高中數(shù)學(xué) 2-1-2第2課時(shí) 曲線方程的求法同步檢測(cè) 新人教版選修2-1（通用）

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1、2.1 第2課時(shí) 曲線方程的求法 一、選擇題 1．已知0≤α≤2π，點(diǎn)P(cosα，sinα)在曲線(x－2)2＋y2＝3上，則α的值為(　　) A.　　　　　　　　 B. C.或 D.或 [答案]　C [解析]　將P坐標(biāo)代入曲線方程為(cosα－2)2＋sin2α＝3， ∴cos2α－4cosα＋4＋sin2α＝3. ∴cosα＝.∵0≤α≤2π，∴α＝或π. 2．下面所給的方程是圖中曲線的方程的是(　　) [答案]　D [解析]　A不是，因?yàn)閤2＋y2＝1表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不都是曲線上的點(diǎn)，如(，－)的坐標(biāo)適合方

2、程x2＋y2＝1，但不在所給曲線上；B不是，理由同上，如點(diǎn)(－1,1)適合x2－y2＝0，但不在所給曲線上；C不是，因?yàn)榍€上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不是方程的解，如(－1，－1)在所給曲線上，但不適合方程lgx＋lgy＝1. 3．平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為(3，－1)，(2，－3)，頂點(diǎn)D在直線3x－y＋1＝0上移動(dòng)，則頂點(diǎn)B的軌跡方程為(　　) A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0 C．3x－y－12＝0 D．3x－y－9＝0 [答案]　A [解析]　設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O ∵A、C分別為(3，－1)(2，－3) ∴O為(，－2)，設(shè)B為(x，y)

3、 ∴D為(5－x，－4－y) ∵D在3x－y＋1＝0上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0 即3x－y－20＝0，選A. 4．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P是拋物線y＝2x2＋1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A(0，－1)，點(diǎn)M使得＝2，則M的軌跡方程是(　　) A．y＝6x2－ B．y＝3x2＋ C．y＝－3x2－1 D．x＝6y2－ [答案]　A [解析]　設(shè)M為(x，y) ∵＝2　A(0，－1)， ∴P(3x,3y＋2) ∵P為y＝2x2＋1上一點(diǎn)， ∴3y＋2＝2×9x2＋1＝18x2＋1 ∴y＝6x2－.故選A. 5．已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|

4、＝2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于(　　) A．π　　　　B．4π　　　C．8π　　　D．9π [答案]　B [解析]　設(shè)P(x，y)，則(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，∴(x－2)2＋y2＝4，可知圓面積為4π. 6．曲線y＝－與曲線y＋|ax|＝0(a∈R)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．4個(gè) B．2個(gè) C．0個(gè) D．與a的取值有關(guān) [答案]　B [解析]　曲線y＝－即x2＋y2＝1(y≤0)，曲線y＋|ax|＝0(a∈R)，即y＝－|ax|，兩曲線如圖所示，必有2個(gè)交點(diǎn)．故選B. 7．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中

5、，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．線段B1C B．線段BC1 C．BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段 D．BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段 [答案]　A [解析]　設(shè)P1、P2為P的軌跡上兩點(diǎn)，則AP1⊥BD1，AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2＝A， ∴直線AP1與AP2確定一個(gè)平面α，與面BCC1B1交于直線P1P2，且知BD1⊥平面α， ∴P1P2⊥BD1， 又∵BD1在平面BCC1B1內(nèi)的射影為BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面BCC1B1內(nèi)只有B1C與BC1垂直， ∴P點(diǎn)的軌跡為B1C. 8．一條線

6、段長(zhǎng)等于10，兩端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，M在線段AB上，且＝4，則M的軌跡方程是(　　) A．x2＋16y2＝64 B．16x2＋y2＝64 C．x2＋16y2＝8 D．16x2＋y2＝8 [答案]　B [解析]　設(shè)M(x，y)，因?yàn)椋?，且A、B分別在x軸和y軸上，則A(5x,0)，B(0，y)，又(AB)＝10所以(5x2)＋(y)2＝100，即16x2＋y2＝64，故選B. 9．已知log2x，log2y,2成等差數(shù)列，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(x，y)的軌跡為(　　) [答案]　A [解析]　由2log2y＝log2x＋2得 log2y

7、2＝log2x＋log24＝log24x， 即y2＝4x，又x>0，y>0，故選A. 10．(2020·湖北理，9)若直線y＝x＋b與曲線y＝3－有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是(　　) A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2] C. [1－2，3] D．[1－，3] [答案]　C [解析]　由y＝3－可知其圖像為圓(x－2)2＋(y－3)2＝4的下半圓，當(dāng)直線y＝x＋b過(guò)點(diǎn)(0,3)時(shí)b＝3，當(dāng)直線與圓相切時(shí)＝2，解得b＝1－2或b＝1＋2(舍去)，故當(dāng)1－2≤b≤3時(shí)直線和半圓有交點(diǎn)． 二、填空題 11．由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2＋y2＝1引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分

8、別為A、B，∠APB＝60°，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為______． [答案]　x2＋y2＝4 [解析]　設(shè)P(x，y)，x2＋y2＝1的圓心為O， ∵∠APB＝60°，OB＝2，∴x2＋y2＝4. 12．與點(diǎn)(2，－3)的連線的傾斜角為的點(diǎn)M的軌跡方程是________． [答案]　x＋y＋3－2＝0(x≠2) 13．如圖，已知點(diǎn)F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且·＝·，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為________． [答案]　y2＝4x [解析]　設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(－1，y)，由·＝·得，(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－

9、1，y)·(－2，y)，化簡(jiǎn)得C：y2＝4x. 14．直線x－3y＝0和直線3x－y＝0的夾角的角平分線所在直線方程為________． [答案]　x＋y＝0或x－y＝0 [解析]　設(shè)P(x，y)為角平分線上任意一點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，P到直線x－3y＝0和3x－y＝0的距離相等，∴＝， ∴|x－3y|＝|3x－y|，∴x－3y＝±(3x－y)， ∴x－3y＝3x－y或x－3y＝－(3x－y)， ∴x＋y＝0或x－y＝0 ∴所求角平分線方程為x＋y＝0或x－y＝0. 三、解答題 15．設(shè)△ABC的兩頂點(diǎn)分別是B(1,1)、C(3,6)，求第三個(gè)頂點(diǎn)A的軌跡方程，使|AB|＝

10、|BC|. [解析]　設(shè)A(x，y)為軌跡上任一點(diǎn)，那么 ＝， 整理，得(x－1)2＋(y－1)2＝29. 因?yàn)锳點(diǎn)不在直線BC上，雖然點(diǎn)C(3,6)及點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)C′(－1，－4)的坐標(biāo)是這個(gè)方程的解，但不在已知曲線上，所以所求軌跡方程為(x－1)2＋(y－1)2＝29(去掉(3,6)和(－1，－4)點(diǎn))． 16．如圖，圓O1和圓O2的半徑都等于1，O1O2＝4.過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN(M、N為切點(diǎn))，使得PM＝PN.試建立平面直角坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． [解析]　以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則O

11、1(－2,0)，O2(2,0)． 由已知PM＝PN， ∴PM2＝2PN2. 又∵兩圓的半徑均為1， 所以PO－1＝2(PO－1)．設(shè)P(x，y)， 則(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33. ∴所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33. 17．已知兩點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)且點(diǎn)P使·，·，·成公差小于0的等差數(shù)列．則點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？ [解析]　設(shè)P(x，y)由M(－1,0)，N(1,0)得 ＝－＝(－1－x，－y) ＝－＝(1－x，－y)， ＝－＝(2,0)， ∴·＝2(1＋x)，·＝x2＋y2－1，

12、 ·＝2(1－x) 于是·，·，·是公差小于零的等差數(shù)列等價(jià)于 即 ∴點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓(不含端點(diǎn)．) 18．已知點(diǎn)H(－3,0)，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足HP⊥PM， ＝－.當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程． [解析]　設(shè)M(x，y)，P(0，b)，Q(a,0)，其中a>0，則＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)． ∵＝－，即(x，y－b)＝－(a－x，－y)． ∴y－b＝－(－y)，b＝－. ∴＝(－3，)，＝(x，y)． ∵PH⊥PM. ∴·＝0，即－3x＋·＝0，y2＝4x. ∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y2＝4x(x>0)．