別是________. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　2，－2 解析　函數(shù)的定義域?yàn)镽. 令y′＝＝＝0， 得x＝

21、±1.當(dāng)x變化時(shí)，y′，y隨x的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) y′ － 0 ＋ 0 － y ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 當(dāng)x趨近于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，y趨近于0；當(dāng)x趨近于正無(wú)窮大時(shí)，y趨近于0.由上表可知，當(dāng)x＝－1時(shí)，y取極小值也是最小值－2；當(dāng)x＝1時(shí)，y取極大值也是最大值2. 3.設(shè)f(x)＝4x3＋mx2＋(m－3)x＋n(m，n∈R)是R上的單調(diào)增函數(shù)，則m的值為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 答案　6 解析　因?yàn)閒(x)是

22、R上的單調(diào)增函數(shù)，故f′(x)＝12x2＋2mx＋(m－3)≥0在x∈R上恒成立，于是Δ＝4m2－48(m－3)≤0，即(m－6)2≤0，得m＝6. 4.已知函數(shù)f(x)＝2f′(1)lnx－x，則f(x)的極大值為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 答案　2ln2－2 解析　f′(x)＝－1，令x＝1得，f′(1)＝2f′(1)－1，f′(1)＝1，所以f(x)＝2lnx－x，f′(x)＝－1，f′(x)＝－1的零點(diǎn)是x＝2，所以當(dāng)00，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)，

23、所以x＝2是f(x)的極大值點(diǎn)，極大值為f(2)＝2ln2－2. 5.已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸相切于點(diǎn)(1,0)，則函數(shù)f(x)的極大值為_(kāi)_______，極小值為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 答案　　0 解析　∵f′(x)＝3x2－2px－q， ∴f′(1)＝3－2p－q＝0.① 又f(1)＝1－p－q＝0，② 由①②解得p＝2，q＝－1， ∴f(x)＝x3－2x2＋x，∴f′(x)＝3x2－4x＋1. 令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝，x2＝1. 當(dāng)x<時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)

24、1時(shí)，f′(x)>0， ∴當(dāng)x＝時(shí)，f(x)有極大值為；當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極小值為0. 6.若函數(shù)y＝a(x3－x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 答案　(0，＋∞) 解析　y′＝a(3x2－1)，令y′＝0，得x＝±.由函數(shù)y＝a(x3－x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，得導(dǎo)函數(shù)y′＝a(3x2－1)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，所以a>0. 7.若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù)，在區(qū)間(6，＋∞)上為增函數(shù)

25、，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 答案　[5,7] 解析　函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝x2－ax＋a－1. 令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1. 當(dāng)a－1≤1，即a≤2時(shí)，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，不合題意. 當(dāng)a－1>1，即a>2時(shí)，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上為增函數(shù)，在(1，a－1)上為減函數(shù)，在(a－1，＋∞)上為增函數(shù). 依題意有當(dāng)x∈(1,4)時(shí)，f′(x)≤0， 當(dāng)x∈(6，＋∞)時(shí)，f′(x)≥0， 所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7， 所以a的取值范圍為

26、[5,7]. 8.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案?。?3 解析　由題意求導(dǎo)得f′(x)＝－3x2＋2ax， 由函數(shù)f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0， 即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3. 由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x， 易知f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)m∈[－1,1]時(shí)，f(m)min＝f(0)＝－4. 又∵f′(x)＝－3x2＋6x的圖象開(kāi)口

27、向下，且對(duì)稱(chēng)軸為x＝1， ∴當(dāng)n∈[－1,1]時(shí)，f′(n)min＝f′(－1)＝－9. 故f(m)＋f′(n)的最小值為－13. 9.若函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的極大值為6，極小值為2，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　(－1,1) 解析　令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±， 則f(x)，f′(x)隨x的變化情況如下表： x (－∞，－) － (－，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 從而解得

28、 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,1). 10.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若對(duì)于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　[4，＋∞) 解析　∵x∈(0,1]，∴f(x)≥0可化為a≥－. 令g(x)＝－，則g′(x)＝， 令g′(x)＝0，得x＝. 當(dāng)00； 當(dāng)

29、點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)垂直于y軸. (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 解　(1)f′(x)＝－＋. 由題意知，曲線(xiàn)在x＝1處的切線(xiàn)斜率為0，即f′(1)＝0， 從而有a－＋＝0，解得a＝－1. (2)由(1)知，f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x>0)， 則f′(x)＝－－＋ ＝＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去). 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù).

30、故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3. 12.已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx，其中a為常數(shù). (1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為－3，求a的值. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 解　(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝－x＋lnx， f′(x)＝－1＋＝， 當(dāng)00；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù). ∴f(x)max＝f(1)＝－1. (2)∵f′(x)＝a＋，當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，∈， ①若a≥－，

31、則f′(x)≥0，f(x)在(0，e]上是增函數(shù)， ∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0不合題意； ②若a<－，則由f′(x)>0， 即a＋>0，得0，且當(dāng)x∈[1,4a]時(shí)，|?f′(x)|≤12a恒成立，試確定a的取

32、值范圍. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x3－3x2－9x＋1，且f′(x)＝3x2－6x－9， 由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3. 當(dāng)x<－1時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－13時(shí)，f′(x)>0. 因此x＝3是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f(3)＝－26. (2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的圖象是一條開(kāi)口向上且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝a的拋物線(xiàn)， 因此，若

33、所以f′(x)在[1,4a]上的最小值為f′(1)＝3－6a－9a2，最大值為f′(4a)＝15a2. 由|?f′(x)|≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a， 于是3－6a－9a2≥－12a，且15a2≤12a， 結(jié)合1，則|?f′(a)|＝12a2>12a， 故當(dāng)x∈[1,4a]時(shí)，|?f′(x)|≤12a不恒成立. 所以使|?f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范圍為. 三、探究與拓展 14.設(shè)f(x)＝x3＋x，x∈R，若當(dāng)0≤θ≤時(shí)，f(msinθ)＋f(1－m)>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)___

34、____. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　(－∞，1) 解析　因?yàn)閒(x)＝x3＋x，x∈R， 故f′(x)＝3x2＋1>0， 則f(x)在x∈R上為單調(diào)增函數(shù)， 又因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，故f(x)也為奇函數(shù)， 由f(msinθ)＋f(1－m)>0， 即f(msinθ)>－f(1－m)＝f(m－1)， 得msinθ>m－1，即m(sinθ－1)>－1， 因?yàn)?≤θ≤， 故當(dāng)θ＝時(shí)，0>－1恒成立； 當(dāng)θ∈時(shí)，m<恒成立， 即m

35、[t，t＋2](t>0)上的最小值； (2)若函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值； (3)若函數(shù)y＝f(x)＋g(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2(x1ln 2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 解　(1)令f′(x)＝lnx＋1＝0得x＝， ①當(dāng)0

36、，f(x)－g(x)＝xlnx＋x2－ax＋2＝0在(0，＋∞)上有且僅有一個(gè)根， 即a＝lnx＋x＋在(0，＋∞)上有且僅有一個(gè)根， 令h(x)＝lnx＋x＋(x>0)，則h′(x)＝＋1－＝＝(x＋2)(x－1)(x>0)， 易知h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a＝h(x)min＝h(1)＝3. (3)由題意得，y＝f(x)＋g(x)＝xlnx－x2＋ax－2，則其導(dǎo)函數(shù)為y′＝lnx－2x＋1＋a， 由題意知y′＝lnx－2x＋1＋a＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2， 等價(jià)于a＝－lnx＋2x－1有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，且x10)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 由G′(x)＝－＋2(x>0)，得G(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 畫(huà)出函數(shù)G(x)圖象的大致形狀(如圖). 由圖象易知，當(dāng)a>G(x)min＝G＝ln2時(shí)，x1，x2存在，且x2－x1的值隨著a的增大而增大. 而當(dāng)x2－x1＝ln2時(shí)， 則有 兩式相減可得ln＝2(x2－x1)＝2ln2， 得x2＝4x1，代入上述方程組解得x1＝，x2＝ln2， 此時(shí)實(shí)數(shù)a＝ln2－ln－1， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 17