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1、備戰(zhàn)2020數(shù)學應考能力大提升
典型例題
例1 已知函數(shù)f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其圖象經(jīng)過點M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．
解：(1)∵f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)的最大值是1，∴A＝1.
∵f(x)的圖象經(jīng)過點M，
∴sin＝.
∵0＜φ＜π?φ＝，
∴f(x)＝sin＝cosx.
(2)∵f(x)＝cosx，∴f(α)＝cosα＝，f(β)＝cosβ＝，已知α，β∈，所以
sinα＝＝，sinβ＝＝.
故f(α－β)＝cos(
2、α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×＋×＝.
例2 已知函數(shù)f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(0<φ<π)，其圖象過點.
(1)求φ的值；
(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)因為f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(0<φ<π)，
所以f(x)＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ
＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ
＝(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝cos(2x－φ)，
又函數(shù)圖象
3、過點，
所以＝cos，
即cos＝1， 又0<φ<π， 所以φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos，將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，可知
g(x)＝f(2x)＝cos，
因為x∈，
所以4x∈，
因此4x－∈，
故－≤cos≤1.
所以y＝g(x)在上的最大值和最小值分別為和－.
例3 已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋sinωx·sin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標為.
(1)求ω；
(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標
4、伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋
＝sin(2ωx＋)＋.
令2ωx＋＝，將x＝代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋.
經(jīng)過題設的變化得到的函數(shù)
g(x)＝sin(x－)＋.
當x＝4kπ＋π，k∈Z時，函數(shù)取得最大值.
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，
即x∈[4kπ＋，4kπ＋π]，k∈Z為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
創(chuàng)新題型
1．設函數(shù)f(x)＝(2cosx＋asinx)sinx＋cos2x(x∈R)，且f()＝f()．
(Ⅰ)
5、求函數(shù)f(x)的值域；
(Ⅱ)設f(x)圖象上過任意一點P的切線斜率為k，證明：|k|≤2.(文科選做)
2.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)當x∈[，]時，求f(x)的值域．
3.設函數(shù)f(x)＝(2cosx＋asinx)sinx＋cos2x(x∈R)，且f()＝f()．
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的值域；
(Ⅱ)設f(x)圖象上過任意一點P的切線
6、斜率為k，證明：|k|≤2.(文科選做)
4.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)當x∈[，]時，求f(x)的值域．
參考答案
1．【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x
＝sin2x＋(1－cos2x)＋1.
∴f()＝a，f()＝.
由f()＝f()，有a＝，∴a＝3.
∴f(x)＝sin2x－cos2x＋2＝sin(2x－)＋2.
∴函
7、數(shù)f(x)的值域為[2－，2＋]．
(Ⅱ)設P(x，y)是f(x)圖象上任意一點，則
k＝f′(x)＝2cos(2x－)．
∴|k|＝|f′(x)|＝≤|2|＝2.
2.【解析】(1)由最低點為M(，－2)得A＝2.
在x軸上相鄰兩個交點之間的距離為得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由點M(，－2)在函數(shù)圖象上得2sin(2×＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，故＋φ＝2kπ－，k∈Z，
∴φ＝2kπ－.
又φ∈(0，)，∴φ＝，故f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)∵x∈ [，]，∴2x＋∈[，]，
當2x＋＝，即x＝時，f(x) 2；當2x＋＝，即x＝時，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域為[－1,2]．
3.【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x＝sin2x＋(1－cos2x)＋1.
∴f()＝a，f()＝.
由f()＝f()，有a＝，∴a＝3.
∴f(x)＝sin2x－cos2x＋2＝sin(2x－)＋2.
∴函數(shù)f(x)的值域為[2－，2＋]．
(Ⅱ)設P(x，y)是f(x)圖象上任意一點，則
k＝f′(x)＝2cos(2x－)．
∴|k|＝|f′(x)|＝≤|2|＝2.
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