2020年普通高等學校招生全國統一考試數學試題 文（全國卷2含解析）

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1、絕密★啟用前 2020年普通高等學校招生全國統一考試 課標II文科數學 【命題特點】 2020年高考全國新課標II數學卷，試卷結構在保持穩(wěn)定的前提下，進行了微調，一是取消試卷中的第Ⅰ卷與第II卷，把解答題分為必考題與選考題兩部分，二是根據中學教學實際把選考題中的三選一調整為二選一。試卷堅持對基礎知識、基本方法與基本技能的考查, 注重數學在生活中的應用。 同時在保持穩(wěn)定的基礎上，進行適度的改革和創(chuàng)新，與2020年相比難度穩(wěn)中有降略。具體來說還有以下幾個特點： 1.知識點分布保持穩(wěn)定 小知識點集合，復數，程序框圖，線性規(guī)劃，向量問題，三視圖保持一道小題的占比，大知識點三角數列三小一大，

2、概率統計一大一小，立體幾何兩小一大，圓錐曲線兩小一大，函數導數三小一大(或兩小一大)。 2.注重對數學文化與數學應用的考查 教育部2020年新修訂的《考試大綱（數學）》中增加了數學文化的考查要求。2020高考數學全國卷II理科第3題以《算法統宗》中的數學問題為進行背景，文科18題以以養(yǎng)殖水產為題材，貼近生活。 3.注重基礎，體現核心素養(yǎng) 2020年高考數學試卷整體上保持一定比例的基礎題，試卷注重通性通法在解題中的運用，另外抽象、推理和建模是數學的基本思想，也是數學研究的重要方法，試卷對此都有涉及。 【命題趨勢】 1.函數知識：函數性質的綜合應用、以導數知識為背景的函數問題是高考命題

3、熱點，函數性質重點是奇偶性、單調性及圖象的應用，導數重點考查其在研究函數中的應用，注重分類討論及化歸思想的應用。 2. 立體幾何知識：立體幾何一般有兩道小題一道大題，小題中三視圖是必考問題，常與幾何的面積與體積結合在一起考查，解答題一般分2進行考查。 3．解析幾何知識：解析幾何試題一般有3道，圓、橢圓、雙曲線、拋物線一般都會涉及，雙曲線一般作為客觀題進行考查，多為容易題，解答題一般以橢圓與拋物線為載體進行考查，運算量較大，不過近幾年高考適當控制了運算量，難度有所降低。 4.三角函數與數列：三角函數與數列解答題一般輪流出現，若解答題為數列題，一般比較容易，重點考查基本量求通項及幾種求和方

4、法，若解答題為三角函數，一般是解三角形問題，此時客觀題中一般會有一道與三角函數性質有關的題目，同時客觀題中會有兩道數列題，一易一難，數列客觀題一般具有小巧活的特點。 【試卷解析】 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.設集合則 A. B. C. D. 【答案】A 2. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意，故選B. 【考點】復數運算 【名師點睛】首先對于復數的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如. 其次要熟悉復數相關

5、基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為 3.函數的最小正周期為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意，故選C. 【考點】正弦函數周期 【名師點睛】函數的性質 (1). (2)周期 (3)由 求對稱軸 (4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間; 4.設非零向量，滿足則 A.⊥ B. C. ∥ D. 【答案】A 5.若，則雙曲線的離心率的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意，因為，所以，則，故選C. 【考

6、點】雙曲線離心率 【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等. 6.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為 A. B. C. D. 【答案】B 7.設滿足約束條件 ,則的最小值是 A. B. C. D 【答案】A 繪制不等式組表示的可行域，結合目標函數的幾何意義可得函數在點 處取得最小

7、值 .故選A. 【考點】線性規(guī)劃 【名師點睛】點睛：線性規(guī)劃的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得. 8.函數 的單調遞增區(qū)間是 A. B. C. D. 【答案】D 9.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績，老師說，你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績，看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據以上信

8、息，則 A.乙可以知道兩人的成績 B.丁可能知道兩人的成績 C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績 【答案】D 【解析】由甲的說法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲丁一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的結果則知道自己的結果，丁看到甲的結果則知道自己的結果，故選D. 【考點】推理 【名師點睛】推理實際考查數據處理能力，從眾多數據中，挑選關鍵數據進行分類討論，一般利用反證法、類比法、分析法得到結論. 10.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 律，明確流程圖研究的數學問題，是求和還是求項.

9、 11.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的概率為 A. B. C. D. 【答案】D 12.過拋物線的焦點，且斜率為的直線交于點（在軸上方）， 為的準線，點在上且,則到直線的距離為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題知，與拋物線聯立得，解得 所以，因為，所以，因為，所以 所以到的距離為 【考點】直線與拋物線位置關系 【名師點睛】直線和圓錐曲線的位置關系，一般轉化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用韋達定理或求根公式進行轉化，涉

10、及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數關系，設而不求法計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.涉及中點弦問題往往利用點差法. 二、填空題，本題共4小題，每小題5分，共20分. 13.函數的最大值為 . 【答案】 14.已知函數是定義在上的奇函數，當時，, 則 【答案】12 【解析】 【考點】函數奇偶性 【名師點睛】(1)已知函數的奇偶性求函數值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數在各個區(qū)間上的解析式，或充

11、分利用奇偶性得出關于的方程，從而可得的值或解析式. (2)已知函數的奇偶性求參數，一般采用待定系數法求解，根據得到關于待求參數的恒等式，由系數的對等性得參數的值或方程(組)，進而得出參數的值. 15.長方體的長、寬、高分別為，其頂點都在球的球面上，則球的表面積為 【答案】 【解析】球的直徑是長方體的體對角線，所以 【考點】球的表面積 【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的

12、位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解. 16.的內角的對邊分別為,若,則 【答案】 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17至21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。 （一）必考題：共60分。 17.（12分） 已知等差數列的前項和為，等比數列的前項和為， (1)若 ，求的通項公式； （2）若，求. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，.當時，. 【解析】試題分析：（1）根據等差數列及等比數列通項公式，表示條件，得關于公差與公比的方程組，解方程組得

13、公比，代入等比數列通項公式即可，（2）由等比數列前三項的和求公比，分類討論，求公差，再根據等差前三項求和. 試題解析：（1）設的公差為d，的公比為q，則,.由得 d+q=3. ① 18.(12分) 如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面 , （1）證明：直線平面; （2）若△面積為，求四棱錐的體積. 【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ） （2）取AD的中點M，連結PM，CM，由及BC∥AD，∠ABC=90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD. 因為側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面

14、ABCD，因為，所以PM⊥CM. 設BC=x，則CM=x，CD=，PM=，PC=PD=2x.取CD的中點N，連結PN，則PN⊥CD，所以 因為△PCD的面積為，所以 ， 解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=， 所以四棱錐P-ABCD的體積. 【考點】線面平行判定定理，面面垂直性質定理，錐體體積 【名師點睛】垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型. (1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行. (2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直. 19.（12分） 海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊

15、網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg）, 其頻率分布直方圖如下： （1） 記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50kg”，估計A的概率； （2） 填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關： 箱產量＜50kg 箱產量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 （3） 根據箱產量的頻率分布直方圖，對兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行較。 附： P（） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）0.62.（2）有把握（3）新養(yǎng)

16、殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法 試題解析：（1）舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50kg的頻率為 （0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62 因此，事件A的概率估計值為0.62. (2)根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯表 箱產量＜50kg 箱產量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2= 由于15.705＞6.635,故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關. (3)箱產量的頻率分布直方圖平均值(或中位數)在45kg到50kg之間,且新養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度高,因此,可以認為新養(yǎng)殖

17、法的箱產量較高且穩(wěn)定,從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法. 【考點】頻率分布直方圖 【名師點睛】（1）頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應概率，所有小長方形面積之和為1； （2）頻率分布直方圖中均值等于組中值與對應概率乘積的和 （3）均值大小代表水平高低，方差大小代表穩(wěn)定性 20.（12分） 設O為坐標原點，動點M在橢圓C 上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足 (1)求點P的軌跡方程； (2)設點在直線上，且.證明過點P且垂直于OQ的直線 過C的左焦點F. 【答案】（1）（2）見解析 21.（12分） 設函數. （1）討論的單調性； （2）當時，，求的取值范圍. 【答

18、案】（Ⅰ）在 和單調遞減，在單調遞增（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（1）先求函數導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號確定單調區(qū)間（2）對分類討論，當a≥1時，，滿足條件；當時，取，當0＜a＜1時，取， (2) 當a≥1時，設函數h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)單調遞減，而h(0)=1， 故h(x)≤1，所以 f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1 當0＜a＜1時，設函數g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)單調遞增，而g(0)=0，故ex≥x+1 當0＜x＜1

19、，，，取 則 當時，取 綜上，a的取值范圍[1，+∞） 【考點】利用導數求函數單調區(qū)間，利用導數研究不等式恒成立 【名師點睛】利用導數研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題. （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22。[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分） 在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為。 （1

20、）M為曲線上的動點，點P在線段OM上，且滿足,求點P的軌跡的直角坐標方程； （2）設點A的極坐標為，點B在曲線上，求面積的最大值。 【答案】(1)； (2) 。 （2）設點B的極坐標為,由題設知,于是面積 當時，S取得最大值。 所以面積的最大值為。 【考點】 圓的極坐標方程與直角坐標方程；三角形面積的最值。 【名師點睛】本題考查了極坐標方程的求法及應用。重點考查了轉化與化歸能力。遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解。要結合題目本身特點，確定選擇何種方程。 23.[選修4-5：不等式選講]（10分） 已知。證明： （1）； （2）。 【答案】(1)證明略； (2)證明略。 (2)因為 所以，因此。 【考點】 基本不等式；配方法。 【名師點睛】利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理最后轉化為需證問題。若不等式恒等變形之后若與二次函數有關，可用配方法。