2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷1參考解析）

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1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國I卷） 理科數(shù)學(xué) 注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上， 2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、 選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1. 已知集合，則（） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ， ∴，， 選A 2. 如

2、圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 設(shè)正方形邊長為，則圓半徑為 則正方形的面積為，圓的面積為，圖中黑色部分的概率為 則此點取自黑色部分的概率為 故選B 3. 設(shè)有下面四個命題（） ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)，則． A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 設(shè)，則，得到，所以.故正確； 若，滿足，而，不滿足，故不正確； 若，，則，滿足

3、，而它們實部不相等，不是共軛復(fù)數(shù)，故不正確； 實數(shù)沒有虛部，所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故正確； 4. 記為等差數(shù)列的前項和，若，則的公差為（） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】 C 【解析】 聯(lián)立求得 得 選C 5. 函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 因為為奇函數(shù)，所以， 于是等價于| 又在單調(diào)遞減 故選D 6. 展開式中的系數(shù)為 A． B． C． D． 【答案】 C. 【解析】 對的項系數(shù)為 對的項系數(shù)為， ∴的系數(shù)為

4、 故選C 7. 某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為，俯視圖為等腰直角三角形、該多面體的各個面中有若干是梯形，這些梯形的面積之和為 A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 由三視圖可畫出立體圖 該立體圖平面內(nèi)只有兩個相同的梯形的面 故選B 8. 右面程序框圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)，那么在和兩個空白框中，可以分別填入 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】 D 【答案】 因為要求大于1000時輸出，且框圖中在“否”時輸出 ∴“”中不能輸入 排除

5、A、B 又要求為偶數(shù)，且初始值為0， “”中依次加2可保證其為偶 故選D 9. 已知曲線，，則下面結(jié)論正確的是（） A．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線 B．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線 C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線 D．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線 【答案】 D 【解析】 ， 首先曲線、統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將用誘導(dǎo)公式處理． ．橫坐標

6、變換需將變成， 即 ． 注意的系數(shù)，在右平移需將提到括號外面，這時平移至， 根據(jù)“左加右減”原則，“”到“”需加上，即再向左平移． 10. 已知為拋物線：的交點，過作兩條互相垂直，，直線與交于、兩點，直線與交于，兩點，的最小值為（） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 設(shè)傾斜角為．作垂直準線，垂直軸 易知 同理， 又與垂直，即的傾斜角為 而，即． ，當(dāng)取等號 即最小值為，故選A 11. 設(shè)，，為正數(shù)，且，則（） A． B． C． D． 【答案】 D 【答案】 取對數(shù)：. 則 ，故選D

7、 12. 幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列，…，其中第一項是，接下來的兩項是，，在接下來的三項式，，，依次類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)：且該數(shù)列的前項和為的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是（　?。? A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 設(shè)首項為第1組，接下來兩項為第2組，再接下來三項為第3組，以此類推． 設(shè)第組的項數(shù)為，則組的項數(shù)和為 由題，，令→且，即出現(xiàn)在第13組之后 第組的和為 組總共的和為 若要使前項和為2的整數(shù)冪，則項的和應(yīng)與

8、互為相反數(shù) 即 → 則 故選A 二、 填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13. 已知向量，的夾角為，，，則________． 【答案】 【解析】 ∴ 14. 設(shè)，滿足約束條件，則的最小值為_______． 【答案】 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示 由得， 求的最小值，即求直線的縱截距的最大值 當(dāng)直線過圖中點時，縱截距最大 由解得點坐標為，此時 15. 已知雙曲線，（，）的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為_______． 【答案】 【解析】 如圖， ， ∵，∴，

9、 ∴ 又∵，∴，解得 ∴ 16. 如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為，、、為元上的點，，，分別是一，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱錐．當(dāng)?shù)倪呴L變化時，所得三棱錐體積（單位：）的最大值為_______． 【答案】 【解析】 由題，連接，交與點，由題， ，即的長度與的長度或成正比 設(shè)，則， 三棱錐的高 則 令，， 令，即， 則 則 體積最大值為 三、 解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。

10、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17. 的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知的面積為． （1）求； （2）若，，求的周長． 【解析】 本題主要考查三角函數(shù)及其變換，正弦定理，余弦定理等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用. （1）面積.且 由正弦定理得， 由得. （2）由（1）得， 又 ，， 由余弦定理得 ① 由正弦定理得， ② 由①②得 ，即周長為 18. （12分） 如圖，在四棱錐中，中，且． （1）證明：平面平面； （2）若，，求二面角的余弦值． 【解析】 （1

11、）證明：∵ ∴， 又∵，∴ 又∵，、平面 ∴平面，又平面 ∴平面平面 （2）取中點，中點，連接， ∵ ∴四邊形為平行四邊形 ∴ 由（1）知，平面 ∴平面，又、平面 ∴， 又∵，∴ ∴、、兩兩垂直 ∴以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 設(shè)，∴、、、， ∴、、 設(shè)為平面的法向量 由，得 令，則，，可得平面的一個法向量 ∵，∴ 又知平面，平面 ∴，又 ∴平面 即是平面的一個法向量， ∴ 由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為 19. （12分） 為了抽檢某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，實驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺

12、寸（單位：）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望； （2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查． （I）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性： （II）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸： 經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，． 用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否

13、需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到）． 附：若隨機變量服從正態(tài)分布,則． ，． 【解析】 （1）由題可知尺寸落在之內(nèi)的概率為，落在之外的概率為． 由題可知 （2）（i）尺寸落在之外的概率為， 由正態(tài)分布知尺寸落在之外為小概率事件， 因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理． （ii） ，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程檢查． 因此剔除 剔除數(shù)據(jù)之后：． 20. （12分） 已知橢圓：，四點，，，中恰有三點在橢圓上． （1）求的方程； （2）設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于、兩點，若直線與直線的斜率

14、的和為，證明：過定點． 【解析】 （1）根據(jù)橢圓對稱性，必過、 又橫坐標為1，橢圓必不過，所以過三點 將代入橢圓方程得 ，解得， ∴橢圓的方程為：． （2）當(dāng)斜率不存在時，設(shè) 得，此時過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足． 當(dāng)斜率存在時，設(shè) 聯(lián)立，整理得 ， 則 又 ，此時，存在使得成立． ∴直線的方程為 當(dāng)時， 所以過定點． 21. （12分） 已知函數(shù)． （1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個零點，求的取值范圍． 【解析】 （1）由于 故 當(dāng)時，，．從而恒成立． 在上單調(diào)遞減 當(dāng)時，令，從而，得．

15、 單調(diào)減 極小值 單調(diào)增 綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 （2）由（1）知， 當(dāng)時，在上單調(diào)減，故在上至多一個零點，不滿足條件． 當(dāng)時，． 令． 令，則．從而在上單調(diào)增，而．故當(dāng)時，．當(dāng)時．當(dāng)時 若，則，故恒成立，從而無零點，不滿足條件． 若，則，故僅有一個實根，不滿足條件． 若，則，注意到．． 故在上有一個實根，而又． 且． 故在上有一個實根． 又在上單調(diào)減，在單調(diào)增，故在上至多兩個實根． 又在及上均至少有一個實數(shù)根，故在上恰有兩個實根． 綜上，． （二）

16、選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22. [選修4-4：坐標系與參考方程] 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）． （1）若，求與的交點坐標； （2）若上的點到距離的最大值為，求． 【解析】 （1）時，直線的方程為． 曲線的標準方程是， 聯(lián)立方程，解得：或， 則與交點坐標是和 （2）直線一般式方程是． 設(shè)曲線上點． 則到距離，其中． 依題意得：，解得或 23. [選修4-5：不等式選講] 已知函數(shù)． （1）當(dāng)時，求不等式的解集； （2）若不等式的解集包含，求的取值范圍． 【解析】 （1）當(dāng)時，，是開口向下，對稱軸的二次函數(shù)． ， 當(dāng)時，令，解得 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 ∴此時解集為． 當(dāng)時，，． 當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且． 綜上所述，解集． （2）依題意得：在恒成立． 即在恒成立． 則只須，解出：． 故取值范圍是．