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1、第5講 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
一、高考要求
函數(shù)的綜合應(yīng)用在高考中的分值大約為20分左右,題型的設(shè)置有小題也有大題,其中大題有簡單的函數(shù)應(yīng)用題、函數(shù)與其它知識(shí)綜合題,也有復(fù)雜的代數(shù)推理題,可以說函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是高考考查的主要著力點(diǎn)之一.
二、兩點(diǎn)解讀
重點(diǎn):①函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性;②函數(shù)與不等式結(jié)合;③函數(shù)與方程的綜合;④函數(shù)與數(shù)列綜合;⑤函數(shù)與向量的綜合;⑥利用導(dǎo)數(shù)來刻畫函數(shù).
難點(diǎn):①新定義的函數(shù)問題;②代數(shù)推理問題,常作為高考?jí)狠S題.
三、課前訓(xùn)練
1.已知a?R,函數(shù),x?R為奇函數(shù),則 ( B )
(A)-1 (B)0 (C)
2、1 (D)
2. “”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的( A )
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件
(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件
3.若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間,則的值為 2
4.已知,,則 -8 .
四、典型例題
例1 設(shè)函數(shù)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù),若,
,則的取值范圍是 ( )
(A) (B)且 (C)或 (D)
解:∵以3為周期,所以,又是R上的奇函數(shù),
∴,則,再由,可得,即 ,解之得,故選D
例2 設(shè)是函數(shù)的反函數(shù),則使
3、成立的x的取值范圍為 ( )
(A) (B) (C) (D)
解:∵是R上的增函數(shù),∴,即x > f(1).
又,∴,故選A.
例3 已知函數(shù),若方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,則函數(shù)
f(x)的解析式為 .
解:∵,∴方程即為,
則.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以b = - 4時(shí)x=0,符合題意.∴
例4 對(duì)a,b?R,記函數(shù)(x?R)
的最小值是 .
解: 化簡得:
在坐標(biāo)系中作出的圖象,可知:當(dāng),時(shí)為增函數(shù),;當(dāng),時(shí)為減函數(shù)?!唷>C上,
例5 對(duì)定義域是,的函數(shù)
4、,,規(guī)定:
函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù),,寫出函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)求問題(1)中函數(shù)的值域;
(Ⅲ)若,其中是常數(shù),且,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù),及一個(gè)的值,使得,并予以證明.
解:(Ⅰ)
(Ⅱ) 當(dāng)≠1時(shí), = =(—1)++2 .①若>1時(shí), 則≥4,其中等號(hào)當(dāng)時(shí)成立;②若<1時(shí), 則≤ 0,其中等號(hào)當(dāng)=0時(shí)成立.所以函數(shù)的值域是(-∞,0]{1}[4,+∞).
(Ⅲ)令,,
則
=,
∴.
例6 設(shè),若,,求證:
(Ⅰ)方程有實(shí)根,且;
(Ⅱ)設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根,則;
(Ⅲ)方程在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.
解:(Ⅰ)若,則,,與已知矛盾,∴.方程=0的判別式由條件,消去b,得,故方程有實(shí)根.由,得,由條件消去,
得,故.
(Ⅱ)由條件知,,∴
?!撸?,故.
(Ⅲ)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(
在的兩邊乘以,得<<,又因?yàn)閒(0)>0,f(1)>0,而f()=,所以方程在區(qū)間((內(nèi)分別有一實(shí)根.故方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根