高二數(shù)學(xué)選修 直線與拋物線的位置關(guān)系

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1、會計學(xué)1高二數(shù)學(xué)選修高二數(shù)學(xué)選修 直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線的位置關(guān)系 判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入雙曲線方程把直線方程代入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行漸進(jìn)線平行相交（一個交點）相交（一個交點） 計計 算算 判判 別別 式式0=00相交相交相切相切相離相離復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):第1頁/共35頁相交相交(一個交點一個交點)11625:, 145: 2 22yxcxyl相離相離11625:, 154: 1 22yxcxyl第2頁/共35頁3.雙曲線雙曲線x2-y2=

2、1的左焦點為的左焦點為F,點點P為左支下半支上任意一點為左支下半支上任意一點(異于頂點異于頂點),則直線則直線PF的斜率的變化范圍是的斜率的變化范圍是_01，4.過原點與雙曲線過原點與雙曲線 交于兩點的直線斜率的交于兩點的直線斜率的取值范圍是取值范圍是 13422yx32 3，2第3頁/共35頁xyO直線與拋物線的位置關(guān)系第4頁/共35頁一、直線與拋物線位置關(guān)系種類一、直線與拋物線位置關(guān)系種類xyO1、相離；、相離；2、相切；、相切；3、相交（一個交、相交（一個交點，兩個交點）點，兩個交點）與雙曲線的情況一樣與雙曲線的情況一樣第5頁/共35頁xyO二、判斷方法探討二、判斷方法探討1、直線與拋物

3、線相離，無交點。、直線與拋物線相離，無交點。例：判斷直線例：判斷直線 y = x +2與與拋物線拋物線 y2 =4x 的位置關(guān)系的位置關(guān)系計算結(jié)果：得計算結(jié)果：得到一元二次方到一元二次方程，需計算判程，需計算判別式。相離。別式。相離。第6頁/共35頁xyO二、判斷方法探討二、判斷方法探討2、直線與拋物線相切，交與一點。、直線與拋物線相切，交與一點。例：判斷直線例：判斷直線 y = x +1與與拋物線拋物線 y2 =4x 的位置關(guān)系的位置關(guān)系計算結(jié)果：得計算結(jié)果：得到一元二次方到一元二次方程，需計算判程，需計算判別式。相切。別式。相切。第7頁/共35頁xyO二、判斷方法探討二、判斷方法探討3、直

4、線與拋物線的對稱軸平行，相交與、直線與拋物線的對稱軸平行，相交與一點。一點。例：判斷直線例：判斷直線 y = 6與拋物線與拋物線 y2 =4x 的的位置關(guān)系位置關(guān)系計算結(jié)果：得到一計算結(jié)果：得到一元一次方程，容易元一次方程，容易解出交點坐標(biāo)解出交點坐標(biāo)第8頁/共35頁xyO二、判斷方法探討二、判斷方法探討例：判斷直線例：判斷直線 y = x -1與與拋物線拋物線 y2 =4x 的位置關(guān)系的位置關(guān)系計算結(jié)果：得到一計算結(jié)果：得到一元二次方程，需計元二次方程，需計算判別式。相交。算判別式。相交。4、直線與拋物線的對稱軸不平行，相交、直線與拋物線的對稱軸不平行，相交與兩點。與兩點。第9頁/共35頁三

5、、判斷位置關(guān)系方法總結(jié)三、判斷位置關(guān)系方法總結(jié)(方法一方法一)把直線方程代入拋物線方程把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直線與拋物直線與拋物線相交線相交(一一個交點個交點)計算判別式計算判別式1、判別式大于、判別式大于 0，相交，相交(2交點）交點）2、判別式等于、判別式等于 0，相切，相切3、判別式小于、判別式小于 0，相離，相離第10頁/共35頁三、判斷位置關(guān)系方法總結(jié)三、判斷位置關(guān)系方法總結(jié)(方法二方法二)判斷直線是否與拋物線的對稱軸平行判斷直線是否與拋物線的對稱軸平行不平行不平行直線與拋物直線與拋物線相交線相交(一個一個交點交點)計

6、算判別式計算判別式判別式大于判別式大于 0，相交，相交判別式等于判別式等于 0，相切，相切判別式小于判別式小于 0，相離，相離平行平行第11頁/共35頁例例1 過拋物線過拋物線 y2=2x的焦點做傾斜角的焦點做傾斜角為為450的弦的弦AB,則則AB的長度是多少的長度是多少?答答: 4變變1 已知拋物線已知拋物線 截直線截直線y=x+b所得弦長為所得弦長為4,求求b的值的值. xy22 變變2 已知拋物線已知拋物線 截直線截直線y=kx+1所得弦長為所得弦長為4,求求k的值的值.xy22 第12頁/共35頁 例例2 求過定點求過定點P（0，1）且與拋物線）且與拋物線 只有一個公共點的直線的方程只

7、有一個公共點的直線的方程.2xy2由 得 0 x2xy20 x0y故直線故直線 x=0與拋物線只有一個交點與拋物線只有一個交點. 解解: (1)若直線斜率不存在若直線斜率不存在,則過點則過點P的直線方程是的直線方程是由方程組由方程組 消去消去 y 得得1kxy2xy2 (2)若直線斜率存在若直線斜率存在,設(shè)為設(shè)為k,則過則過P點的直線方程是點的直線方程是y=kx+1,x=0.第13頁/共35頁011)x2(kxk22故直線故直線 y=1 與拋物線只有一個交點與拋物線只有一個交點 .當(dāng)當(dāng)k00時，若直線與拋物線只有一個公共點，則時，若直線與拋物線只有一個公共點，則.21k0,4k1)4(k22此

8、時直線方程為此時直線方程為1.x21y綜上所述，所求直線方程是綜上所述，所求直線方程是 x=0 或或 y=1 或或1.x21y 點評：本題用了分類討論的方法點評：本題用了分類討論的方法.若先用若先用數(shù)形結(jié)合，找出符合條件的直線的條數(shù)，就數(shù)形結(jié)合，找出符合條件的直線的條數(shù)，就不會造成漏解。不會造成漏解。21當(dāng)當(dāng) k=0時，時，x= ,y=1.第14頁/共35頁例例2變式：變式： 已知拋物線的方程為已知拋物線的方程為y=4x,直線直線l過定點過定點P(-2,1)，斜，斜率為率為k,k為何值時，直線為何值時，直線l與拋物線與拋物線y=4x:只有一個公共點；有只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？

9、兩個公共點；沒有公共點？).2(1xkyl的方程為解：由題意，設(shè)直線xyxky4)2(12由方程組0) 12(442kyky可得).12(160)2(2kkk時，方程的判別式為當(dāng)0120120kk，即由.21, 1kk或解得個公共點。即直線與拋物線只有一，時，方程組只有一個解，或即當(dāng)211kk第15頁/共35頁0120220kk，即由.211k解得公共點。即直線與拋物線有兩個時，方程組有兩個解，且即當(dāng)0,211kk0120320kk，即由.211kk，或解得共點。即直線與拋物線沒有公，時，方程組沒有實數(shù)解或即當(dāng)211kk第16頁/共35頁個公共點。即直線與拋物線只有一時，或，或綜上所述，當(dāng)02

10、11kkk公共點。即直線與拋物線有兩個時，且當(dāng)0,211kk共點。即直線與拋物線沒有公時，或當(dāng)211kk第17頁/共35頁xy82 變形:求斜率為4且與拋物線 相交的平行弦的中點軌跡方程.xy82 直線y= -1在拋物線內(nèi)的部分第18頁/共35頁xy 2)1 ,1(,53第19頁/共35頁 拓展：拓展： 過拋物線過拋物線y2=2px的焦點的焦點F任作一條直線任作一條直線m，交這拋物線于交這拋物線于A、B兩點，求證：以兩點，求證：以AB為直徑的圓為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切和這拋物線的準(zhǔn)線相切xy42 2第20頁/共35頁證明：如圖 所以所以EH是以是以AB為直徑的為直徑的圓圓E的半徑，且的半

11、徑，且EHl，因，因而圓而圓E和準(zhǔn)線和準(zhǔn)線l相切相切設(shè)設(shè)AB的中點為的中點為E，過，過A、E、B分別向準(zhǔn)線分別向準(zhǔn)線l引垂引垂線線AD，EH，BC，垂足為，垂足為D、H、C，則則AFAD，BFBCABAFBFADBC =2EH第21頁/共35頁第22頁/共35頁拋物線的焦點弦的特征拋物線的焦點弦的特征1、已知、已知AB是拋物線是拋物線y22px的任意一條焦點弦，且的任意一條焦點弦，且A（x1，y1）、）、B（x2，y2）1）求證：）求證：y1y2P2，x1x2p2/4。2）設(shè)）設(shè)為直線為直線AB的傾斜角，求證：當(dāng)?shù)膬A斜角，求證：當(dāng)90o時，取時，取得得AB的最小值的最小值2p。3）若弦）若弦A

12、B過焦點，求證：以過焦點，求證：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。切。124) ABxxP第23頁/共35頁xyOAB第24頁/共35頁第25頁/共35頁第26頁/共35頁第27頁/共35頁例例1 已知拋物線的方程為已知拋物線的方程為y=4x,直線直線l過定點過定點P(-2,1)，斜率為，斜率為k,k為何值時，直線為何值時，直線l與拋物線與拋物線y=4x:只有一個公共點；有兩個只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？公共點；沒有公共點？).2(1xkyl的方程為解：由題意，設(shè)直線xyxky4)2(12由方程組0) 12(442kyky可得. 10) 1 (yk時，由方程得當(dāng).41

13、,412xxyy得代入把) 1 ,41(點與拋物線只有一個公共這時，直線lXYOP第28頁/共35頁例題例題2.2.已知拋物線已知拋物線y=xy=x2 2, ,動弦動弦ABAB的長為的長為2 2，求，求ABAB中點縱坐標(biāo)的最小值。中點縱坐標(biāo)的最小值。.xoyFABMCND解：),(),(),(2211yxMAByxByxA中中點點設(shè)設(shè),2BCADMN,412yypMNBFBCAFAD,)41(2yBFAF2,ABBFAFABF中43,2)41(2yy即即)41(2yBCAD第29頁/共35頁1.已知M為拋物線 上一動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，定點P(3,1),則 的最小值為（ ） (A)3 (B)

14、4 (C)5 (D)6 MFMP xy422.過點(0,2)與拋物線 只有一個公共點的直線有（ ） （A）1條 (B)2條 (C)3條 (D)無數(shù)多條 xy82B BC C.)0 , 1 (F3xM.N.M.P.P第30頁/共35頁3.過拋物線 的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若PF與FQ的長分別是 ( )(A)2a (B) (C)4a (D)0(2aaxy等于q1p1q則p,a21a2yxF.PQ4.已知A、B是拋物線 上兩點，O為坐標(biāo)原點，若 的垂心恰是此拋物線的焦點，則直線AB的方程是：( ) (A) (B) (C) (D)0(22ppxyAOBOBOA且且,px px3px23px25ABOF.yxC CD D第31頁/共35頁第32頁/共35頁 坐標(biāo)系中，方程坐標(biāo)系中，方程 與與 的曲線是（的曲線是（ ） (A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)xyoxyoyxoyxo12222ybxa)0(02babyax D D第33頁/共35頁第34頁/共35頁