2020屆高中數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 綜合訓(xùn)練(三) 理 新課標(biāo)(湖南專用)

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1、2020屆高中數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 綜合訓(xùn)練(三) 理 新課標(biāo)(湖南專用) 時量:50分鐘   滿分:50分 解答題:本大題共4小題,第1,2,3小題各12分,第4小題14分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.  1.已知鈍角△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且有(a-c)cosB=bcosC. (1)求角B的大小; (2)設(shè)向量m=(cos2A+1,cosA),n=(1,-),且m⊥n,求tan(+A)的值. 解析:(1)因為(a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理,得(sinA-sinC)cosB=sinB·cosC, 所以sinA·cosB-si

2、nC·cosB=sinB·cosC, 即sinA·cosB=sinB·cosC+sinC·cosB, 所以sinA·cosB=sin(B+C). 因為在△ABC中,sin(B+C)=sinA, 所以sinAcosB=sinA. 又sinA≠0,所以cosB=,B=. (2)因為m⊥n,所以m·n=0, 即cos2A+1-cosA=0,所以2cos2A-cosA=0, 即2cosA(cosA-)=0. 因為cosA≠0,所以cosA=, 所以sinA=,tanA=, 則tan(A+)===7.  2.設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0. (1)若a是從0,1

3、,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù),b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù),求方程有實根的概率; (2)若a是從區(qū)間[0,3]上任取一個數(shù),b是從區(qū)間[0,2]上任取一個數(shù),求方程有實根的概率. 解析:方程有實根的充要條件為a2≥b2. (1)基本事件共12個,其中(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)滿足條件,則P==. (2)試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},滿足題意的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},所以P==.  3.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行

4、四邊形,SA⊥平面ABCD,AB=2,AD=1,SB=,∠BAD=120°,E在棱SD上. (1)當(dāng)SE=3ED時,求證SD⊥平面AEC; (2)當(dāng)二面角S-AC-E的大小為30°時,求直線AE與平面CDE所成角的正弦值. 解析:方法1:(1)在平行四邊形ABCD中,由AD=1,CD=2,∠BAD=120°,易知CA⊥AD. 又SA⊥平面ABCD,所以CA⊥SA, 所以CA⊥平面SAD,所以SD⊥AC, 在直角三角形SAB中,易得SA=, 在直角三角形SAD中,∠ADE=60°,SD=2, 又SE=3ED,所以DE=, 可得AE= = =. 所以AE2+DE2=AD

5、2,所以SD⊥AE. 又因為AC∩AE=A,所以SD⊥平面AEC. (2)由(1)可知,CA⊥SA,CA⊥AE, 可知∠EAS為二面角E-AC-S的平面角, 所以∠EAS=30°,此時E為SD的中點. 過A作AF⊥CD,連接SF, 則CD⊥平面SAF,所以平面SAF⊥平面SCD. 作AG⊥SF,則AG⊥平面SCD,連接EG. 可得∠AEG為直線AE與平面SCD所成的角. 因此AF=,SA=, 所以AG==. 在Rt△AGE中,sin∠AEG==, 直線AE與平面CDE所成角的正弦值大小為. 方法2:依題意易知CA⊥AD,SA⊥平在ACD. 以A為坐標(biāo)原點,AC、

6、AD、SA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則易得A(0,0,0),C(,0,0),D(0,1,0),S(0,0,). (1)由SE∶ED=3,有E(0,,), 易得,從而SD⊥平面ACE. (2)由AC⊥平面SAD,二面角E-AC-S的平面角,∠EAS=30°. 又易知∠ASD=30°,則E為SD的中點, 即E(0,,). 設(shè)平面SCD的法向量為n=(x,y,z), 則,令z=1,得n=(1,,1)。 從而cos〈,n〉== =. 直線AE與平面CDE所成角的正弦值大小為.  4.某企業(yè)生產(chǎn)并直銷某品牌高科技電子產(chǎn)品,由以往的銷售情況可知,今后該產(chǎn)品的銷售狀況呈

7、現(xiàn)如下趨勢,若該產(chǎn)品的日銷售量為x件時,每件產(chǎn)品的銷售利潤g(x)(單位:萬元)近似地滿足:g(x)=,設(shè)日銷售量為x件的總利潤為f(x). (1)若要求日銷售總利潤f(x)超過x萬元,則日銷售量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)? (2)若該企業(yè)為實現(xiàn)節(jié)能減排的環(huán)保目標(biāo),要求該產(chǎn)品的日銷售量x∈[6,16],試問在實現(xiàn)環(huán)保目標(biāo)的條件下,該產(chǎn)品的日銷售總利潤f(x)在什么范圍內(nèi)? 解: 由題意知f(x)=, (1)當(dāng)0x,即f(x)>x成立, 所以04時,由f(x)>x,即>x, 得x-2-3<0, 解得0<<3,即00,f(x)遞增. 所以x=9時,[f(x)]min==9. 又x=6時,f(6)==4, x=16時,f(16)==>4. 故產(chǎn)品的日銷售總利潤f(x)在[9,]萬元之間.

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