（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8講 函數(shù)與方程學(xué)案

《（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8講 函數(shù)與方程學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8講 函數(shù)與方程學(xué)案（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第8講　函數(shù)與方程 板塊一　知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1　函數(shù)零點(diǎn) 1．定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)． 2．三個(gè)等價(jià)關(guān)系 3．存在性定理 考點(diǎn)2　二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象 與x軸的交點(diǎn) (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無(wú)交點(diǎn) 零點(diǎn) x1，x2 x1 無(wú) 考點(diǎn)3　二分法 對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)

2、y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． [必會(huì)結(jié)論] 1．若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)y＝f(x)一定有零點(diǎn)． 2.由函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如圖所示．所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件．事實(shí)上，只有當(dāng)函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)(不是偶個(gè)零點(diǎn))時(shí)，函數(shù)值才變號(hào)，即相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的函數(shù)值同號(hào)． 3．若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)

3、，且f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則f(a)·f(b)＜0?函數(shù)f(x)在[a，b]上只有一個(gè)零點(diǎn)． [考點(diǎn)自測(cè)] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．(　　) (2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在當(dāng)b2－4ac<0時(shí)沒有零點(diǎn)．(　　) (3)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)＜0.(　　) (4)若f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)＞0，則f(x)在(a，b)內(nèi)沒有零點(diǎn)．(　　) (5)函數(shù)f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零

4、點(diǎn)，則－1≤k≤－.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．[課本改編]函數(shù)f(x)＝x－的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．無(wú)數(shù)個(gè) 答案　C 解析　令f(x)＝0，解x－＝0，即x2－4＝0，且x≠0，則x＝±2. 3．[課本改編]方程2－x＋x2＝3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．1 D．4 答案　A 解析　構(gòu)造函數(shù)y＝2－x與y＝3－x2，在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖象，可知有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程2－x＋x2＝3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2.故選A. 4．[2018·西安模擬]設(shè)f(x)＝ln

5、x＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案　B 解析　函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的范圍．作出圖象如圖，可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)．故選B. 5．[2018·安徽模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y＝2a與函數(shù)y＝|x－a|－1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為________． 答案?。? 解析　函數(shù)y＝|x－a|－1的大致圖象如圖所示，∴若直線y＝2a與函數(shù)y＝|x－a|－1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，只需

6、2a＝－1，可得a＝－. 6．[2018·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)]用二分法求圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在(1,5)上的近似解(精確度為0.1)，求解的部分過(guò)程如下：f(1)·f(5)<0，取(1,5)的中點(diǎn)x1＝＝3，計(jì)算得f(1)·f(x1)<0，f(x1)·f(5)>0，則此時(shí)能判斷函數(shù)f(x)一定有零點(diǎn)的區(qū)間為________． 答案　(1,3) 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)且f(1)·f(3)<0，所以函數(shù)f(x) 在(1,3)內(nèi)一定有零點(diǎn)． 板塊二　典例探究·考向突破 考向　確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間 例　1　[2018·德州模擬]函數(shù)f(x)＝ln (x＋1)－的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　

7、) A. B．(1，e－1) C．(e－1,2) D．(2，e) 答案　C 解析　因?yàn)閒＝ln －4<0，f(1)＝ln 2－2<0，f(e－1)＝1－<0，f(2)＝ln 3－1>0，所以f(e－1)f(2)<0，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(e－1,2)． 【變式訓(xùn)練1】　函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　易知函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3在R上為增函數(shù)，故f(x)＝ex＋4x－3至多有一個(gè)零點(diǎn)．∵f＝e＋1－3＝e－2<0，f＝e＋2－3＝e－1>0，∴函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)

8、間為. 考向　判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 例　2　函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù) y＝|log0.5x|與y＝圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|log0.5x|與y＝的圖象如圖． 由圖象易知有兩個(gè)交點(diǎn)． 觸類旁通 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法 (1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)． (2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<

9、0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì)． (3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)． 【變式訓(xùn)練2】　函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． 答案　2 解析　當(dāng)x≤0時(shí)，由x2－2＝0得x＝－；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 考向　與函數(shù)零點(diǎn)

10、有關(guān)的求參問(wèn)題 例3　(1)[2018·嘉興模擬]設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝x－2的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，則x0所在的區(qū)間是________． 答案　(1,2) 解析　設(shè)f(x)＝x3－x－2，則x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y＝x3與y＝x－2的圖象如圖所示． 因?yàn)閒(1)＝1－－1＝－1＜0， f(2)＝8－0＝7＞0，所以f(1)f(2)＜0， 所以x0∈(1,2)． (2)[2016·山東高考]已知函數(shù)f(x)＝ 其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________．

11、 答案　(3，＋∞) 解析　函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，根據(jù)題意知只要m>4m－m2即可，又m>0，解得m>3，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3，＋∞)． 觸類旁通 已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍． (2)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 【變式訓(xùn)練3】　(1)[2018·啟東檢測(cè)]若函數(shù)f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在區(qū)間(2,3)上有零點(diǎn)，則k＝________. 答案　4 解析　函數(shù)f(x)＝log2x＋x－k在(2,3)

12、上單調(diào)遞增，所以f(2)f(3)<0，即(log22＋2－k)·(log23＋3－k)<0，整理得(3－k)(log23＋3－k)<0，解得3

13、a≥2；當(dāng)a<1時(shí)，要使f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，需滿足解得≤a<1. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為∪[2，＋∞)． 核心規(guī)律 1.判定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法 (1)零點(diǎn)存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)解方程f(x)＝0. 2.研究方程f(x)＝g(x)的解，實(shí)質(zhì)就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)． 3.轉(zhuǎn)化思想：方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題；已知方程有解求參數(shù)范圍問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題． 滿分策略 1.函數(shù)f(x)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 2.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)

14、充分條件，而不是必要條件；判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性或結(jié)合函數(shù)圖象來(lái)分析. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 題型技法系列4——利用函數(shù)的零點(diǎn)比較大小 [2018·武漢調(diào)研]已知x0是函數(shù)f(x)＝2x＋的一個(gè)零點(diǎn)．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則(　　) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 解題視點(diǎn)　構(gòu)造函數(shù)y＝2x和函數(shù)y＝，并畫出函數(shù)的圖象，可根據(jù)函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷． 解析　在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝2x和函數(shù)y＝的圖象

15、，如圖所示． 由圖可知函數(shù)y＝2x和函數(shù)y＝的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)＝2x＋只有一個(gè)零點(diǎn)x0，且x0>1. 因?yàn)閤1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則由函數(shù)圖象可知，f(x1)<0，f(x2)>0. 答案　B 答題啟示　借助函數(shù)零點(diǎn)比較大小.要比較f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)、f(b)與0的大小. 跟蹤訓(xùn)練 [2018·廣東七校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝x－log3x，若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)＝0的解，且x0

16、log3x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，于是，若f(x0)＝0，當(dāng)x0

17、案　C 解析　因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則由題意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得0

18、內(nèi)(　　) A．(0,1) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2) 答案　D 解析　令f(x)＝2ln x－3＋x，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上遞增，且f(1)＝－2<0，f(2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函數(shù)f(x)在(1,2)上有零點(diǎn)，即a在區(qū)間(1,2)內(nèi)． 5．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x5＋8x3－1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過(guò)計(jì)算得f(0)<0，f(0.5)>0，則其中一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為(　　) A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0.5,1)，f(0.875) C．(0.5,1)，f(0.75)

19、 D．(0,0.5)，f(0.25) 答案　D 解析　∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0， ∴f(0)·f(0.5)<0，∴其中一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(0,0.5)，第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值應(yīng)為f(0.25)．故選D. 6．[2018·昆明模擬]若x0是方程x＝x的解，則x0屬于區(qū)間(　　) A. B. C. D. 答案　B 7．[2018·大連模擬]函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln x－1的零點(diǎn)有(　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 答案　B 解析　由f(x)＝(x＋1)ln x－1＝0，得ln x＝，作出函

20、數(shù)y＝ln x，y＝的圖象如圖，由圖象可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.選B. 8．[2018·孝感高級(jí)中學(xué)調(diào)考]函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的零點(diǎn)在區(qū)間(a，a＋1)(a∈Z)內(nèi)，則a＝________. 答案　2 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ln x＋2x－6的定義域?yàn)?0，＋∞)，所以a≥0，函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，f(1)＝－4<0，f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，所以函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi)，故a＝2. 9．g(x)＝x＋－m(x>0，其中e表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．若g(x)在(0

21、，＋∞)上有零點(diǎn)，則m的取值范圍是________． 答案　[2e，＋∞) 解析　由g(x)＝0，得x2－mx＋e2＝0，x>0. 由此方程有大于零的根，得 解得故m≥2e. 10．[2018·安慶模擬]已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 答案　(－1,0) 解析　關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝k的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－1,0)． [B級(jí)　知能提升] 1．[2018·衡陽(yáng)模擬]函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2的零點(diǎn)

22、所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案　B 解析　函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2的定義域?yàn)?0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，圖象是一條連續(xù)曲線． 又f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)． 2．[2018·大連一模]f(x)是R上的偶函數(shù)，f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2，則函數(shù)y＝f(x)－|log5x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．4 B．5 C．8

23、 D．10 答案　B 解析　由零點(diǎn)的定義可得f(x)＝|log5x|，兩個(gè)函數(shù)圖象如圖，總共有5個(gè)交點(diǎn)，所以共有5個(gè)零點(diǎn)． 3.[2017·唐山模擬]當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，函數(shù)y＝x2與y＝ax(a>0)的圖象有交點(diǎn)，求a的取值范圍________． 答案　 解析　當(dāng)a＝1時(shí)，顯然成立．當(dāng)a>1時(shí)，如圖①所示，使得兩個(gè)函數(shù)圖象有交點(diǎn)，需滿足×22≥a2，即1

24、式； (2)若方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，求a的取值范圍． 解　(1)設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝x2＋2x. 又∵f(x)是奇函數(shù)， ∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. ∴f(x)＝ (2)方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，即y＝f(x)與y＝a的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，作出y＝f(x)與y＝a的圖象如圖所示，故若方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，只需－1