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1、1.5.2 充分條件、必要條件
【課堂例題】
例1?判斷下列p與q是否等價(jià)
⑴ p : a 二 b
⑵ p : x > 2
1
⑶ p : < 1
x
(4) p: x>0,y >0
q: a 2 二 b 2
q:x2 > 4
q: x >1
q : x + y > 0, xy > 0
⑸已知a, b, c g R, a豐0,
q: ax2 + bx + c = 0有兩個(gè)相等的實(shí)根
例2?已知實(shí)系數(shù)一元二次ax2 + bx + c二0,a豐0 ,
求證：“方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的”的充要條件是“b2 — 4ac = 0 ” .
例3?求證：“ x > 0且y >
2、 0 ”成立的充要條件是“x + y > 0且xy > 0 ” .
（選用）例4?證明1 x I +1 y 1=1 x + y1成立的充分非必要條件是xy > 0
1.5.2 充分條件、必要條件
【知識(shí)再現(xiàn)】
i. p與q等價(jià)就是指p是q的 ，或者說q當(dāng)且僅當(dāng)p.
2?當(dāng)證明q的充要條件是p時(shí)，證明充分性是指證明 ；證明必要性是指證
明 .(填寫 p 二 q, q 二 p)
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
i?有下列四組命題，其中P是Q的充要條件的有 (填寫所有正確的序號(hào))。
① P:集合A匸B, B匸C, C匸A，Q :集合A二B二C
② p : a n B 二 A n C，Q: B 二
3、C ；
③ P :(x - 2)(x - 3)二 0， Q 二— 二 0 ；
x 一 3
④ P:拋物線y二ax2 + bx + c過原點(diǎn)，Q: c = 0且a豐0.
2?已知—e R，“ I— I二—”成立的充要條件是 .
3. “方程x2 - x - m二0有兩個(gè)正根”成立的充要條件 .
4. 判斷下列命題的真假：(填寫“真”或“假”)
(1) a > 0是\；a2 — a的充要條件；( )
⑵“ AABC與ADEF對(duì)應(yīng)角相等”是“ AABC與ADEF相似”的充要條件；( )
⑶A匸B是A匸AnB的充要條件；( )
⑷一次函數(shù)y二kx + b,k豐0的圖像不經(jīng)過第四
4、象限的充要條件是k > 0,b > 0 ；( )
11
(5)已知ab豐0，那么a > b是 <二的充要條件.( )
ab
5?集合A = {x 1 ax2 -2x + 3 — 0}是單兀素集合的充要條件是 .
〃「a > 1 fa + b > 2 ?
6?為了說明“成立的充要條件不是”，理由可以是：
lb > 1 lab > 1
7?求證：“二次方程ax2 + bx + c — 0有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根”的充要條件是“ac < 0 ” 證：
充分性：
必要性:
【鞏固提高】
8?已知a b & R，求證：“ a > 1且b > 1 ”成立的充要條件是 “ a + b > 2
5、且 ab 一 (a + b) +1 > 0 "
9?已知x，y e R，寫出一個(gè)使得Ix- y IT x I +1 y I成立的充要條件, 并證明.
I y 2 = 2 x
(選做)10.已知a e R，求使關(guān)于x，y的方程組f 有解的
丄x 一 a)2 + y2 二 1 充要條件.
【溫故知新】
11.(x -1)(x - 2) = 0與(x - 2)(x - 3) = 0有且僅有一個(gè)成立的充要條件是 .
【課堂例題答案】
例 1. 不等價(jià)，不等價(jià)，不等價(jià)，等價(jià)，等價(jià) 例 2. 證：
充分性
b 2 一 4ac = 0，又
b2 一 4ac
b
ax2 + bx +
6、 c = 0 n a(x + )2
2a
因此a( x +
b )
a)2
=0n x = x =
12
b
2a
必要性
方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，設(shè)為x = x ,
12
[ c b
x + x = 2 x =
因?yàn)?J? 1 a，所以(-一 )2 = - n b2 - 4ac = 0
c 2a a
x x = x 2 =—
、1 2 1 a
證畢
例 3. 證 :
充分性
xy > 0 n x > 0, y > 0 或 x < 0, y < 0
又x + y > 0 n x, y中至少有一個(gè)大于零，因此x > 0且y > 0
必要性
x >
7、0且 y >0又兩個(gè)正數(shù)的和或乘積都是正數(shù) 因此,x + y > 0且 xy > 0
例 4. 證 : 充分性
xy > 0 nl xy 1= xy n 21 xy 1= 2xy nl x b +21 xy I +1 y I2 = x2 + 2xy + y2 n (I x I +1 y l)2 = (x + y)2 nl x I +1 y l=l x + y I
非必要性
x = 1,y = 0 時(shí)，III + I0I=I1 + 0In 1 -0 > 0
證畢
【知識(shí)再現(xiàn)答案】
1. 充要條件
2. p n q， q n p
【習(xí)題答案】
1?①④
2. x > 0
1
8、
3. 一 < m < 0
4
4. 假，真，真，假，假
1
5. a = 0 或—
3
6. a
=3,b=3
答案不唯一
7. 證
充分性
ac < 0 n b 2 一 4ac > 0 ,
又因?yàn)榉匠炭勺冃螢?x + 2- )2 =
2a
b2 一 4ac
4a2
-b 土、；b2 - 4-c
2a
2-
4-c c
=< 0
4-2 -
因此方程有兩個(gè)實(shí)根xi,2
-b + \：b2 - 4-c
x - x =—
1 2 2 -
必要性 設(shè)方程的兩個(gè)異號(hào)實(shí)根為x , x
12 c
由韋達(dá)定理：xx = <
9、0，因此-c < 0
1 2 -
證畢
8. 證：
充分性
—+ b > 2 (— — 1) + (b — 1) > 0
又—b — (— + b) +1 > 0 (— — 1)(b — 1) > 0 — — 1 > 0, b — 1 > 0 或——1 < 0, b — 1 < 0
因此——1 > 0,b — 1 > 0，即—> 1 且b > 1.
必要性
—> 1, b > 1 — — 1 > 0, b — 1 > 0 (— — 1) + (b — 1) > 0 且(——1)(b — 1) > 0
即—+ b > 2 且—b — (— + b) +1 > 0
證畢
9
10、?充要條件是xy < 0
證： 這題我們用充要條件鏈來證明
xy < 0 ol xy I二-xy ol x b +21 x II y I +1 y b二 x2 - 2xy + y2 o (I x I +1 y l)2 二(x - y)2 ol x - y l=l x I +1 y I 證畢 10.—1<—<1
提示：原方程組有解的充要條件是：方程(x - —)2 + 2x二1存在非負(fù)根(否則y2二2x將無 解，原方程組也無解)
由于很難確定該方程到底有幾個(gè)非負(fù)根，因此我們可以先求出使方程(x - — )2 + 2 x = 1不存 在非負(fù)根的情況：
①方程的A<0 ;②方程有兩個(gè)負(fù)根
11.x — 1 或 3
152 充分條件、必要條件
