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1、
(時間60分鐘，滿分80分)
一、選擇題(共6個小題，每小題5分，滿分30分)
1．(2020·全國卷Ⅱ)已知sinα ＝，則cos(π－2α)＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2×()2－1＝－.
答案：B
2．設(shè)a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，則a、b、c的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn)
2、＝1＋2sin16°cos16°＝1＋sin32°∈(，2)，c2＝，且a>0，b>0，c>0，∴a
3、inα＋cosα)2＝1＋sin2α
＝1＋＝.
∵0<α<.
∴cos(－α)>0，∴cos(－α)＝.
答案：C
5.的值是( )
A. B.
C. D.
解析：原式＝
＝
＝＝.
答案：C
6．已知A、B均為鈍角，且sinA＝，sinB＝，則A＋B等于( )
A. B.
C.或 D.
解析：由已知可得cosA＝－，cosB＝－，
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝，
又∵＜A＜π，＜B＜π，
∴π＜A＋B＜2π，∴A＋B＝.
答案：A
二、填空題(共3小題，每小題5分，滿分15分)
4、
7.＋2的化簡結(jié)果是________．
解析：原式＝＋2
＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|
∵π<4<π
∴cos4<0，且sin4
5、
解析：f(sinx)＝3－cos2x＝3－(1－2sin2x)＝2sin2x＋2，
所以f(x)＝2x2＋2，因此f(cosx)＝2cos2x＋2＝(2cos2x－1)＋3＝3＋cos2x.
答案：3＋cos2x
三、解答題(共3小題，滿分35分)
10.如圖，以O(shè)x為始邊作角α與β(0<β<α<π)，它們的終邊分別與單位圓相交于點P、Q，已知點P的坐標(biāo)為(－，)．
(1)求的值；
(2)若·＝0，求sin(α＋β)．
解：(1)由三角函數(shù)定義得cosα＝－，sinα＝，則原式＝＝
＝2cos2α
＝2×(－)2＝.
(2)∵·＝0，
∴α－β＝，∴β＝α－，
6、∴sinβ＝sin(α－)＝－cosα＝，
cosβ＝cos(α－)＝sinα＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝×＋(－)×＝.
11．已知銳角△ABC中，三個內(nèi)角為A，B，C，兩向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，若p與q是共線向量．
(1)求角A的大??；
(2)求函數(shù)y＝2sin2B＋cos()取最大值時角B的大?。?
解：(1)p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－
7、cosA)＝0，化簡得：sin2A＝，∵△ABC為銳角三角形，
∴sinA＝，∴A＝60°.
(2)y＝2sin2B＋cos()
＝2sin2B＋cos()
＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)
＝1＋sin(2B－30°)，當(dāng)B＝60°時函數(shù)取得最大值2.
12．已知向量a＝(，)，b＝(cosx，sinx)，x∈(0，)．
(1)若a∥b，求sinx和cos2x的值；
(2)若a·b＝2cos(＋x)(k∈Z)，求tan(x＋)的值．
解：(1)∵a∥b，∴sinx＝cosx.
于是sinx＝cosx，又∵sin2x＋cos2x＝1，
∴cos2x＝，
又∵x∈(0，)，∴sinx＝＝ ＝.
cos2x＝2cos2x－1＝－1＝－.
(2)∵a·b＝cosx＋sinx＝cossinx＋sincosx＝sin(x＋)，
而2cos(x＋)＝2cos(2kπ＋x＋＋2π)
＝2cos(x＋)(k∈Z)，
于是sin(x＋)＝2cos(x＋)，即tan(x＋)＝2.
∴tan(x＋)＝tan[(x＋)＋]
＝
＝＝－3.
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