（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分的概念 1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 汽車(chē)行駛的路程學(xué)案 新人教A版選修2-2

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1、 1．5.1　曲邊梯形的面積 1．5.2　汽車(chē)行駛的路程 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法.2.會(huì)求曲邊梯形的面積和汽車(chē)行駛的路程． 知識(shí)點(diǎn)一　曲邊梯形的面積 思考1　如何計(jì)算下列兩圖形的面積？ 答案　①直接利用梯形面積公式求解．②轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解． 思考2　如圖所示的圖形與我們熟悉的“直邊圖形”有什么區(qū)別？ 答案　已知圖形是由直線x＝1，y＝0和曲線y＝x2所圍成的，可稱(chēng)為曲邊梯形，曲邊梯形的一條邊為曲線段，而“直邊圖形”的所有邊都是直線段． 梳理　曲邊梯形的概念及面積求法 (1)曲邊梯形：由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0

2、和曲線y＝f(x)所圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形(如圖①所示)． (2)求曲邊梯形面積的方法 把區(qū)間[a，b]分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形．對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值，對(duì)這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值(如圖②所示)． (3)求曲邊梯形面積的步驟：①分割；②近似代替；③求和；④取極限． 知識(shí)點(diǎn)二　求變速直線運(yùn)動(dòng)的(位移)路程 一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移s. 1．求

3、汽車(chē)行駛的路程時(shí)，分割的區(qū)間表示汽車(chē)行駛的路程．(　×　) 2．當(dāng)n很大時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間上的值，只能用2近似代替．(　×　) 3．利用求和符號(hào)計(jì)算(i＋1)＝40.(　√　) 類(lèi)型一　求曲邊梯形的面積 例1　求由直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2＋1所圍成的曲邊梯形的面積． 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲線梯形的面積問(wèn)題 解　令f(x)＝x2＋1. (1)分割 將區(qū)間[0,2]n等分，分點(diǎn)依次為 x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2. 第i個(gè)區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為Δx＝－＝. (2)近似代替、求和

4、取ξi＝(i＝1,2，…，n)， Sn＝?·Δx ＝·＝2＋2 ＝(12＋22＋…＋n2)＋2 ＝·＋2 ＝＋2. (3)取極限 S＝Sn＝ ＝， 即所求曲邊梯形的面積為. 反思與感悟　求曲邊梯形的面積 (1)思想：以直代曲． (2)步驟：分割→近似代替→求和→取極限． (3)關(guān)鍵：近似代替． (4)結(jié)果：分割越細(xì)，面積越精確． (5)求和時(shí)可用一些常見(jiàn)的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n＝， 12＋22＋32＋…＋n2＝， 13＋23＋33＋…＋n3＝2. 跟蹤訓(xùn)練1　求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x2所圍成的圖形的面積． 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積

5、問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 解　(1)分割 將區(qū)間[0,1]等分為n個(gè)小區(qū)間： ，，，…，，…，，其中i＝1,2，…，n，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 Δx＝－＝. 過(guò)各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn. (2)近似代替 在區(qū)間(i＝1,2，…，n)上，以處的函數(shù)值2為高，小區(qū)間的長(zhǎng)度Δx＝為底邊的小矩形的面積作為第i個(gè)小曲邊梯形的面積，即 ΔSi≈2·. (3)求和 Si≈2·＝0·＋2·＋2·＋…＋2·＝[12＋22＋…＋(n－1)2]＝－＋. (4)取極限 曲邊梯形的面積S＝ ＝. 類(lèi)型二　求變速運(yùn)動(dòng)的路

6、程 例2　當(dāng)汽車(chē)以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t所行駛的路程s＝vt.如果汽車(chē)做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度為v(t)＝t2＋2(單位：km/h)，那么它在1≤t≤2(單位：h)這段時(shí)間行駛的路程是多少？ 考點(diǎn)　變速運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題 題點(diǎn)　變速運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題 解　將區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間， 第i個(gè)小區(qū)間為. 所以Δsi＝v·. sn＝v＝ ＝ ＝ ＝3＋＋. s＝ sn＝ ＝. 所以這段時(shí)間行駛的路程為 km. 引申探究　 本例中求小曲邊梯形面積時(shí)若用另一端點(diǎn)值作為高，試求出行駛路程，比較兩次求出的結(jié)果是否一樣？ 解　將區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間

7、，第i個(gè)小區(qū)間為. 所以Δsi＝v·. sn＝v ＝3＋[12＋22＋…＋(n－1)2＋n2]＋[2＋4＋6＋…＋2(n－1)＋2n] ＝3＋＋. s＝ sn＝ ＝. 所以這段時(shí)間行駛的路程為 km. 所以分別用小區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)求出的行駛路程是相同的． 反思與感悟　求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的問(wèn)題，方法和步驟類(lèi)似于求曲邊梯形的面積，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解過(guò)程為：分割、近似代替、求和、取極限．應(yīng)特別注意變速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間區(qū)間． 跟蹤訓(xùn)練2　一輛汽車(chē)在直線形公路上做變速行駛，汽車(chē)在時(shí)刻t的速度為v(t)＝－t2＋5(單位：km/h)，試計(jì)算這輛汽車(chē)在0≤t≤2(單位：h)

8、這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)． 考點(diǎn)　變速運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題 題點(diǎn)　變速運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題 解　(1)分割：在區(qū)間[0,2]上等間隔插入n－1個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，記第i個(gè)小區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，Δt＝.則汽車(chē)在時(shí)間段，，上行駛的路程分別記為：Δs1，Δs2，…，Δsi，…，Δsn，有sn＝si. (2)近似代替：取ξi＝(i＝1,2，…，n)， Δsi≈v·Δt＝· ＝－·＋(i＝1,2，…，n)． (3)求和：sn＝si＝ ＝－8·＋10. (4)取極限：s＝sn ＝ ＝. 1．把區(qū)間[1,3] n等分，所得n個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為(　　) A. B

9、. C. D. 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 答案　B 解析　區(qū)間[1,3]的長(zhǎng)度為2，故n等分后，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為. 2．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值等于(　　) A．只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi) B．只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi＋1) C．可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1]) D．以上答案均正確 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 答案　C 3．一物體沿直線運(yùn)動(dòng)，其速度v(t)＝t，這個(gè)物體在t＝0到t＝1這段時(shí)間內(nèi)所走的路程為(　　) A.

10、 B. C．1 D. 考點(diǎn)　變速運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題 題點(diǎn)　變速運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題 答案　B 4.＝________. 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求和符號(hào)的表示 答案　 解析?。?1＋2＋…＋n) ＝·＝. 5．求由曲線y＝x2與直線x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形面積時(shí)，把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn))是________． 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 答案　1.02 解析　將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為，，，，， 于是所求平面圖形的面積近似等于＝×＝1.02. 求曲邊梯形面積和汽車(chē)行駛的路程的步驟 (

11、1)分割：n等分區(qū)間[a，b]； (2)近似代替：取點(diǎn)ξi∈[xi－1，xi]； (3)求和：(ξi)·； (4)取極限：s＝ (ξi)·. “近似代替”也可以用較大的矩形來(lái)代替曲邊梯形，為了計(jì)算方便，可以取區(qū)間上的一些特殊點(diǎn)，如區(qū)間的端點(diǎn)(或中點(diǎn))． 一、選擇題 1．和式(xi＋1)可表示為(　　) A．(x1＋1)＋(x5＋1) B．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋1 C．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5 D．(x1＋1)(x2＋1)…(x5＋1) 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求和符號(hào)的表示 答案　C 解析　(xi＋1)＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x

12、3＋1)＋(x4＋1)＋(x5＋1) ＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5. 2．在求由x＝a，x＝b(a

13、解析　n個(gè)小曲邊梯形是所給曲邊梯形等距離分割得到的，因此其面積和為S. ∴①正確，②③④錯(cuò)誤． 3．在求由直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2所圍成的曲邊三角形的面積時(shí)，把區(qū)間[0,2]等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 答案　C 解析　將區(qū)間[0,2]等分為n個(gè)小區(qū)間后，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，第i個(gè)小區(qū)間為. 4．在求由曲線y＝與直線x＝1，x＝3，y＝0所圍成圖形的面積時(shí)，若將區(qū)間n等分，并用每個(gè)區(qū)間的右端點(diǎn)的函數(shù)值近似代替每個(gè)小曲邊梯形的高，則第i個(gè)小曲邊梯形的面積ΔSi約

14、等于(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 答案　A 解析　每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為， 第i個(gè)小曲邊梯形的高為， ∴第i個(gè)小曲邊梯形的面積為×＝. 5．在等分區(qū)間的情況下f(x)＝(x∈[0,2])及x軸所圍成的曲邊梯形面積和式的極限形式正確的是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 答案　B 解析　∵Δx＝＝，∴和式為 . 故選B. 6．對(duì)于由直線x＝1，y＝0和曲線y＝x3所圍成的曲邊三角形，把區(qū)間3等分，則曲邊三角形面積的近似值(取每

15、個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn))是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 答案　D 解析　將區(qū)間[0,1]三等分為，，，各小矩形的面積和為S＝03×＋3×＋3×＝. 7．設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0

16、的分點(diǎn)的個(gè)數(shù)n有關(guān)，與ξi的取法無(wú)關(guān) C．與f(x)和區(qū)間[a，b]的分點(diǎn)的個(gè)數(shù)n，ξi的取法都有關(guān) D．與f(x)和區(qū)間[a，b]的ξi的取法有關(guān)，與分點(diǎn)的個(gè)數(shù)n無(wú)關(guān) 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 答案　C 解析　用分點(diǎn)a＝x0

17、8. 的含義可以是(　　) A．求由直線x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x圍成的圖形的面積 B．求由直線x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x圍成的圖形的面積 C．求由直線x＝0，x＝5，y＝0，y＝3x圍成的圖形的面積 D．求由直線x＝0，x＝5，y＝0及曲線y＝圍成的圖形的面積 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 答案　C 解析　將區(qū)間[0,5]n等分，則每一區(qū)間的長(zhǎng)度為，各區(qū)間右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值為y＝， 因此可以表示由直線x＝0，x＝5，y＝0和y＝3x圍成的圖形的面積的近似值． 9．若直線y＝2x＋1與直線x＝0，x＝m，y＝0圍成圖形的面積為6，則正數(shù)

18、m等于(　　) A．1 B．3 C．2 D．4 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　由曲邊梯形的面積求參數(shù) 答案　C 解析　將區(qū)間[0，m]n等分，每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為，區(qū)間左端點(diǎn)函數(shù)值y＝2·＋1＝， 作和Sn＝· ＝m＋·(1＋2＋3＋…＋n) ＝m＋· ＝m＋， ∵S＝ ＝6， ∴m＝2.故選C. 二、填空題 10．在區(qū)間[0,8]上插入9個(gè)等分點(diǎn)后，則所分的小區(qū)間長(zhǎng)度為_(kāi)_______，第5個(gè)小區(qū)間是________． 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 答案　　 解析　在區(qū)間[0,8]上插入9個(gè)等分點(diǎn)后，把區(qū)間[0,8]10等分，

19、每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為＝，第5個(gè)小區(qū)間為. 11．已知某物體運(yùn)動(dòng)的速度v＝t，t∈[0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　變速運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題 題點(diǎn)　變速運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題 答案　55 解析　∵把區(qū)間[0,10]10等分后，每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為n(n＝1,2，…，10)，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為1. ∴物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55. 12．當(dāng)n很大時(shí)，下列可以代替函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間上的值有________個(gè)． ①f?；②f?；③f?；④f?. 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積

20、問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 答案　3 解析　因?yàn)楫?dāng)n很大時(shí)，區(qū)間上的任意的取值都可以代替，又因?yàn)?，∈，∈，－∈，故能代替的有②③④. 三、解答題 13．求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x2＋2x圍成的圖形的面積． 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 解　將區(qū)間[0,1]n等分，每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為，區(qū)間右端點(diǎn)函數(shù)值y＝2＋2·＝＋. 作和Sn＝＝ ＝2＋＝·n(n＋1)(2n＋1)＋·＝＋＝， ∴所求面積S＝ ＝ ＝. 四、探究與拓展 14．設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與直線x＝a，x＝b及x軸所圍成圖形的面積稱(chēng)為函數(shù)f(x)在[a，b]上的

21、面積．已知函數(shù)y＝sin nx在(n∈N*)上的面積為，則y＝sin 3x在上的面積為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 題點(diǎn)　求曲邊梯形的面積問(wèn)題 答案　 解析　由于y＝sin nx在(n∈N*)上的面積為， 則y＝sin 3x在上的面積為. 而y＝sin 3x的周期為， 所以y＝sin 3x在上的面積為×2＝. 15．有一輛汽車(chē)在筆直的公路上變速行駛，在時(shí)刻t的速度為v(t)＝3t2＋2(單位：km/h)，那么該汽車(chē)在0≤t≤2(單位：h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？ 考點(diǎn)　變速運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題 題點(diǎn)　變速運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題 解　(1)分割 在時(shí)間區(qū)間[0,2]上等間隔地插入n－1個(gè)分點(diǎn)，將它分成n個(gè)小區(qū)間，記第i個(gè)小區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，其長(zhǎng)度為Δt＝－＝.每個(gè)時(shí)間段上行駛的路程記為Δsi(i＝1,2，…，n)， 則顯然有s＝si. (2)近似代替 取ξi＝(i＝1,2，…，n)，用小矩形的面積Δs′i近似地代替Δsi，于是 Δsi≈Δs′i＝v·Δt＝· ＝＋(i＝1,2，…，n)． (3)求和 sn＝s′i＝＝(12＋22＋…＋n2)＋4 ＝·＋4＝8＋4. (4)取極限 s＝ sn＝ ＝8＋4＝12. 所以這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程為12 km. 14