2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二十八講 等差數(shù)列 新人教版

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1、第二十八講　等差數(shù)列 班級(jí)________　姓名________　考號(hào)________　日期________　得分________ 一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)．) 1．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a2＋a4＋a15的值是一個(gè)確定的常數(shù)，則數(shù)列{an}中也為常數(shù)的項(xiàng)是(　　) A．S7　　　　　　　　　 B．S8 C．S13 D．S15 解析：設(shè)a2＋a4＋a15＝p(常數(shù))， ∴3a1＋18d＝p，解a7＝p. ∴S13＝＝13a7＝p. 答案：C 2．等差數(shù)列{an}中，已知a1＝，a2＋

2、a5＝4，an＝33，則n為(　　) A．48 B．49 C．50 D．51 解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，則由a1＝得d＝，令an＝33＝＋(n－1)×，可解得n＝50.故選C. 答案：C 3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：a5＝S5－S4≤5，S5＝a1＋a2＋…＋a5＝5a3≤15，a3≤3，則a4＝≤4，a4的最大值為4.故選C. 答案：C 4．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S5＝3(a2＋a8)，則的值為(　　) A. B. C. D.

3、解析：∵{an}是等差數(shù)列， ∴＝＝×5＝＝，故選D. 答案：D 5．(2020·濟(jì)寧市模擬)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若<－1，且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn>0的n的最大值為(　　) A．11 B．19 C．20 D．21 解析：∵<－1，且Sn有最大值， ∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0， ∴S19＝＝19·a10>0， S20＝＝10(a10＋a11)<0. 所以使得Sn>0的n的最大值為19，故選B. 答案：B 6．如圖，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長為1，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1,2,3,4,5,6的橫縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N*

4、)的前12項(xiàng)，如下表所示： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 按如此規(guī)律下去，則a2020＋a精選考題＋a2020等于(　　) A．1003 B．1005 C．1006 D．2020 解析：依題意得，數(shù)列a2，a4，a6，…，a2k，…，是以a2＝1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，因此a精選考題＝a2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.數(shù)列a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，…，即是以1，－1,2，－2，

5、…，的規(guī)律呈現(xiàn)，且a2020是該數(shù)列的第1005項(xiàng)，且1005＝2×502＋1，因此a2020＝503，a2020＝－503，a2020＋a精選考題＋a2020＝1005，選B. 答案：B 二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．) 7．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________. 解析：S9＝9a5＝－9， ∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72. 答案：－72 8．已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且＝，則＝________. 解析：本題考查等差數(shù)列的

6、基礎(chǔ)知識(shí)，由于這是選擇題可直接由結(jié)論＝求得． 答案： 9．設(shè)f(x)＝，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為________． 解析：∵f(x)＝， ∴f(1－x)＝＝＝， ∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝. 設(shè)S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)， 則S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－5)， ∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋ [f(－5)＋f(6)]＝6， ∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3. 答案：3 10．等差數(shù)列

7、{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，記Tn＝，如果存在正整數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，Tn≤M都成立，則M的最小值是________． 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d. ∵a4－a2＝8，∴d＝4. 又∵a3＋a5＝26，即2a1＋6d＝26，∴a1＝1. ∴Sn＝n＋×4＝2n2－n， 則Tn＝＝2－<2. ∵對(duì)一切正整數(shù)Tn≤M恒成立，∴M≥2. ∴M的最小值為2. 答案：2 三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．) 11．已知：f(x)＝－，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)Pn在

8、曲線y＝f(x)上(n∈N*)，且a1＝1，an>0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且滿足＝＋16n2－8n－3，問：當(dāng)b1為何值時(shí)，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． 解：(1)由y＝－， 點(diǎn)Pn在曲線y＝f(x)上， ∴－＝f(an)＝－， 并且an>0，∴＝， ∴－＝4(n∈N*)． 數(shù)列{}是等差數(shù)列，首項(xiàng)＝1，公差d為4， ∴＝1＋4(n－1)＝4n－3，a＝. ∵an>0，∴an＝(n∈N*)． (2)由an＝，＝＋16n2－8n－3得 (4n－3)Tn＋1＝(4n＋1)Tn＋(4n－3)(4n＋1)， ＝＋1. 令cn＝

9、，如果c1＝1，此時(shí)b1＝T1＝1， ∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，n∈N*， 則Tn＝(4n－3)n＝4n2－3n，n∈N*， ∴bn＝8n－7，n∈N*，∴b1＝1時(shí)數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． 12．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，已知a3＝95. (1)求a1，a2； (2)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得bn＝(an＋t)(n∈N*)，且{bn}為等差數(shù)列？若存在，則求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)n＝2時(shí)，a2＝3a1＋32－1 n＝3時(shí)，a3＝3a2＋33－1＝95， ∴a2＝23. ∴23＝3a1＋8，∴a1＝5. (2

10、)當(dāng)n≥2時(shí)， bn－bn－1＝(an＋t)－(an－1＋t) ＝(an＋t－3an－1－3t) ＝(3n－1－2t)＝1－. 要使{bn}為等差數(shù)列，則必須使1＋2t＝0，∴t＝－， 即存在t＝－，使{bn}為等差數(shù)列． 13．設(shè)f(x)＝(a≠0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N*. (1)證明數(shù)列是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． 分析：將題設(shè)中函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的遞推關(guān)系，再將遞推關(guān)系通過整理變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，從而求數(shù)列的通項(xiàng)公式，本題在求{bn}前n項(xiàng)和時(shí)運(yùn)用了裂項(xiàng)相消法，這是數(shù)列求和的常用方法． 解：(1)證明：an＋1＝f(an)＝＝， ∴＝＋，即－＝. ∴是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列． (2)由(1)知是等差數(shù)列， ∴＝1＋(n－1).整理得an＝. (3)bn＝an·an＋1＝·＝a2. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn， 則Tn＝a2 ＝a2＝a2·＝. ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為.