2誤差的基本性質(zhì)與處理學(xué)習(xí)教案

《2誤差的基本性質(zhì)與處理學(xué)習(xí)教案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2誤差的基本性質(zhì)與處理學(xué)習(xí)教案（90頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、會(huì)計(jì)學(xué)12誤差誤差(wch)的基本性質(zhì)與處理的基本性質(zhì)與處理第一頁，共90頁。本章分別詳細(xì)闡述隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)處理中，分別掌握等精度測量和不等精度測量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過(tnggu)學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，使讀者能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法并進(jìn)行合理的數(shù)據(jù)處理。第1頁/共89頁第二頁，共90頁。第2頁/共89頁第三頁，共90頁。零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號處理(xn ho ch l)電路的隨機(jī)噪聲等。溫度、濕度(shd)、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場變化等。瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)取?/p>

2、第3頁/共89頁第四頁，共90頁。oLilioiiLl ni,2, 1)2/(2221)(ef)(f)(FdeF)2(2221)(0)(dfEdf)(22第4頁/共89頁第五頁，共90頁。54)(|df21)(df326745.00)(f)()(ff)0()(maxff返回(fnhu)本章目錄)0()(ff)(f0lim1nniin服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差都具有(jyu)的四個(gè)特征：對稱性、單峰性、有界性、抵償性。由于多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。第5頁/共89頁第六頁，共90頁。第6頁/共89頁第七頁，共90頁。 對某量進(jìn)行一系列等精度測量時(shí)，由于存在

3、隨機(jī)誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)(sunsh)平均值作為最后的測量結(jié)果。 (一)算術(shù)(sunsh)平均值的意義 設(shè) 為n次測量所得的值，則算術(shù)(sunsh)平均值為: (2-8) niinlnnlllx1211nlll,21三、算術(shù)三、算術(shù)(sunsh)平均值平均值第7頁/共89頁第八頁，共90頁。下面來證明當(dāng)測量次數(shù)無限增加時(shí)，算術(shù)平均值必然趨近于真值Lo。 即 由前面正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第四特征可知 ，因此 由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M(jìn)行無限多次測量，就可得到不受隨機(jī)誤差影響的測量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當(dāng)測量次數(shù)無限增大時(shí)，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱之為最

4、大或然值）被認(rèn)為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于(yuy)實(shí)際上都是有限次測量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測量的真值。 oiiLl onnnLlll)(2121nioiniinLl11nnlLniiniio110lim1nniin01Lnlxnii第8頁/共89頁第九頁，共90頁。 一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱為殘余誤差，簡稱殘差：(2-9) 此時(shí)可用更簡便算法來求算術(shù)平均值。任選一個(gè)接近所有測得值的數(shù) 作為參考值，計(jì)算每個(gè)測得值 與 的差值：(2-10) 式中的 為簡單(jindn)

5、數(shù)值，很容易計(jì)算，因此按（2-10）求算術(shù)平均值比較簡單(jindn)。 xlii0lnillloii, 2, 10lil0010111)(xlnllnnllnllnlxniinioiniionii0 x若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測量總體期望的一個(gè)(y )最佳的估計(jì)量 ，即滿足無偏性、有效性、一致性，并滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分布條件下滿足最大似然原理。第9頁/共89頁第十頁，共90頁。0lil0 xxxliininiiixnlv11xxniiv10il64.187901. 065.1879x序號123456789101879.641879.691879.601879.69

6、1879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.0101. 01niiv01.0101010iilxiliv12表第10頁/共89頁第十一頁，共90頁。nlxnii1nininiiiinnlnlv111)(niixnl1niiv1xniixnl1xniiv1xniixnl1xniiv1xAnvnii21Anvnii)5.02(1x第11頁/共89頁第十二頁，共90頁。, 52102n05.0201.010

7、1Anviixmmmmlxii0673.20001174.2200011111xiliv序號 (mm) (mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.00374.22000111iil003.0111iiv22表第12頁/共89頁第十三頁，共90頁。mmmmxnmmlii737.22000067.20001174.22000111

8、mmmmmmxlviiii003. 0737.2200074.2200011111111mmAnmmvmmAnii005. 05 . 02003. 0001. 0, 55 . 02115 . 02111第13頁/共89頁第十四頁，共90頁。)(f2exp)2(1)(22f21hexp1)(22hf四、測量四、測量(cling)的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差第14頁/共89頁第十五頁，共90頁。)(f)(f第15頁/共89頁第十六頁，共90頁。5.0)()(fzf)(zf5 . 0)(zf326745.0 z)(|11nnnii547979. 02第16頁/共89頁第十七頁，共90頁。恰好是高斯誤差方程 式中

9、的一個(gè)參數(shù)，即 ，所以采用，正好符合概率論原理，又與最小二乘法最切合； 對大的隨機(jī)誤差很敏感，能更準(zhǔn)確地說明測量列的精度； 極限誤差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系簡單： ； 公式推導(dǎo)和計(jì)算比較簡單。五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種(j zhn)計(jì)算方法 （一）等精度測量列單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算1、貝塞爾(Bessel)公式 (2-13) 式中， 稱為算術(shù)平均值誤差將它和 代入上式，則有(2-14) )(fs3im0Llii0022011LxxlLxxlLxxlnnxLx)(0 xlviixnnxxvvv2211第17頁/共89頁第十八頁，共90頁。將上式對應(yīng)(duyng)相加得 ： ，即(2-15)若將式(2-14)平方

10、后再相加得：(2-16)將式(2-15)平方有：當(dāng)n適當(dāng)大時(shí)，可以認(rèn)為 趨近于零，并將代入式(2-16)得：(2-17) 由于 ，代入式(2-17)得 ： ，即(2-18)xniiniinv11nnvnniiniiniix111nixiniixxniiniinvvnv122121212221212122nnnnjijiniiniixniji1nvniiniinii121212212nniiniivn122212nvi第18頁/共89頁第十九頁，共90頁。nnvniii1221niiniivnn12121111nnvniiniiniiniivnnn11) 1(1253. 17979. 01) 1

11、(2533. 12nnvi1253.11nnvniixvx第19頁/共89頁第二十頁，共90頁。mmmmmmmmz0104. 011010250. 0253. 10330. 011010250. 0253. 1)(mmli)(mmvimmx045.750101iiv序號1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250

12、.0002250.0006250.0000250.0012252101200825. 0mmvii)(2mmvi32表第20頁/共89頁第二十一頁，共90頁。nxxx,21maxxminxminmaxxxnnndE)()(nndEnndndn2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74nd42表第21頁/共89頁第二十二頁，共90頁。08. 309. 000

13、.7509.7510minmaxdmmmmmmllnmmmmdn0292.008.309.010max|1inKmaxiimax|ivmax|1invKnKnK第22頁/共89頁第二十三頁，共90頁。10nmmvi045. 0max57. 0110KmmmmKvi0256. 0045. 057. 010maxnK1nK1n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 0.50 0.49n16 17 18 19 20 21 22 23 24 2

14、5 26 27 28 29 300.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43n2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 301.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44nK152表第23頁/共89頁第二十四頁，共90頁。 例例2-7 2-7 某激光管發(fā)出某激光管發(fā)出(fch)(fch)的激光波長經(jīng)檢定為的激光波長經(jīng)檢定為 ，由于某些原因未對次檢定波，由于某些原因未對次檢定波長作誤差分析，但后來又

15、用更精確的方法測得激光波長長作誤差分析，但后來又用更精確的方法測得激光波長 ，試求原檢定波長的標(biāo)準(zhǔn)差。，試求原檢定波長的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：因后測得的波長是用更精確的方法，故可認(rèn)為其測得值為實(shí)際波長解：因后測得的波長是用更精確的方法，故可認(rèn)為其測得值為實(shí)際波長( (或約定真值或約定真值) )，則原檢定，則原檢定波長的隨機(jī)誤差波長的隨機(jī)誤差 為：為： 故標(biāo)準(zhǔn)差為：故標(biāo)準(zhǔn)差為： 5 5、四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)、四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn) 貝塞爾公式的計(jì)算精度較高，但計(jì)算麻煩，需要乘方和開方等，其計(jì)算速度難于滿足快速自動(dòng)貝塞爾公式的計(jì)算精度較高，但計(jì)算麻煩，需要乘方和開方等，其計(jì)算速度難于滿足快速自動(dòng)化測量的需要

16、；化測量的需要； 別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺(tái)，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺(tái)，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的1.071.07倍；倍； 用極差法計(jì)算用極差法計(jì)算，非常迅速方便，可用來作為校對公式，當(dāng)，非常迅速方便，可用來作為校對公式，當(dāng)n10n10時(shí)可時(shí)可m63299130. 0m63299144. 0mmm8101463299144. 063299130. 025. 111KmmK7811075. 1101425. 1第24頁/共89頁第二十五頁，共90頁。 用來計(jì)

17、算，此時(shí)計(jì)算精度高于貝氏公式； 用最大誤差法計(jì)算更為簡捷，容易掌握，當(dāng)n10以后， 的減小很 慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以 保證測量條件的恒定，從而引入新的 誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適宜?？傊岣邷y量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù)。 nx22nxn/1x第26頁/共89頁第二十七頁，共90頁。 評定算術(shù)平均值的精度標(biāo)準(zhǔn)，也可用或然誤差R或平均誤差T，相應(yīng)公式為： (2-22)(2-23) 若用殘余誤差表示上述公式，則有：(2-24)(2-25) 例2-8 用游標(biāo)卡尺對某一尺寸測量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)(shj)如下(單位為mm)：75.

18、01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08 。求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。 解：本例題中的測量數(shù)據(jù)(shj)與表2-3中的測量數(shù)據(jù)(shj)一樣，表中的算術(shù)平均值為 。因?yàn)?， )1(3212nnvRnii) 1(5412nnvTnii0,045.751niivmmx0045.751045.750101mmmmnlixinnRxx32326745. 0nnTxx54547979. 0第27頁/共89頁第二十八頁，共90頁。0101iivmmmmnvnii0303. 011000825. 0112mmmmnx0096. 0100303. 0m

19、mmmRx0065.00096.06745.06745.0mmmmTx0076. 00096. 07979. 07979. 0第28頁/共89頁第二十九頁，共90頁。121)(222dedfpdedfp22221)(ddtt,)(2222102222tdtedteptttttdtettt02221)(第29頁/共89頁第三十頁，共90頁。 t=2，即|=2時(shí)，在22次測量中只有1次 的誤差絕對值超出2范圍；而當(dāng)t=3，即 |=3時(shí)，在370次測量中只有1次誤差絕 對值超出3范圍。由于在一般測量中，測 量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認(rèn)為絕對 值大于3的誤差是不可能出現(xiàn)(chxin)的，通常把 這

20、個(gè)誤差稱為單次測量的極限誤差 ，即 (2-35) 當(dāng)t3時(shí)，對應(yīng)的概率p99.73。 在實(shí)際測量中，有時(shí)也可取其它t值來表示單次測量的極限誤差。如xlim3limxt62表t不超出 的概率超出 的概率測量次數(shù)n超出 的測量次數(shù)0 .6712340.6712340.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111)(2t)(21t第30頁/共89頁第三十一頁，共90頁。 取t2.58，p99； t2，p95.44； t1.96，p95等。 因此一般情況下，測量列單次測量的極限誤差可用下式表示：(

21、2-36) 若已知測量的標(biāo)準(zhǔn)差，選定置信系數(shù)(xsh)t，則可由上式求得單次測量的極限誤差。 （二）算術(shù)平均值的極限誤差 測量列的算術(shù)平均值與被測量的真值之差稱為算術(shù)平均值誤差 ，即 。當(dāng)多個(gè)測量列的算術(shù)平均值誤差 為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概率論知識(shí)，同樣可得測量列算術(shù)平均值的極限表達(dá)式為： (2-37) 式中的t為置信系數(shù)(xsh)， 為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。通常取t3，則 (2-38) 實(shí)際測量中有時(shí)也可取其它t值來表示算術(shù)平均值的極限誤差。但當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時(shí)，應(yīng)按“學(xué)生氏”分布(“student” distribution)或稱t分布來計(jì)算測量列算術(shù)平均值的極限誤差，即 (2-39)tx

22、limxoxLx ), 2 , 1(Nii xxtxlimxxx3limxatxlim第31頁/共89頁第三十二頁，共90頁。 式中的 為置信系數(shù)，它由給定的置信概率 和自由度 來確定，具體數(shù)值見附錄3； 為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平），通常取 =0.01或0.02,0.05；n為測量次數(shù)； 為n次測量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。 對于同一測量列，按正態(tài)分布(fnb)和t分布(fnb)分別計(jì)算時(shí)，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。 例2-9 對某量進(jìn)行6次測量，測得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，

23、802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。 解：算術(shù)平均值 標(biāo)準(zhǔn)差 因測量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布(fnb)計(jì)算算術(shù)平均值的極限誤差。 已知 ，取 ，則由附錄表3查得 ，則有： xatnv11p44.80266611iiniillx047.016161212iiniivnv019. 06047. 0nx51 nv01. 003. 4at第32頁/共89頁第三十三頁，共90頁。076. 0019. 003. 4limxatx99. 01p01. 0049. 0019. 060. 2limxtx第33頁/共89頁第三十四頁，共90頁。 能套用前面等精度測量的計(jì)算公式，需推導(dǎo)出新的計(jì)算公式。（一）權(quán)的概念

24、 在等精度測量中，各個(gè)測量值認(rèn)為同樣可靠，并取所有(suyu)測得值的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。在不等精度測量中，各個(gè)測量結(jié)果的可靠程度不一樣，因而不能簡單地取各測量結(jié)果地算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測量結(jié)果在最后測量結(jié)果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表示，這數(shù)值即稱為該測量結(jié)果的“權(quán)”，記為 ，可以理解為當(dāng)它與另一些測量結(jié)果比較時(shí)，對該測量結(jié)果所給予信賴程度。 （二）權(quán)的確定方法 測量結(jié)果的權(quán)說明了測量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來確定權(quán)的大小。 最簡單的方法可按測量的次數(shù)來確定權(quán)，即測量條件和測量者水平皆相同，則重復(fù)測量次

25、數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測量的次數(shù)來確定權(quán)的大小，即 。 假定同一被測量有m組不等精度的測量結(jié)果，這m組測量結(jié)果是從單次測量精度相同而測量次數(shù)不同的一系列測量值求得的算術(shù)平均值。因 piinp 第34頁/共89頁第三十五頁，共90頁。 為單次測量精度皆相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為，則各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為： (2-40) 由此得下列等式 因?yàn)?，故上式又可寫成 (2-41) 或表示為(2-42) 即：每組測量結(jié)果的權(quán)（ ）與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差平方（ ）成反比，若已知 （各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差），則可由（2-42）得到相應(yīng) 的大小。測量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個(gè)無量綱

26、的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)同時(shí)增大或減小若干倍，而各組間的比例關(guān)系不變，但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以(yy)約簡，使其中最小的權(quán)數(shù)為不可再放簡的整數(shù)，以便用簡單的數(shù)值來表示各組的權(quán)。 例2-10 對一級鋼卷尺的長度進(jìn)行了三組不等精度測量，其結(jié)果為 minii x, 2 , 122222211mxmxxnnniinp 22222211mxmxxppp2222143211:1:1:mxxxppppipxii xip第35頁/共89頁第三十六頁，共90頁。mmmmxmmmmxmmmmxxxx10.0,60.200020.0,15.200005.0,45.20003213214:1:16)10. 0(1:)20

27、. 0(1:)05. 0(11:1:1:222232221321xxxppp4, 1,16321pppmxxx,21,11111nlxnii,21222nlxniimniimmnlxm1,xmiinininiimiinlllxm111121/)(12第36頁/共89頁第三十七頁，共90頁。 將式(2-43)代入上式得： 或簡寫為(2-44) 當(dāng)各組的權(quán)相等，即 時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均值可簡化為： (2-45) 由上式求得得結(jié)果即為等精度的算術(shù)平均值，由此可見等精度測量是不等精度測量得特殊情況。為簡化計(jì)算，加權(quán)算術(shù)平均值可表示為：(2-46) 式中的 為接近(jijn) 的任選參考值。mmmmmmpp

28、pxpxpxpnnnxnxnxnx212211212211miimiiipxpx11ppppm21mxmpxpxmiimii11miimioiiopxxpxx11)(0 xix第37頁/共89頁第三十八頁，共90頁。 例例2-11 2-11 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為的平均長度為999.9425mm(999.9425mm(三次測量的三次測量的) )，999.9416mm(999.9416mm(兩次測量的兩次測量的) )，999.9419mm(999.9419mm(五次測量的五次測量的) )，求

29、最后測量結(jié)果。，求最后測量結(jié)果。 解：按測量次數(shù)來確定權(quán)：解：按測量次數(shù)來確定權(quán)： ，選，選 ，則有，則有 ( (四四) ) 單位權(quán)的概念單位權(quán)的概念 由式（由式（2-412-41）知）知 ，此式又可表示為，此式又可表示為 (2-47) (2-47) 式中式中 為某精度單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，具有同一為某精度單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，具有同一(tngy)(tngy)方差方差 的的等精度單次測量值的權(quán)數(shù)為等精度單次測量值的權(quán)數(shù)為1 1。若已知。若已知 ，只要確定，只要確定 ，根據(jù)（，根據(jù)（2-472-47）式就可）式就可求出各組的方差求出各組的方差 。由于測得值的方差。由于測得值的方差 的權(quán)數(shù)

30、為的權(quán)數(shù)為1 1在此有特殊用途，故稱在此有特殊用途，故稱等于等于1 1的權(quán)為單位權(quán)，而的權(quán)為單位權(quán)，而 為具有單位權(quán)的測得值方差，為具有單位權(quán)的測得值方差， 為具有單位權(quán)的測得為具有單位權(quán)的測得值標(biāo)準(zhǔn)差。值標(biāo)準(zhǔn)差。 利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測量問題化為等權(quán)測量問題來處利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測量問題化為等權(quán)測量問題來處理。單位權(quán)化的實(shí)質(zhì)，是使任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值理。單位權(quán)化的實(shí)質(zhì)，是使任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為權(quán)數(shù)為1 1。 5, 2, 3321pppmmx94.9990mmmmmmx9420.9995230019

31、. 050016. 020025. 0394.999), 2 , 1(22miPixi) 1(22ppPixi22ipi x222第38頁/共89頁第三十九頁，共90頁。 例如，將不等精確測量的各組測量結(jié)果 皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方根 ，此時(shí)得到的新值z的權(quán)數(shù)就為1。證明之： 設(shè)取方差 以權(quán)數(shù)字 表示上式中的方差，則 由此可知，單位權(quán)化以后得到的新值 的權(quán)數(shù) 為1，用這種方法(fngf)可以把不等精度的各組測量結(jié)果皆進(jìn)行了單位權(quán)化，使該測量列轉(zhuǎn)化為等精度測量列。 ixipmixpzii, 2 , 122)()(i xiziipxDpzD22221211:1:1:mxxxmpppip1111ziiz

32、ppppzpz不等精度測量列，經(jīng)單位(dnwi)權(quán)化處理后，就可按等精度測量列來處理。第39頁/共89頁第四十頁，共90頁。（五）加權(quán)算術(shù)（五）加權(quán)算術(shù)(sunsh)(sunsh)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 對同一個(gè)被測量進(jìn)行對同一個(gè)被測量進(jìn)行 m m 組不等精度測量，得到組不等精度測量，得到 m m 個(gè)測量結(jié)果為：個(gè)測量結(jié)果為： 若已知單位權(quán)測得值的標(biāo)準(zhǔn)差若已知單位權(quán)測得值的標(biāo)準(zhǔn)差，則由式（，則由式（2-402-40）知）知 全部（全部（m mn n個(gè)）測得值的算術(shù)個(gè)）測得值的算術(shù)(sunsh)(sunsh)平均值平均值 的標(biāo)準(zhǔn)差為：的標(biāo)準(zhǔn)差為： 比較上面兩式可得：比較上面兩式可得：(2-

33、48)(2-48) 因?yàn)橐驗(yàn)?代入式（代入式（2-482-48）得）得(2-49)(2-49),21mxxxminiix, 2, 1xmiixn1miiixxnni1miimiiiinpnp11miimiiixxpppi11第40頁/共89頁第四十一頁，共90頁。miip1ixipxxxvixiixxpxpvpiiixii111221mvpmmiximii殘差miimixixpmvpi112)1(第41頁/共89頁第四十二頁，共90頁。xmmx9420.999mvmvmvxxx1.0,4.0,5.03215, 2, 3, 3321pppmmmmmx0002. 024. 02012. 1)523

34、() 13() 1 . 0(5)4 . 0(25 . 0322第42頁/共89頁第四十三頁，共90頁。021)(afaaaaaaF當(dāng)當(dāng)當(dāng)120)(aadaE02322a3a)(f)(Faa21)(fa圖 2-5o)(f)(Faaaf當(dāng)當(dāng)011)(22第43頁/共89頁第四十四頁，共90頁。aaaaaF當(dāng)當(dāng)當(dāng)1arcsin1210)(022daEaa222a2a)(f)(Faaaaaaaf當(dāng)當(dāng)當(dāng)000)(22第44頁/共89頁第四十五頁，共90頁。aaaaaaaa當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)102)(102)(0)(F22220E622a6a2v,21v222212v2v第45頁/共89頁第四十六頁，共90頁。獨(dú)立

35、變量的個(gè)數(shù)。 分布的分布密度 如圖2-8所示。 (2-68) 式中的 函數(shù)。 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-69) 它的方差(fn ch)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-70)(2-71) 在本書最小二乘法中要用到 分布，此外它也是 t 分布和 F 分布的基礎(chǔ)。 由圖2-8的兩條 理論曲線看出，當(dāng) 逐漸增大時(shí)，曲線逐漸接近對稱。可以證明當(dāng) 足夠大時(shí)，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這里稱 為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應(yīng)改變。（五）t 分布2)(2f000)()2(2)(222122222當(dāng)當(dāng)evfvv為)2(v022122222)()2(2vdevEvvv22v222vvv第46頁/共89頁第四十

36、七頁，共90頁。 令 和 是獨(dú)立的隨機(jī)變量， 具有自由度為 的 分布函數(shù)， 具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機(jī)變量為(2-72) 隨機(jī)變量t稱自由度為 的學(xué)生氏t變量。 t分布的分布密度 為（圖2-9）： (2-73) 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-74) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-75) (2-76) t分布的數(shù)學(xué)期望為零，分布曲線對稱于縱坐標(biāo)軸，但它和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布密度曲線不同，如圖2-9所示。可以證明，當(dāng)自由度較小時(shí)，t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度 時(shí)，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當(dāng)測量(cling)列的測量(cling)次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)，或者

37、在檢驗(yàn)測量(cling)數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)常用到它。 v2vtv)(tf2/ )1(2)1 ()2()21()(vvtvvvtfdtvtvvvEv2/ )1(2)1 ()2()21(22vv2vvv第47頁/共89頁第四十八頁，共90頁。（六）（六）F F分布分布 若若 具有自由度為具有自由度為 的卡埃平方分布函數(shù)，的卡埃平方分布函數(shù)， 具有自由具有自由度為度為 的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機(jī)變量為的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機(jī)變量為(2-77)(2-77) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量F F稱為自由度為稱為自由度為 、 的的F F變量。變量。 F F分布的分布密度分布的分布密度 如圖如圖2-102-

38、10所示。所示。 (2-78) (2-78) 它的數(shù)學(xué)期望為：它的數(shù)學(xué)期望為： (2-79) (2-79) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-80) (2-80)(2-81)(2-81) F F分布也是一種分布也是一種(y zhn)(y zhn)重要分布，在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)和重要分布，在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。12212211/vvvvF11v22v1v2v)(Ff000)()2()2()2()(2/ )(1212/21212/22/121121FFFvvFvvvvvvFfvvvvv當(dāng)當(dāng))0(2)(E2022vvvdFFFf) 4() 4() 2

39、() 2(22222121222vvvvvvv)4()4()2()2(2222212122vvvvvvv第48頁/共89頁第四十九頁，共90頁。u系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因u系統(tǒng)誤差的特征與分類u系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法(fngf)u系統(tǒng)誤差的減小和消除方法(fngf)第49頁/共89頁第五十頁，共90頁。研究系統(tǒng)誤差的重要研究系統(tǒng)誤差的重要(zhngyo)(zhngyo)意意義義 實(shí)際上測量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機(jī)誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差同時(shí)存在測量數(shù)據(jù)(shj)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測量又不能減小它

40、對測量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性，因此研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要。 系統(tǒng)誤差是指在確定的測量條件下，某種測量方法和裝置，在測量之前(zhqin)就已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確度。第50頁/共89頁第五十一頁，共90頁。一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 系統(tǒng)誤差是由固定不變的或系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于：

41、以掌握的。主要來源于： 測量裝置方面的因素測量裝置方面的因素 環(huán)境環(huán)境(hunjng)(hunjng)方面的因方面的因素素 測量方法的因素測量方法的因素 測量人員的因素測量人員的因素計(jì)量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)(fxin)的偏差、儀器設(shè)計(jì)原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測量時(shí)的實(shí)際(shj)溫度對標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。采用近似的測量方法或計(jì)算公式引起的誤差等。測量人員固有的測量習(xí)性引起的誤差等。第51頁/共89頁第五十二頁，共90頁。二、系統(tǒng)誤差的分類二、系統(tǒng)誤差的分類(fn li)和特征和特征第52頁/共89頁第五十三頁，共90頁。mmTLLL)(00第53頁/共

42、89頁第五十四頁，共90頁。sineL第54頁/共89頁第五十五頁，共90頁。 由于形成系統(tǒng)誤差(wch)的原因復(fù)雜，目前尚沒有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差(wch)的普遍方法。但是 我們可針對不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差(wch)，可按照下述兩類方法加以識(shí)別： 1、用于發(fā)現(xiàn)測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差(wch)，包括實(shí)驗(yàn)對比法、殘余誤差(wch)觀察法、殘余誤差(wch)校核法和不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法； 2、用于發(fā)現(xiàn)各組測量這間的系統(tǒng)誤差(wch)，包括計(jì)算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗(yàn)法、和 t 檢驗(yàn)法。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)(fxin)(fxin)方法方法檢驗(yàn)法秩和檢驗(yàn)法計(jì)算數(shù)據(jù)比較法組間不同公式計(jì)算

43、標(biāo)準(zhǔn)差法殘余誤差校核法殘余誤差觀察法實(shí)驗(yàn)對比法組內(nèi)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法t第55頁/共89頁第五十六頁，共90頁。 2、殘余誤差觀察法 殘余誤差觀察法是根據(jù)測量列的各個(gè)殘余誤差大小和符號的變化規(guī)律(gul)，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。 這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律(gul)變化的系統(tǒng)誤差。（一）測量（一）測量(cling)(cling)列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法第56頁/共89頁第五十七頁，共90頁。故有 (2-82)若系統(tǒng)誤差顯著(xinzh)大于隨機(jī)誤差， 可予忽略，則得(2-83) 3、殘余誤差(wch)校核法(有兩種方法)：設(shè)有測量列 ，它們的系統(tǒng)誤差

44、為 ，它們不含系統(tǒng)誤差之值為 ，有下式成立：nlll21,nlll21, 21nlllnnnlllllllll222111它們(t men)的算術(shù)平均值為:xxx iivxliivxl)(xlvviiiivxlvii因 由上式看出，顯著含有系統(tǒng)誤差的測量列，其任一測量值的殘余誤差約為系統(tǒng)誤差與測量列系統(tǒng)誤差平均值之差。第57頁/共89頁第五十八頁，共90頁。根據(jù)式(2-82)，若將測量列中前K個(gè)殘余(cny)誤差相加，后n-K個(gè)殘余(cny)誤差相加(當(dāng)n為偶數(shù)，取K=n/2；n為奇數(shù)，取K=(n+1)/2)，兩者相減得： 當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，有：nkjjKiinkjjKiinkjjKiixl

45、xlvvvv111111)()(011nkjjKiivvnKjjiKinKjjKiixlxlvv1111)()( 若上式的兩部分值顯著不為O，則有理由認(rèn)為測量列存在線性系統(tǒng)誤差。這種校核法又稱“馬列科夫準(zhǔn)則”，它能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。但要注意的是，有時(shí)(yush)按殘余誤差校核法求得差值=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。 第58頁/共89頁第五十九頁，共90頁。 用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差：若一等精度測量列，接測量先后順序?qū)堄嗾`差排列(pili)為 ，如果存在著按此順序呈周期性變化的系統(tǒng)誤差，則相鄰的殘余誤差的差值( )符號也將出現(xiàn)周期性的正負(fù)號變化，因此由差值( )可以判斷是否存在周期性系統(tǒng)誤差

46、，但是這種方法只有當(dāng)周期性系統(tǒng)誤差是整個(gè)測量誤差的主要成分時(shí)，才有實(shí)用效果。否則，差值( )符號變化將主要取決于隨機(jī)誤差，以致不能判斷出周期性系統(tǒng)誤差。在此情況下，可用統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行判斷，令 nvvv,211iivv1iivv1iivvnnniiivvvvvvvvu13221111若 (2-85)則認(rèn)為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。這種校核法又叫 阿卑赫梅特準(zhǔn)則(zhnz)（Abbe-Helmert準(zhǔn)則(zhnz)） ，它能有效地發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。 21nu第59頁/共89頁第六十頁，共90頁。121nvi) 1(253. 12nnviu12112nu在判斷含有系統(tǒng)誤差時(shí)，違反“準(zhǔn)則”時(shí)就可以

47、直接判定，而在遵守“準(zhǔn)則”時(shí)，不能得出(d ch)“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因?yàn)槊總€(gè)準(zhǔn)則均有局限性，不具有“通用性”。 第60頁/共89頁第六十一頁，共90頁。( (二二) )測量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)測量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)(fxin)(fxin)方法方法mmxxx,;,;,2211jixx ji22ixjxjijixx222(2-87)第61頁/共89頁第六十二頁，共90頁。21, 2, 1, 2, 1niynixii10,21nnTTT(2-88)第62頁/共89頁第六十三頁，共90頁。TTnn21TTnn21TTnn21TTnn2124311253132641427416284182942

48、0210521336153471735720368223792438927391029310113144122445132746143047153348163649173941018425519365620405722435823475925505102654662820673054683258693363610356777396678417179437671046808852848954908105795996610591069111101083127102 表10,21nn)2) 1(,2) 1(2121211nnnnnnnN,taTaTt)(ttt （教材(jioci)P38頁）第63頁

49、/共89頁第六十四頁，共90頁。ixiyi123456714.714.815.215.614.615.015.14, 321nn, 7T17TTTT17107第64頁/共89頁第六十五頁，共90頁。221121,nnyyyxxx)()2()(222211212121SnSnnnnnnnyxt221 nniiynyxnx211,122222112)(1,)(1yynSxxnSii第65頁/共89頁第六十六頁，共90頁。 由 及取 ，查t分布表(附錄(fl)表3)得 ，又因 ， 故無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。 則解： 取顯著性水平，由t分布表（附錄表3）查出 中的 。若 ，則無根據(jù)(gnj)懷疑兩

50、組間有系統(tǒng)誤差。 )(ttPttt 21S22S2122例例2-172-17 對某量測得兩組數(shù)據(jù)為： x：1.9， 0.8， 1.1， 0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4 y：0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.0，2.0 33. 2101xx75. 0101yy61. 3)(10122xxSix89. 2)(10122yySiy86. 1)89. 21061. 310)(1010()21010(1010)75. 033. 2(t1821010v05. 010. 2t10. 286. 1tt第66頁/共89頁第六十七頁，共90頁。四

51、、系統(tǒng)誤差的減小和消除四、系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）消誤差源法（一）消誤差源法 用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。它要求測量誤差是最理想的方法。它要求測量人員，對測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)人員，對測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)作仔細(xì)分析，并在誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)作仔細(xì)分析，并在正式測試前就將誤差從產(chǎn)生根源上正式測試前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤由于具體條件不同，在分析查找誤差源時(shí)，并無一成不變的方法，但差源時(shí)，并無一成不變的方法，但以下幾方面是應(yīng)予考慮的：以下幾方面是應(yīng)予考慮的：

52、 所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺、光波容器等）是否準(zhǔn)量塊、刻尺、光波容器等）是否準(zhǔn)確可靠；確可靠； 所用量具儀器是否處于正所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并有常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并有有效周期的檢定證書；有效周期的檢定證書； 儀器的調(diào)整儀器的調(diào)整(tiozhng)(tiozhng)、測件的安裝定位和支承裝卡是否正測件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理；確合理； 所采用的測量方法和計(jì)算所采用的測量方法和計(jì)算方法是否正確，有無理論誤差；方法是否正確，有無理論誤差； 測量的環(huán)境條件是否符合測量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動(dòng)、塵污、規(guī)定要求，如溫度、

53、振動(dòng)、塵污、氣流等；氣流等； 注意避免測量人員帶入主注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。不集中等。 第67頁/共89頁第六十八頁，共90頁。（二）加修正值法（二）加修正值法 這種方法是預(yù)先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計(jì)算出來，取這種方法是預(yù)先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計(jì)算出來，取與誤差大小相同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應(yīng)的修與誤差大小相同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到正值，即可得到(d do)(d do)不包含該系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。如量塊的實(shí)不包含該系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。如量塊的實(shí)際尺寸不等

54、于公稱尺寸，若按公稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因際尺寸不等于公稱尺寸，若按公稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因此應(yīng)按經(jīng)過檢定的實(shí)際尺寸（即將量塊的公稱尺寸加上修正量）使用，此應(yīng)按經(jīng)過檢定的實(shí)際尺寸（即將量塊的公稱尺寸加上修正量）使用，就可避免此項(xiàng)系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。就可避免此項(xiàng)系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。 采用加修正值的方法消除系統(tǒng)誤差，關(guān)鍵在確定修正值或修正函采用加修正值的方法消除系統(tǒng)誤差，關(guān)鍵在確定修正值或修正函數(shù)的規(guī)律對恒定系統(tǒng)誤差，可采用檢定方法，對已知基準(zhǔn)量數(shù)的規(guī)律對恒定系統(tǒng)誤差，可采用檢定方法，對已知基準(zhǔn)量 重復(fù)測重復(fù)測量取其均值量取其均值 ， 即為其修正值。即為其修正值。 對可變系統(tǒng)誤差，按照某

55、變化因素，依次取得已知基準(zhǔn)量對可變系統(tǒng)誤差，按照某變化因素，依次取得已知基準(zhǔn)量 的一的一系列測值系列測值 ，再計(jì)算其差值，再計(jì)算其差值 ，按最小二乘法確定它隨該，按最小二乘法確定它隨該因素變化的函數(shù)關(guān)系式，取其負(fù)值即為該可變系統(tǒng)誤差的修正函數(shù)。因素變化的函數(shù)關(guān)系式，取其負(fù)值即為該可變系統(tǒng)誤差的修正函數(shù)。關(guān)于最小二乘法將在本課程后面介紹。關(guān)于最小二乘法將在本課程后面介紹。 由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要?dú)埩羯倭康南到y(tǒng)誤差。由于這些殘留的系全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要?dú)埩羯倭康南到y(tǒng)誤差。由于這些殘

56、留的系統(tǒng)誤差相對隨機(jī)誤差而言已不明顯了，往往可以把它們統(tǒng)歸成偶然誤統(tǒng)誤差相對隨機(jī)誤差而言已不明顯了，往往可以把它們統(tǒng)歸成偶然誤差來處理。差來處理。 0 xxxx 00 xnxxx,210 xxi第68頁/共89頁第六十九頁，共90頁。（三）改進(jìn)測量方法（三）改進(jìn)測量方法 在測量過程中，根據(jù)具體的測量條件和系統(tǒng)誤差的性質(zhì)，在測量過程中，根據(jù)具體的測量條件和系統(tǒng)誤差的性質(zhì)，采取一定的技術(shù)措施，選擇采取一定的技術(shù)措施，選擇(xunz)(xunz)適當(dāng)?shù)臏y量方法，使測得適當(dāng)?shù)臏y量方法，使測得值中的系統(tǒng)誤差在測量過程中相互抵消而不帶入測量結(jié)果之中，值中的系統(tǒng)誤差在測量過程中相互抵消而不帶入測量結(jié)果之中，

57、從而實(shí)現(xiàn)減弱或消除系統(tǒng)誤差的目的。從而實(shí)現(xiàn)減弱或消除系統(tǒng)誤差的目的。 1 1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法 在沒有條件或無法獲之基準(zhǔn)測量的情況，難以用檢定法確在沒有條件或無法獲之基準(zhǔn)測量的情況，難以用檢定法確定恒定系統(tǒng)誤差并加以消除。這時(shí)必須設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臏y量方法，定恒定系統(tǒng)誤差并加以消除。這時(shí)必須設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臏y量方法，使恒定系統(tǒng)誤差在測量過程中予以消除，常用的方法有：使恒定系統(tǒng)誤差在測量過程中予以消除，常用的方法有： 反向補(bǔ)償法：先在有恒定系統(tǒng)誤差的狀態(tài)下進(jìn)行一次測反向補(bǔ)償法：先在有恒定系統(tǒng)誤差的狀態(tài)下進(jìn)行一次測量，再在該恒定系統(tǒng)誤差影響相反的另一狀態(tài)下測一次，取兩量，再在該恒定

58、系統(tǒng)誤差影響相反的另一狀態(tài)下測一次，取兩次測量的平均值作為測量結(jié)果，這樣，大小相同但符號相反的次測量的平均值作為測量結(jié)果，這樣，大小相同但符號相反的兩恒定系統(tǒng)誤差就在相加后再平均的計(jì)算中互相抵消了。兩恒定系統(tǒng)誤差就在相加后再平均的計(jì)算中互相抵消了。 例如，在紅顯上測螺紋的螺距、半角等參數(shù)，就是采用抵例如，在紅顯上測螺紋的螺距、半角等參數(shù)，就是采用抵消法來消除恒定系統(tǒng)誤差的典型例子。如測螺距，左右各測一消法來消除恒定系統(tǒng)誤差的典型例子。如測螺距，左右各測一次，得次，得 與與 （正確值為（正確值為P P）為：）為： ，為儀器為儀器兩頂尖不同心使被測螺紋件偏斜而產(chǎn)生的恒定系統(tǒng)誤差。將兩頂尖不同心使被

59、測螺紋件偏斜而產(chǎn)生的恒定系統(tǒng)誤差。將 平均后，平均后，即可抵消：即可抵消： 左P右P，右左PPPP右左、PPPPPPP2)(2右左第69頁/共89頁第七十頁，共90頁。 在使用絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)測微小位移時(shí)，為消除微絲杠與螺母間的配合間隙等 因素引起的定回誤差，往往采用往返兩個(gè)方向的兩次讀數(shù)取均值作為測量結(jié)果，以補(bǔ)償定回誤差的影響。 代替法：代替法的實(shí)質(zhì)是在測量裝置上對被測量測量后不改變測量條件，立即用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量代替被測量，放到測量裝置上再次進(jìn)行測量，從而求出被測量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值，即： 被測量標(biāo)準(zhǔn)差差值 抵消法：這種方法要求進(jìn)行兩次測量，以便使兩次讀數(shù)時(shí)出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差大小相等，符號相反，取兩次測得值

60、的平均值，作為測量結(jié)果，即可消除系統(tǒng)誤差。這種方法跟反向補(bǔ)償法相似。 交換法：這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。 如圖2-18等臂天平稱重,先將被測量X放于天平一側(cè)，砝碼放于其另一側(cè)，調(diào)至天平平衡，則有 。若將X與P交換位置，由于 （存在恒定(hngdng)統(tǒng)誤差的緣故），天平將失去平衡 。原砝碼P調(diào)整為砝碼才使天平再次平衡，于是有PllX1221ll 第70頁/共89頁第七十一頁，共90頁。 ，則取 ，即可消除天平兩臂不等造成(zo chn)的系統(tǒng)誤差。 2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法對稱法 對稱法是消除線性系統(tǒng)誤差的有效方法，如圖2-19所示。隨著時(shí)間的變化，被測量作

61、線性增加，若選定某時(shí)刻為對稱中點(diǎn)，則此對稱點(diǎn)的系統(tǒng)誤差算術(shù)平均值皆相等。即 利用這一特點(diǎn)，可將測量對稱安排，取各對稱點(diǎn)兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測得值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。 例如測定量塊平面平行性時(shí)（見圖2-20）,先以標(biāo)準(zhǔn)量塊A的中心0點(diǎn)對零，然后按圖中所示被檢量塊B上的順序逐點(diǎn)檢定，再按相反順序進(jìn)行檢定，取正反兩次讀數(shù)的平均值作為各點(diǎn)的測得值，就可消除因溫度變化而產(chǎn)生的線性系統(tǒng)誤差。XllPPP122)(PPPPX3425122xxxxx第71頁/共89頁第七十二頁，共90頁。 3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法半周期法 對周期性誤差，可以相隔半個(gè)周期進(jìn)行兩次測量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消

62、除周期性系統(tǒng)誤差。周期性系統(tǒng)誤差一般可表示為： 設(shè) 時(shí)，誤差為： 當(dāng) 時(shí)，即相差半周期的誤差為： 取兩次讀數(shù)平均值則有 由此可知半周期法能消除周期性系統(tǒng)誤差。 例如儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心 等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。 4、消除復(fù)雜規(guī)律(gul)變化系統(tǒng)誤差的方法 通過構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)回歸統(tǒng)計(jì)，對復(fù)雜規(guī)律(gul)變化的系統(tǒng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償和修正。sinal 111sinal 121112sin)sin(laal0221121llll第72頁/共89頁第七十三頁，共90頁。第73頁/共89頁第七十四頁，共90頁。 在一系列重復(fù)測量數(shù)據(jù)中，如有

63、個(gè)別數(shù)據(jù)與其它的有明顯差異，則它（或它們）很可能含有粗大誤差（簡稱粗差），稱其為可疑數(shù)據(jù)，記為 。根據(jù)隨機(jī)誤差理論，出現(xiàn)大誤差的概率(gil)雖然小，但也是可能的。因此，如果不恰當(dāng)剔除含大誤差的數(shù)據(jù)，會(huì)造成測量精密度偏高的假象。反之如果對混有粗大誤差的數(shù)據(jù)，即異常值，未加剔除，必然會(huì)造成測量精密度偏低的后果。以上兩種情況還都嚴(yán)重影響對 的估計(jì)。因此，對數(shù)據(jù)中異常值的正確判斷與處理，是獲得客觀的測量結(jié)果的一個(gè)重要方法。 一、粗大誤差產(chǎn)生的原因 產(chǎn)生粗大誤差的原因是多方面的，大致可歸納為： 測量人員的主觀原因 客觀外界條件的原因測量者工作責(zé)任感不強(qiáng)、工作過于疲勞、缺乏經(jīng)驗(yàn)操作不當(dāng)(b dn)，或在

64、測量時(shí)不小心、不耐心、不仔細(xì)等，造成錯(cuò)誤的讀書或記錄。測量條件意外(ywi)地改變（如機(jī)械沖擊、外界振動(dòng)、電磁干擾等）。dxx第74頁/共89頁第七十五頁，共90頁。二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則 在測量在測量(cling)(cling)過程中，確實(shí)過程中，確實(shí)是因讀錯(cuò)記錯(cuò)數(shù)據(jù)，儀器的突然故是因讀錯(cuò)記錯(cuò)數(shù)據(jù)，儀器的突然故障，或外界條件的突變等異常情況障，或外界條件的突變等異常情況引起的異常值，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)在引起的異常值，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)在記錄中除去，但需注明原因。這種記錄中除去，但需注明原因。這種從技術(shù)上和物理上找出產(chǎn)生異常值從技術(shù)上和物理上找出產(chǎn)生異常值的原因，是發(fā)現(xiàn)和剔除粗大

65、誤差的的原因，是發(fā)現(xiàn)和剔除粗大誤差的首要方法。有時(shí)，在測量首要方法。有時(shí)，在測量(cling)(cling)完成后也不能確知數(shù)據(jù)中是否含有完成后也不能確知數(shù)據(jù)中是否含有粗大誤差，這時(shí)可采用統(tǒng)計(jì)的方法粗大誤差，這時(shí)可采用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行判別。統(tǒng)計(jì)法的基本思想是：進(jìn)行判別。統(tǒng)計(jì)法的基本思想是：給定一個(gè)顯著性水平，按一定分布給定一個(gè)顯著性水平，按一定分布確定一個(gè)臨界值，凡超過這個(gè)界限確定一個(gè)臨界值，凡超過這個(gè)界限的誤差，就認(rèn)為它不屬于偶然誤差的誤差，就認(rèn)為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大誤差，該數(shù)據(jù)應(yīng)的范圍，而是粗大誤差，該數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。予以剔除。 在判別某個(gè)測得值是否含有粗在判別某個(gè)測得值是否含有

66、粗大誤差時(shí)，要特別慎重，應(yīng)作充分大誤差時(shí)，要特別慎重，應(yīng)作充分的分析和研究，并根據(jù)判別準(zhǔn)則予的分析和研究，并根據(jù)判別準(zhǔn)則予以確定。常用的判別準(zhǔn)則有：以確定。常用的判別準(zhǔn)則有： （一）（一） 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 準(zhǔn)則是最常用也是最簡單的判準(zhǔn)則是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準(zhǔn)則，它是以測量別粗大誤差的準(zhǔn)則，它是以測量(cling)(cling)次數(shù)充分大為前提，但通次數(shù)充分大為前提，但通常測量常測量(cling)(cling)次數(shù)比較少，因此次數(shù)比較少，因此該準(zhǔn)則只是一個(gè)近視的準(zhǔn)則。實(shí)際該準(zhǔn)則只是一個(gè)近視的準(zhǔn)則。實(shí)際測量測量(cling)(cling)中，常以貝塞爾公式中，常以貝塞爾公式算得算得 ，以，以 代替真值。對某個(gè)可代替真值。對某個(gè)可疑數(shù)據(jù)疑數(shù)據(jù) ，若其殘差滿足：，若其殘差滿足： (2-90)(2-90) 則可認(rèn)為該數(shù)據(jù)含有粗大誤差，則可認(rèn)為該數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。應(yīng)予以剔除。33xdx3|xxvdd第75頁/共89頁第七十六頁，共90頁。 利用貝塞爾公式容易說明：在n10的情形，用 準(zhǔn)則剔除粗誤差注定失敗(shbi)。為此，在測量次數(shù)較少時(shí)，最好不要選用 準(zhǔn)則。下表是 準(zhǔn)則的“