2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（全國(guó)卷2參考解析）

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1、絕密★啟用前 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 文科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上。 2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。 3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.設(shè)集合則 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意，

2、故選A. 2.（1+i）（2+i）= A.1-i B. 1+3i C. 3+i D.3+3i 【答案】B 【解析】由題意，故選B. 3.函數(shù)的最小正周期為 A.4 B.2 C. D. 【答案】C 【解析】由題意，故選C. 4.設(shè)非零向量，滿足則 A⊥ B. C. ∥ D. 【答案】A 【解析】由平方得，即，則，故選A. 5.若＞1，則雙曲線的離心率的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意，因?yàn)?，所以，則，故選

3、C. 6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為 A.90 B.63 C.42 D.36 【答案】B 7.設(shè)x、y滿足約束條件 。則 的最小值是 A. -15 B.-9 C. 1 D 9 【答案】A 繪制不等式組表示的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn) 處取得最小值 .故選A. 8.函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 A.(-,-2) B. (-,-1) C.(1, +) D. (4, +) 【答案】D 【解析】函數(shù)有意義，

4、則： ，解得： 或 ，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 . 故選D. 9.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)，老師說(shuō)，你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)，看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)，根據(jù)以上信息，則 A.乙可以知道兩人的成績(jī) B.丁可能知道兩人的成績(jī) C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D.乙、丁可以知道自己的成績(jī) 【答案】D 【解析】由甲的說(shuō)法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲丁一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，丁看到甲的結(jié)果則

5、知道自己的結(jié)果，故選D. 10.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的a=-1，則輸出的S= A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 11.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如下表所示，表中的點(diǎn)橫坐標(biāo)表示第一次取到的數(shù)，縱坐標(biāo)表示第二次取到的數(shù) 總計(jì)有25種情況，滿足條件的有10種 所以所求概率為。 12.過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M（M在x軸上方），l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上

6、且MN⊥l,則M到直線NF的距離為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題知，與拋物線聯(lián)立得，解得 所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋? 所以到的距離為。 二、填空題，本題共4小題，每小題5分，共20分. 13.函數(shù)的最大值為 . 【答案】 【解析】 14.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，, 則 【答案】12 【解析】 15.長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為 【答

7、案】 【解析】球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，所以 16.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B= 【答案】 【解析】由正弦定理可得 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，第17至21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17.（12分） 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，a1=-1，b1=1，. （1） 若 ，求{bn}的通項(xiàng)公式； （2）若T=21，求S1.

8、 18.(12分) 如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD, ∠BAD=∠ABC=90°。 （1） 證明：直線BC∥平面PAD; （2） 若△PAD面積為2，求四棱錐P-ABCD的體積。 .【解析】（1）證明：∵底面中， ∴ 又平面，平面，∴平面. （2）∵側(cè)面是等邊三角形，且垂直于底面， ∴中邊上的高也是四棱錐的高，設(shè)為，由的面積為得 ① ② 由①②可得, 在底面中，由 ∴ 19（12分） 海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)

9、量（單位：kg）, 其頻率分布直方圖如下： （1） 記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計(jì)A的概率； （2） 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量＜50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 （3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較。 附： P（） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20.（12分） 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C 上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足 （1） 求點(diǎn)P的軌

10、跡方程； 設(shè)點(diǎn) 在直線x=-3上，且 .證明過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 【解析】（1）設(shè) 由知 即 又點(diǎn)在橢圓上，則有 即 （2）設(shè)，則有 即 設(shè)橢圓右焦點(diǎn) 又 ∴ ∴過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線過(guò)的左焦點(diǎn). （21）（12分） 設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex. （1）討論f(x)的單調(diào)性； （2）當(dāng)x0時(shí)，f(x)ax+1，求a的取值范圍. 【解析】（1） 令得，解得 ∴在區(qū)間是減函數(shù)， 在區(qū)間是增函數(shù) （2）∵時(shí)，，∴ ∴，令， 即時(shí)，，而，∴ ∴； 再令， 時(shí)，恒成立. ∴在是增函數(shù)， 恒有，從而是增函數(shù)，， 在恒成立，故即為所求. （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22. [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。曲線C1的極坐標(biāo)方程為 （1）M為曲線C1的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值。 ∵，∴，∴當(dāng)即時(shí)， 的面積取最大值為. 23. [選修4-5：不等式選講]（10分） 已知=2。證明： （1） ： （2）。