2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（北京卷參考解析）

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1、絕密★啟封并使用完畢前 2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)（文）（北京卷） 本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 （1）已知，集合，則 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】因?yàn)榛?，所以，故選C. 【題型】選擇題 【難度】

2、一般 （2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】，因?yàn)閷?yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以 ，解得：，故選B. 【題型】選擇題 【難度】一般 （3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為 （A）2 （B） （C） （D） 【答案】C 【題型】選擇題 【難度】一般 （

3、4）若滿足則的最大值為 （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D 【解析】如圖，畫出可行域， 表示斜率為的一組平行線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D. 【題型】選擇題 【難度】一般 （5）已知函數(shù)，則 （A）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （C）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) 【答案】B 【解析】，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)， 是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)

4、，故選A. 【題型】選擇題 【難度】一般 （6）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為 （A）60 （B）30 （C）20 （D）10 【答案】D 【解析】該幾何體是三棱錐，如圖： 圖中紅色線圍成的幾何體為所求幾何體，該幾何體的體積是，故選D. 【題型】選擇題 【難度】一般 （7）設(shè)m, n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得m=λn”是“m·n<0”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件

5、 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】若，使，即兩向量反向，夾角是，那么，反過來，若，那么兩向量的夾角為 ，并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)，使得，所以是充分不必要條件，故選A. 【題型】選擇題 【難度】一般 （8）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080．則下列各數(shù)中與最接近的是 （參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48） （A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093

6、 【答案】D 【解析】設(shè) ，兩邊取對數(shù)，，所以，即最接近，故選D. 【題型】選擇題 【難度】一般 第二部分（非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。 （9）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin=，則sin=_________． 【答案】1/3 【解析】 【題型】填空題 【難度】一般 （10）若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m=__________． 【答案】2 【解析】 【題型】填空題 【難度】一般 （11）已知，，且x+y=1，則的取值范圍是__________． 【答案】【1/2,1】 【

7、解析】 ，所以當(dāng)時(shí)，取最大值1；當(dāng)時(shí)，取最小值；因此取值范圍為 【題型】填空題 【難度】一般 （12）已知點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)，O為原點(diǎn)，則的最大值為_________． 【答案】6 【解析】所以最大值是6. 【題型】填空題 【難度】一般 （13）能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．若a>b>c，則a+b>c”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為______________________________． 【答案】-1，-2，-3 【解析】 【題型】填空題 【難度】一般 （14）某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： （ⅰ

8、）男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)； （ⅱ）女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)； （ⅲ）教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)． ①若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為__________． ②該小組人數(shù)的最小值為__________． 【答案】6,12 【解析】設(shè)男生數(shù)，女生數(shù)，教師數(shù)為 ，則 第一小問： 第二小問： 【題型】填空題 【難度】一般 三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （15）（本小題13分） 已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5． （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求和：． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）

9、. 【解析】（I）設(shè)公差為， ,所以，所以. （Ⅱ）設(shè)的公比為，.=，所以 所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， 所以. 【題型】解答題 【難度】一般 （16）（本小題13分） 已知函數(shù). （I）f(x)的最小正周期； （II）求證：當(dāng)時(shí)，． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）詳見解析. 【題型】解答題 【難度】一般 （17）（本小題13分） 某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖： （Ⅰ）

10、從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率； （Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)； （Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例． 【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）5人；（Ⅲ）. 【題型】解答題 【難度】一般 （18）（本小題14分） 如圖，在三棱錐P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)． （Ⅰ）求證：PA⊥BD； （Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面PAC； （Ⅲ）當(dāng)P

11、A∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E–BCD的體積． 【答案】詳見解析 【解析】證明：（Ⅰ） ， 平面，平面，且， 平面，平面, ； （Ⅱ），是的中點(diǎn)， , 由（Ⅰ）知平面，平面， 平面平面， 平面平面， 平面,， 平面， 平面, 平面平面, （Ⅲ）平面， 又平面平面, 平面， 是中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)， 是的中點(diǎn)， , 【題型】解答題 【難度】一般 （19）（本小題14分） 已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)

12、M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）詳見解析. 【解析】（Ⅰ）焦點(diǎn)在 軸上， ， ∴ ∴ ∴ ； （2）設(shè) ， 直線的方程是 ， ，， 直線的方程是 ，直線 的方程是 ， 直線與直線聯(lián)立 ，整理為： ，即 即，解得， 代入求得 又 和面積的比為4:5. 【題型】解答題 【難度】一般 （20）（本小題13分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值. 【題型】解答題 【難度】一般