2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國(guó)卷2參考解析）

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1、絕密★啟用前 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。 2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整，筆跡清楚 3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效 4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。 5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中

2、，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.（ ） A． B． C． D． 2.設(shè)集合，．若，則（ ） A． B． C． D． 3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ） A．1盞 B．3盞 C．5盞

3、 D．9盞 4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（ ） A． B． C． D． 5.設(shè)，滿(mǎn)足約束條件，則的最小值是（ ） A． B． C． D． 6.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有（ ） A．12種

4、 B．18種 C．24種 D．36種 7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)．老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)．看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)．根據(jù)以上信息，則（ ） A．乙可以知道四人的成績(jī) B．丁可以知道四人的成績(jī) C．乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D．乙、丁可以知道自己的成績(jī) 8.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ） A

5、．2 B．3 C．4 D．5 9.若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為（ ） A．2 B． C． D． 10.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 11.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為（ ） A.

6、 B. C. D.1 12.已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13.一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則 ． 14.函數(shù)（）的最大值是 ． 15.等差數(shù)列的前項(xiàng)

7、和為，，，則 ． 16.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則 ． 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必做題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17.（12分） 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為 ,已知． (1)求 (2)若 , 面積為2,求 18.（12分） 淡水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率直方圖如下： （

8、1） 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg,估計(jì)A的概率； （2） 填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量＜50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 （3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01） P（） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19.（12分） 如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于

9、底面ABCD， E是PD的中點(diǎn). （1）證明：直線 平面PAB （2）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成銳角為 ，求二面角M-AB-D的余弦值 20. （12分） 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M做x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿(mǎn)足. (1) 求點(diǎn)P的軌跡方程； (2) 設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 21.（12分） 已知函數(shù)且. （1）求a； （2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且. （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一題計(jì)分。 22.[選修4-4：坐

10、標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為． （1）M為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿(mǎn)足,求點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線上，求面積的最大值． 23.[選修4-5：不等式選講]（10分） 已知，證明： （1）； （2）． 參考解析 1．D 【解析】 2．C 【解析】1是方程的解，代入方程得 ∴的解為或，∴ 3．B 【解析】設(shè)頂層燈數(shù)為，，，解得． 4．B 【解析】該幾何體可視為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為6的圓柱的一半．

11、 5．A 【解析】目標(biāo)區(qū)域如圖所示，當(dāng)直線取到點(diǎn)時(shí)，所求最小值為． 6．D 【解析】只能是一個(gè)人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作． 由此把4份工作分成3份再全排得 7．D 【解析】四人所知只有自己看到，老師所說(shuō)及最后甲說(shuō)的話(huà)． 甲不知自己成績(jī)→乙、丙中必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會(huì)知道自己成績(jī)；兩良亦然）→乙看了丙成績(jī)，知自己成績(jī)→丁看甲，甲、丁中也為一優(yōu)一良，丁知自己成績(jī)． 8．B 【解析】，，代入循環(huán)得，時(shí)停止循環(huán)，． 9．A 【解析】取漸近線，化成一般式，圓心到直線距離為 得，，． 10．C 【解析】，，分別為，，中點(diǎn)，則，夾角為和夾角或其

12、補(bǔ)角（異面線所成角為） 可知，， 作中點(diǎn)，則可知為直角三角形． ， 中， ， 則，則中， 則中， 又異面線所成角為，則余弦值為． 11．A 【解析】， 則， 則，， 令，得或， 當(dāng)或時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 則極小值為． 12．B 【解析】幾何法： 如圖，（為中點(diǎn)）， 則， 要使最小，則，方向相反，即點(diǎn)在線段上， 則， 即求最大值， 又， 則， 則． 解析法： 建立如圖坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， ∴，，． 設(shè)， ，，， ∴ 則其最小值為，此時(shí)，． 13． 【解析】有放回的拿取，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，其中， 則

13、14． 【解析】 令且 則當(dāng)時(shí)，取最大值1． 15． 【解析】設(shè)首項(xiàng)為，公差為． 則 求得，，則， 16． 【解析】則，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線， 如圖，為、中點(diǎn)， 故易知線段為梯形中位線， ∵，， ∴ 又由定義， 且， ∴ 17. 【解析】（1）依題得：． ∵， ∴， ∴， ∴， （2）由⑴可知． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18． 【解析】（1）記：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于” 為事件 “新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于”為事件 而

14、 （2） 箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 由計(jì)算可得的觀測(cè)值為 ∵ ∴ ∴有以上的把握產(chǎn)量的養(yǎng)殖方法有關(guān)． （3）， ， ，∴中位數(shù)為． 19．【解析】 （1）令中點(diǎn)為，連結(jié)，，． ∵，為，中點(diǎn)，∴為的中位線，∴． 又∵，∴． 又∵，∴，∴． ∴四邊形為平行四邊形，∴． 又∵，∴ （2）以中點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)，則，，，，， ． 在底面上的投影為，∴．∵， ∴為等腰直角三角形． ∵為直角三角形，，∴． 設(shè)，，．∴． ．∴． ∴， ，．設(shè)

15、平面的法向量． ，∴ ，．設(shè)平面的法向量為， ． ∴． ∴二面角的余弦值為． 20． 【解析】 ⑴設(shè)，易知 又 ∴，又在橢圓上． ∴，即． ⑵設(shè)點(diǎn)，，， 由已知：， ， ∴， ∴． 設(shè)直線：， 因?yàn)橹本€與垂直． ∴ 故直線方程為， 令，得， ， ∴， ∵， ∴， 若，則，，， 直線方程為，直線方程為， 直線過(guò)點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)． 21． 【解析】 ⑴ 因?yàn)?，，所以? 令，則，， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，但，時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，令，得． 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增． 若，則在上單調(diào)減，； 若，則在上單調(diào)增，； 若，則，．

16、 綜上，． ⑵ ，，． 令，則，． 令得， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增． 所以，． 因?yàn)?，，，? 所以在和上，即各有一個(gè)零點(diǎn)． 設(shè)在和上的零點(diǎn)分別為，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)減， 所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減．因此，是的極大值點(diǎn)． 因?yàn)椋谏蠁握{(diào)增，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，時(shí)，單調(diào)增，因此是的極小值點(diǎn)． 所以，有唯一的極大值點(diǎn)． 由前面的證明可知，，則． 因?yàn)椋?，則 又，因?yàn)?，所以? 因此，． 22． 【解析】⑴設(shè) 則． 解得，化為直角坐標(biāo)系方程為 ． ⑵連接，易知為正三角形． 為定值． ∴當(dāng)高最大時(shí)，面積最大， 如圖，過(guò)圓心作垂線，交于點(diǎn) 交圓于點(diǎn)， 此時(shí)最大 23． 【解析】⑴由柯西不等式得： 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)． ⑵∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 由均值不等式可得： ∴ ∴ ∴ ∴ 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．