高中數(shù)學(xué) 階段性測試題5 新人教B版選修1-1

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1、階段性測試題五(選修1－1綜合能力檢測) 時間120分鐘，滿分150分。 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列命題錯誤的是(　　) A．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2－3x＋2≠0” B．若命題p：?x∈R，x2＋x＋1＝0，則?p為：?x∈R，x2＋x＋1≠0 C．若p∧q為假命題，則p，q均為假命題 D．“x>2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要條件 [答案]　C [解析]　p∧q為假命題，則p，q中至少有一個是假命題即可，不一定p，q都是假命題．

2、 2．設(shè)p：大于90°的角叫鈍角，q：三角形三邊的垂直平分線交于一點，則p與q的復(fù)合命題的真假是(　　) A．“p∨q”假　　　　　　 B．“p∧q”真 C．“?q”真 D．“p∨q”真 [答案]　D [解析]　p假，q真，故“p∨q”真． 3．已知a，b，c，d成等比數(shù)列，且拋物線y＝x2＋x－1的頂點坐標(biāo)為(b，c)，則ad等于(　　) A. B．－ C. D．－ [答案]　A [解析]　拋物線y＝x2＋x－1的頂點坐標(biāo)為＝(b，c)，∴ ∵a，b，c，d成等比數(shù)列，則有ad＝bc＝，故選A. 4．平面內(nèi)有一長度為2的線段AB和

3、一動點P，若滿足|PA|＋|PB|＝6，則|PA|的取值范圍是(　　) A．[1,4] B．[1,6] C．[2,6] D．[2,4] [答案]　D [解析]　因為|PA|＋|PB|＝6>2，所以P點的軌跡為橢圓，所以3－1≤PA≤3＋1，即|PA|∈[2,4]． 5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f(－1)與f(1)的大小關(guān)系是(　　) A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)f(1) D．無法確定 [答案]　C [解析]　f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，所

4、以f′(1)＝－2，因此f(x)＝x2－4x，f(－1)＝5，f(1)＝－3，即f(－1)>f(1)． 6．若曲線Cy＝x3－2ax2＋2ax上任意點處的切線的傾斜角都是銳角，那么整數(shù)a的值等于(　　) A．－2 B．0 C．－1 D．1 [答案]　D [解析]　曲線C上任意點處切線的傾斜角都是銳角，所以y′>0恒成立，即3x2－4ax＋2a>0恒成立，Δ＝16a2－24a<0，解得0

5、[答案]　C [解析]　x2－λy2＝1的漸近線方程為y＝±x，所以＝2，所以λ＝，所以e＝＝＝. 8．命題“?x0∈R，>1”的否定是(　　) A．?x0∈R，≤1 B．?x0∈R，>1 C．?x0∈R，≤1 D．?x0∈R，<1 [答案]　C [解析]　特稱命題的否定為全稱命題，故選C. 9．由線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為(　　) A.e2 B．2e2 C．e2 D. [答案]　D [解析]　因為y′＝ex，所以k＝e2，故切線方程為y－e2＝e2(x－2)，因此，切線與兩標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝×e2

6、×1＝，故選D. 10．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3時取得極值，則a等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案]　D [解析]　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3時取得極值， ∴f′(－3)＝30－6a＝0，則a＝5. 11．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為(　　) A. B. C．2 D. [答案]　A [解析]　e＝＝≤＝＝. 12．下列四圖都是同

7、一坐標(biāo)中某三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，其中一定不正確的序號是(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．①④ [答案]　B [解析]　二次函數(shù)為導(dǎo)函數(shù)，③中x<0時，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)內(nèi)應(yīng)遞增，故③為假，同理，知④也為假． 二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上) 13．實數(shù)系方程x2＋ax＋b＝0的兩個實根一個比1大，一個比1小的充要條件是________． [答案]　a＋b＋1<0 [解析]　實數(shù)系方程x2＋ax＋b＝0的兩個實根一個比1大，一個比1小的充要條件是f(1)＝a＋b＋1<0. 1

8、4．△ABC的三邊，a，b，c，已知a>c>b，且成等差數(shù)列，若A(－1,0)，B(1,0)，則動點C的軌跡方程為________． [答案]?。?(y≠0，且x<0) [解析]　由題意得a＋b＝2c＝4，根據(jù)橢圓的定義可知，其軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4，焦距為2的橢圓，因為a>c>b，所以是橢圓的一部分． 15．已知函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1處有極大值，在x＝3處有極小值，則a＝________，b＝________. [答案]　－3?。? [解析]　y′＝3x2＋2ax＋b，則－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的兩根，∴a＝－3，b＝－9. 16．以下

9、四個關(guān)于圓錐曲線的命題： ①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，若||－||＝k，則動點P的軌跡為雙曲線； ②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標(biāo)原點，若＝(＋)，則動點P的軌跡為橢圓； ③方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率； ④雙曲線－＝1與橢圓＋y2＝1有相同的焦點． 其中真命題的序號為______________(寫出所有真命題的序號)． [答案]?、邰? [解析]　①中當(dāng)k＝|AB|時，點P的軌跡是一條射線．②中點P的軌跡是以AC中點為圓心，以定圓半徑的一半長為半徑的圓． 三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

10、演算步驟) 17．(本題滿分12分)已知p5x2－4x－1>0，q>0，試判斷?p是?q的什么條件？ [解析]　由5x2－4x－1>0，得x<－或x>1， 即px<－或x>1； 由>0，得x<－5或x>1，即qx<－5或x>1，容易判斷p是q的必要不充分條件，從而?p是?q的充分不必要條件． 18．(本題滿分12分)已知x∈R，求證：cosx≥1－x2. [解析]　令F(x)＝cosx－1＋x2， 則F′(x)＝－sinx＋x， 當(dāng)x≥0時F′(x)≥0， ∴F(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)， 又F(0)＝0， 即x∈[0，＋∞)時，恒有F(x)≥0， 即cos

11、x≥1－. 又F(－x)＝cos(－x)－1＋ ＝cosx－1＋ ＝F(x)， ∴F(x)是R上的偶函數(shù)， ∴當(dāng)x<0時，恒有F(x)≥0， 即cosx≥1－， 綜上所述，對一切x∈R，都有cosx≥1－. 19．(本題滿分12分)設(shè)f(x)＝ex(ax2＋x＋1)，且曲線y＝f(x)在x＝1處的切線與x軸平行． 求a的值，并討論f(x)的單調(diào)性． [解析]　f′(x)＝ex(ax2＋x＋1＋2ax＋1)， 由條件知， f′(1)＝0，故a＋3＋2a＝0?a＝－1. 于是f′(x)＝ex(－x2－x＋2) ＝－ex(x＋2)(x－1)， 故當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(

12、1，＋∞)時，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(－2,1)時，f′(x)>0， 從而f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上單調(diào)遞減， 在(－2,1)上單調(diào)遞增． 20．(本題滿分12分)(2020·全國Ⅱ文，21)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常數(shù)a>1. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若當(dāng)x≥0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍． [解析]　本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值． 解：(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)． 由a>1知，當(dāng)x<2時，f′(x)>0， 故f(x)在區(qū)間(

13、－∞，2)上是增函數(shù)； 當(dāng)22a時，f′(x)>0，故f(x)在區(qū)間(2a，＋∞)上是增函數(shù)． 綜上，當(dāng)a>1時，f(x)在區(qū)間(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù)． (2)由(1)知，當(dāng)x≥0時，f(x)在x＝2a或x＝0處取得最小值． f(2a)＝(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a ＝－a3＋4a2＋24a， f(0)＝24a. 由假設(shè)知 即解得1

14、的雙曲線＝＝1(a>0，b>0)交于P，Q兩點，直線l與y軸交于R點，且·＝－3，＝4，求直線與雙曲線的方程． [解析]　由e＝，所以c2＝3a2，所以b2＝2a2，所以雙曲線方程為2x2－y2＝2a2，設(shè)直線ly＝x＋m，R(0，m)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則?x2－2mx－m2－2a2＝0，所以① 又因為·＝－3，＝4，則有x1x2＋y1y2＝－3，所以2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＋3＝0，② ?③ 由①，③得x2＝－m，x1＝3m，m2＝a2，代入②得m2＝1，a2＝1，所以m＝±1，a2＝1，b2＝2，所以所求的直線與雙曲線方程分別是y＝x±1，x2－＝1

15、. 22．(本題滿分14分)已知f(x)＝x3－x2＋bx＋c. (1)若f(x)的圖象有與x軸平行的切線，求b的取值范圍． (2)若f(x)在x＝1時取得極值，且x∈(－1,2)，f(x)0；當(dāng)x∈時，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(1,2)時，f′(x)>0， ∴當(dāng)x＝－時，f(x)有極大值＋c. 又f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c， 即當(dāng)x∈[－1,2]時，f(x)的最大值為f(2)＝2＋c. ∵對x∈[－1,2]時，f(x)2＋c，c<－1或c>2. 故c的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．