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1、考點(diǎn)49 幾何證明選講
一、選擇題
A
B
D
G
O
F
C
E
1.（2020·北京高考理科·T5）如圖，AD,AE,BC分別與圓O切于點(diǎn)D,E,F，延長(zhǎng)AF與圓O交于另一點(diǎn)G.給出下列三個(gè)結(jié)論：①AD+AE=AB+BC+CA;②;③.其中正確結(jié)論的序號(hào)
是（ ）
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
【思路點(diǎn)撥】利用切割線定理、割線定理、弦切角定理.
【精講精析】選A.AB+BC+CA=AB+(BF+CF)+CA=AB+(BD+CE)+CA=AD+AE，故①正確；因?yàn)椋?，，故②正確； ，， 不相似，
2、故③不正確.
二、填空題
2．（2020·陜西高考理科·T15B）（幾何證明選做題）如圖，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，則BE= ．
【思路點(diǎn)撥】尋找兩個(gè)三角形相似的條件，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解．
【精講精析】答案：
因?yàn)?，所以∠AEB=，
又因?yàn)椤螧=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以,
所以，在Rt△AEB中，．
3．（2020·陜西高考文科·T15B）（幾何證明選做題）如圖，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，則AE= ．
【思路點(diǎn)撥】尋找兩個(gè)三角形相似的條件，再根據(jù)相似三角形
3、的對(duì)應(yīng)邊成比例求解．
【精講精析】答案：2
因?yàn)?，所以∠AEB=，
又因?yàn)椤螧=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以，所以．
4.（2020·廣東高考理科·Ｔ15）（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點(diǎn)分別作圓的切線和割線交圓于,且，是圓上一點(diǎn)使得，，則 .
【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，求得的值.
【精講精析】答案：
,～,,從而..
5.（2020·廣東高考文科·Ｔ15）（幾何證明選講選做題）如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2. E,F分別為AD，BC上的點(diǎn)，且EF=3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為
4、 .
【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形面積比等于相似比的平方求解.
【精講精析】答案：
延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)G..由已知GAB∽GDC，GEF∽GDC,所以，，
從而,,所以梯形ABCD與梯形EFCD的面積比為3：=,從而得梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為
6．（2020·湖南高考理科·T11）如圖2，A，E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑BC=4，AD，垂足為D，BE與AD相交于點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)
為______
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查平面幾何的推理和證明.考查圓的切割弦以及三角形的相似和直角三角形的射影定理.
【精講精析】答案：.連結(jié)AB、AO、CE、OE，則是邊長(zhǎng)為
5、2的等邊三角形，，AD=，所以得到AF=.
7.（2020.天津高考理科.T12）如圖，已知圓中兩條弦與相交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且若與圓相切，則線段的長(zhǎng)為_________
【思路點(diǎn)撥】利用相交線及切線的比例關(guān)系求解。
【精講精析】答案：
設(shè)BE=x,則AF=4x,FB=2x,因?yàn)?所以,又
三、解答題
8.（2020·江蘇高考·Ｔ21A）（選修4-1：幾何證明選講）如圖，圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，其半徑分別為與，圓的弦交圓于點(diǎn)（不在上），
求證：為定值。
【思路點(diǎn)撥】本題考察的是圓的切線的性質(zhì)、三角形相似的判定及其性質(zhì)，
容易題。解決本題的關(guān)鍵是弦切角定理的應(yīng)用
【精講精析】由弦
6、切角定理可得
9.（2020·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·Ｔ22）如圖，，分別為的
邊， 上的點(diǎn)，且不與的頂點(diǎn)重合.已知的長(zhǎng)為，
AC的長(zhǎng)為n,，的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根.
（Ⅰ）證明：，，，四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若，且，求，，，所在圓的半徑.
【思路點(diǎn)撥】第（Ⅰ）問的證明流程為連接∽
四點(diǎn)共圓；第（Ⅱ）問，利用平面幾何的性質(zhì)，設(shè)法尋求圓心位置，然后求得半徑.
【精講精析】（I）連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，
即.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB
7、
所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓.
（Ⅱ） m=4, n=6時(shí)，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.
取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F，分別過G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH.因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.
故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為5
10.（2020·遼寧高考理科·Ｔ22）（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，且EC=ED．
（I）證明：CD//AB；
（II）延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EF=EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．
【思路點(diǎn)撥】（I）可證，即得CD//AB；（II）利用三角形全等及平行線的知識(shí)可證得，得結(jié)論．
【精講精析】（I）因?yàn)?，所?
因?yàn)?四點(diǎn)在同一圓上，所以，
故，所以∥.
（II）由（I）知，，因?yàn)?，故?
從而.
連接，則，故.
又∥，，所以.
所以.
故四點(diǎn)共圓.
2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)49幾何證明選講
