2020年高考數(shù)學(xué) 三角函數(shù)問題練習(xí)題（含解析）

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1、高考中的三角函數(shù)問題（解答題） 1.三角函數(shù)求值及函數(shù)的性質(zhì) （1）同角三角函數(shù)關(guān)系：， （2）兩角和與差的三角公式： ① ② ③ （3）三角函數(shù)的性質(zhì) ①與的最小正周期為 ②的最小正周期為 例1. (2020·廣東高考)已知函數(shù)，的最小正周期為，其中，（1）求的值； （2）設(shè)，，，求的值． （3）若，求的最大值與最小值 解：(1)∵，的最小正周期，∴. (2)由(1)知，而，，，∴， 即，，于是，，， ∴ . （3）由（1）得，由，得 當(dāng)，即時(shí)，； 當(dāng)，即時(shí)， 2. 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 五點(diǎn)法作圖：作函數(shù)與的簡(jiǎn)圖的五個(gè)點(diǎn)如何作出？ [例2] 已

2、知函數(shù)的部分圖象如圖所示． （1）求函數(shù)的表達(dá)式； （2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間 （3）求函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)與對(duì)稱軸方程 【解析】（1）依題意：， 最小正周期， ∴，∴， ∵，且，∴，∴． （2）令，得 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間 （3）令，得， 所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為； 令，得， 所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為 3. 向量、三角變換與求值、三角函數(shù)的性質(zhì) （1）化一公式：如何將化為同一個(gè)角的三角函數(shù)？ （2）， （3）降冪公式：， （4）設(shè)，，則， [例3]已知，函數(shù) (1)求函數(shù)的最小正周期和值域； (2)若為第二象限角，且，求的值．

3、解：(1)∵， ∴最小正周期，的值域?yàn)椋? (2)∵，∴，即. ∵為第二象限角，∴. ∴ [變式] (2020·江南十校聯(lián)考)已知函數(shù). (1)若，求的值； (2)求函數(shù)的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間． [解答]　(1)∵，∴. ∵，∴，且， ∴ (2)由題知， ∴，∴. ∴當(dāng)時(shí)，. 由得， 故所求函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為． 4. 正、余弦定理及解三角形 （1）正弦定理 （2）余弦定理：， （3）三角形的面積 [例4]在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為.已知， (1)求的值；(2)若，求的面積． 解：(1)由，，得. 又 ,即， (2)由，得，， 由，得

4、 于是. 由及正弦定理，得. 所以△ABC的面積為. 課后作業(yè)題 1．(2020·山東高考) 已知向量，，其中，函數(shù)的最大值為.(1)求；(2)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求在上的值域 解：(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x＝A＝Asin. 因?yàn)锳>0，由題意知A＝6. (2)由(1)f(x)＝6sin.將函數(shù)y＝f(x)的圖像向左平移個(gè)單位后得到 y＝6sin＝6sin的圖像；再將得的到圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝6sin的圖像．因此g(x)＝6sin.

5、 因?yàn)閤∈，所以4x＋∈，故g(x)在上的值域?yàn)閇－3,6]． 2.　(2020·深圳模擬)已知函數(shù) (1)求的最小正周期； (2)若將的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值． [規(guī)范解答]　(1)∵f(x)＝sin＋sin x ＝cos x＋sin x＝2＝2sin， ∴f(x)的最小正周期為2π. (2)∵將f(x)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖像， ∴g(x)＝f＝2sin＝2sin. ∵x∈[0，π]，∴x＋∈， ∴當(dāng)x＋＝，即x＝時(shí)，sin＝1，g(x)取得最大值2. 當(dāng)x＋＝，即x＝π時(shí)，sin＝－，g(x)取得最小

6、值－1. 3．函數(shù)的一段圖像如圖所示． (1)求函數(shù)的解析式； (2)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到的圖像，求直線與函數(shù)的圖像在內(nèi)所有交點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)由題意知A＝2，T＝π，于是ω＝＝2， 將y＝2sin 2x的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得f(x)＝2sin 2(x＋)＝2sin. (2)依題意得g(x)＝2sin＝－2cos. 故y＝f(x)＋g(x)＝2sin－2cos＝2sin. 由2sin＝，得sin＝. ∵0

7、對(duì)邊分別為.已知，，且. (1)求的值；(2)求邊的長(zhǎng)． [思路點(diǎn)撥]　(1)由三角形內(nèi)角和定理A＋B＋C＝π，可求sin C＝sin(A＋B)； (2)利用余弦定理求b. [規(guī)范解答]　(1)∵A，B，C為△ABC的內(nèi)角，且A＝，cos B＝， ∴C＝π－(A＋B)，sin B＝， ∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝. (2)由余弦定理得： c2＝a2＋(－1)b＝b2＋c2－2bccos A＋(－1)b，即b－c＋－1＝0. 又由正弦定理得c＝＝b，則b＝2.所以邊b的長(zhǎng)為2. [規(guī)范解答]　(1)∵A，B，C為△ABC的內(nèi)角，

8、 且A＝，cos B＝， ∴C＝π－(A＋B)，sin B＝， ∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝. (2)由余弦定理得： c2＝a2＋(－1)b＝b2＋c2－2bccos A＋(－1)b，即b－c＋－1＝0. 又由正弦定理得c＝＝b，則b＝2.所以邊b的長(zhǎng)為2. 5. 如圖所示，在某港口O要將一件重要物 品用小艇送到一艘正在航行的輪船上， 在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西 30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．

9、 (1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值； 解：(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行距離為S海里，則 S＝ ＝＝ 故當(dāng)t＝時(shí)，Smin＝10，v＝30，即小艇以每小時(shí)30 海里的速度航行，相遇時(shí)距離最小． (2)若輪船與小艇在B處相遇，由題意可得： (vt)2＝202＋(30t)2－2·20·(30t)·cos(90°－30°) 化簡(jiǎn)得v2＝－＋900＝4002＋675， 由于0