【備戰(zhàn)2020】高考數(shù)學(xué) 歷屆真題專題06 不等式 理

19、目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值為________。 13. 4 【解析】不等式表示的區(qū)域是一個四邊形，4個頂點是 ，易見目標(biāo)函數(shù)在取最大值8， 所以，所以，在時是等號成立。所以的最小值為4. 【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)域端點的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點坐標(biāo)代入得，要想求的最小值，顯然要利用基本不等式. 3. （2020湖北理數(shù)）12.已知，式中變量，滿足約束條件，則的最大值為___________. 12.【答案】5 【解析】依題意，畫出可行域（如圖示）， 則對于目標(biāo)函數(shù)y=2x-z， 當(dāng)直線經(jīng)過A（2

20、，－1）時， z取到最大值，. （2020湖北理數(shù)）15.設(shè)a>0,b>0,稱為a，b的調(diào)和平均數(shù)。如圖，C為線段AB上的點，且AC=a，CB=b，O為AB中點，以AB為直徑做半圓。過點C作AB的垂線交半圓于D。連結(jié)OD，AD，BD。過點C作OD的垂線，垂足為E。則圖中線段OD的長度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段 的長度是a,b的幾何平均數(shù)，線段 的長度是a,b的調(diào)和平均數(shù)。 【答案】CD DE 【解析】在Rt△ADB中DC為高，則由射影定理可得，故，即CD長度為a,b的幾何平均數(shù)，將OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的長度為a,b的調(diào)和平均數(shù)

21、. （2020江蘇卷）12、設(shè)實數(shù)x,y滿足3≤≤8，4≤≤9，則的最大值是 ▲ 。。 [解析] 考查不等式的基本性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化思想。 ，，，的最大值是27。 （2020浙江理數(shù)）（18）(本題滿分l4分)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，已知 (I)求sinC的值； (Ⅱ)當(dāng)a=2， 2sinA=sinC時，求b及c的長． 解析：本題主要考察三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，同事考查運算求解能力。 （Ⅰ）解：因為cos2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π 所以sinC=. （Ⅱ）解：當(dāng)a=2，2sinA=sinC

22、時，由正弦定理，得 c=4 由cos2C=2cos2C-1=，J及0＜C＜π得 cosC=± 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得 b2±b-12=0 解得 b=或2 所以 b= b= c=4 或 c=4 （2020全國卷2理數(shù)）（17）（本小題滿分10分） 中，為邊上的一點，，，，求． 【命題意圖】本試題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和差公式和正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查考生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握情況. 【參考答案】 由cos∠ADC=＞0，知B＜. （2020遼寧理數(shù)）（

23、17）（本小題滿分12分） 在△ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對邊，且 （Ⅰ）求A的大?。? （Ⅱ）求的最大值. 解： （Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得 即 由余弦定理得 故 ，A=120° ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 故當(dāng)B=30°時，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分 （2020江西理數(shù)）17.（本小題滿分12高☆考♂資♀源*網(wǎng)分） 已知函數(shù)。 (1) 當(dāng)m=

24、0時，求在區(qū)間上的取值范圍； (2) 當(dāng)時，，求m的值。 （2020四川理數(shù)）（19）（本小題滿分12分） （Ⅰ）證明兩角和的余弦公式； 由推導(dǎo)兩角和的正弦公式. （Ⅱ）已知△ABC的面積，且，求cosC. 本小題主要考察兩角和的正、余弦公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識及運算能力。 解：(1)①如圖，在執(zhí)教坐標(biāo)系xOy內(nèi)做單位圓O，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于P3；角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于P4. 則P1(1,0),P2(cosα,sinα) P3(cos(

25、α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))由P1P3＝P2P4及兩點間的距離公式，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2 展開并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ) ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分 ②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)] ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)

26、sin(－β) ＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分 (2)由題意，設(shè)△ABC的角B、C的對邊分別為b、c 則S＝bcsinA＝ ＝bccosA＝3＞0 ∴A∈(0, ),cosA＝3sinA 又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝,cosA＝ 由題意，cosB＝,得sinB＝ ∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝ 故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………………………12分 （2020天津理數(shù)）（17）（本小題滿分12分） 已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的最

27、小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值； （Ⅱ）若，求的值。 （Ⅱ）解：由（1）可知 又因為，所以 由，得 從而 所以 （2020廣東理數(shù)）16、（本小題滿分14分） 已知函數(shù)在時取得最大值4．　 （2020湖南理數(shù)）16．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的最大值； （II）求函數(shù)的零點的集合。 （2020湖北理數(shù)） 16．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)f(x)= （Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。 （2020福建理數(shù)）19．（本小題滿分13

28、分） 。，輪船位于港口O北偏西且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小船沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇。 （1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ （2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。沟眯⊥芤宰疃虝r間與輪船相遇，并說明理由。 【解析】如圖，由（1）得 而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，故輪船與小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，設(shè)，OD=， 由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為和，

29、 所以，解得， 從而值，且最小值為，于是 當(dāng)取得最小值，且最小值為。 此時，在中，，故可設(shè)計航行方案如下： 航行方向為北偏東，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇。 （2020安徽理數(shù)）16、（本小題滿分12分） 設(shè)是銳角三角形，分別是內(nèi)角所對邊長，并且 。 (Ⅰ)求角的值； (Ⅱ)若，求（其中）。 （2020江蘇卷）17、（本小題滿分14分） 某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。 (1) 該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24，tan=1

30、.20，請據(jù)此算出H的值； (2) 該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，-最大？ [解析] 本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。 （1），同理：，。 AD—AB=DB，故得，解得：。 因此，算出的電視塔的高度H是124m。 （2）由題設(shè)知，得， ，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號） 故當(dāng)時，最大。 因為，則，所以當(dāng)時，-最大。 故所求的是m。 （2020江蘇卷）23.（本小題滿分10分） 已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)。 （1） 求證

31、cosA是有理數(shù)；（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。 [解析] 本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。滿分10分。 （方法一）（1）證明：設(shè)三邊長分別為，，∵是有理數(shù)， 是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性， ∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)。 （2）①當(dāng)時，顯然cosA是有理數(shù)； 當(dāng)時，∵，因為cosA是有理數(shù)， ∴也是有理數(shù)； ②假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。 當(dāng)時，， ， ， 解得： ∵cosA，，均是有理數(shù)，∴是有理數(shù)， ∴是有理數(shù)。 即當(dāng)時，結(jié)論成立。

32、綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。 （方法二）證明：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知 是有理數(shù)。 （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和都是有理數(shù)。 ①當(dāng)時，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。 ②假設(shè)當(dāng)時，和都是有理數(shù)。 當(dāng)時，由， ， 及①和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù)。 即當(dāng)時，結(jié)論成立。 綜合①、②可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。 【2020年高考試題】 9．（2020·天津理6）設(shè)若的最小值為 A 8 B 4 C 1 D 【考點定位】本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及均值不

33、等式求最值的運用，考查了變通能力。 解析：因為，所以， ，當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”成立，故選擇C 11．（2020·天津理10）,若關(guān)于x 的不等式＞的解集中的整數(shù)恰有3個，則 （A） （B） （C） （D） 解析：由題得不等式＞即，它的解應(yīng)在兩根之間，故有，不等式的解集為或。若不等式的解集為，又由得，故，即 13.（2020·山東12）設(shè)x，y滿足約束條件 ， 若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12， 則的最小值為( ). A. B. C. D. 4 解

34、析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by= z（a>0，b>0） 過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時, 目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A. 答案:A 【命題立意】:本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答. 14. (寧夏海南文理6)設(shè)滿足則 （A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2

35、，無最大值 （C）有最大值3，無最小值 （D）既無最小值，也無最大值 答案：B 解析：畫出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，畫出y＝－x的圖象，當(dāng)它的平行線經(jīng)過A（2,0）時，z取得最小值，最小值為：z＝2，無最大值，故選.B 15．(福建9)在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則的值為 恒過（0，1），故看作直線繞點（0，1）旋轉(zhuǎn)，當(dāng)a=-5時，則可行域不是一個封閉區(qū)域，當(dāng)a=1時，面積是1；a=2時，面積是；當(dāng)a=3時，面積恰好為2，故選D. 16．(山東5)在R上定義運

36、算⊙: ⊙,則滿足⊙<0的實數(shù)的取值范圍為( ). A.(0,2) B.(-2,1) C. D.(-1,2) 解析：:根據(jù)定義⊙,解得,所以所求的實數(shù)的取值范圍為(-2,1),故選B. 答案:B. 10．(2020·山東13) 不等式的解集為 . 解析：:原不等式等價于不等式組①或② 或③不等式組①無解,由②得,由③得,綜上得,所以原不等式的解集為. 答案: 11. (2020·浙江文13)若實數(shù)滿足不等式組則的最小值是 ． 答案：4 解析：通過畫出其線性規(guī)劃，可知直線過點時，

37、12. (2020·廣東文14)（不等式選講選做題）不等式的實數(shù)解為 ． 解析：且. 13.（2020·山東文16）某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費為200元,設(shè)備乙每天的租賃費為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件,B類產(chǎn)品140件,所需租賃費最少為__________元. 解析：:設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 乙種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 該公司所需租賃費為元,則，甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品的情況為下表所示: 產(chǎn)品

38、 設(shè)備 A類產(chǎn)品 (件)(≥50) B類產(chǎn)品 (件)(≥140) 租賃費 (元) 甲設(shè)備 5 10 200 乙設(shè)備 6 20 300 則滿足的關(guān)系為即:, 作出不等式表示的平面區(qū)域,當(dāng)對應(yīng)的直線過兩直線的交點(4,5)時，目標(biāo)函數(shù)取得最低為2300元. 答案:2300 14. (2020·浙江文13)若實數(shù)滿足不等式組則的最小值 是 ． 答案： 4 3. (江蘇12) 20．(本

39、小題滿分16分) 設(shè)為實數(shù)，函數(shù). (1)若，求的取值范圍； (2)求的最小值； (3)設(shè)函數(shù)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集. [解析] 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分 （1）若，則 （2）當(dāng)時， 當(dāng)時， 綜上 數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是 （A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9] 解析：本

40、題考查線性規(guī)劃與指數(shù)函數(shù)。如圖陰影部分為平面區(qū)域M， 顯然，只需要研究過、兩種情形。且即 答案：C 4．（2020·廣東理）若變量滿足則的最大值是（ ） A．90 B．80 C．70 D．40 解析：畫出可行域（如圖），在點取最大值 答案：C 5．（2020·山東理）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則b的取值范圍為 . 解析：本題考查絕對值不等式 ，解得 答案：（5，7） 6．（2020·廣東理）已知，若關(guān)于的方程有實根，則的取值范圍是 ． ，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”。 答案：3 8．(2020·山東理14)設(shè)是不等式組表示的平面區(qū)域,則中的點到直線距離的最大值是_______. 答案： 解析：畫圖確定可行域，從而確定到直線直線距離的最大為 【2020年高考試題】 2．（2020·山東文理2）．已知集合，則（B） (A) (B) (C) (D) 答案：:C 解析：：函數(shù)的圖象恒過定點，，，，