(通用版)2020版高考數(shù)學大一輪復習 第11講 函數(shù)與方程學案 理 新人教A版
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1、第11講 函數(shù)與方程 1.函數(shù)的零點 (1)函數(shù)零點的定義 對于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使 的實數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點.? (2)等價關(guān)系 方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與 有交點?函數(shù)y=f(x)有 .? (3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理) 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有 ,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 內(nèi)有零點,即存在c∈(a,b),使得 ,這個 也就是方程f(x)=0的根.? 2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點的關(guān)系
2、 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函數(shù)y= ax2+bx+ c(a>0) 的圖像 與x軸的交點 ? ? 無交點 零點個數(shù) ? ? ? 常用結(jié)論 1.在區(qū)間D上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多有一個零點. 2.周期函數(shù)如果存在零點,則必有無窮個零點. 題組一 常識題 1.[教材改編] 函數(shù)f(x)=ln x+2x-6的零點的個數(shù)是 .? 2.[教材改編] 如果函數(shù)f(x)=ex-1+4x-4的零點在區(qū)間(n,n+1)(n為整數(shù))內(nèi),則n= .? 3.[教材改編] 函數(shù)f(x)=x3-2x2+x
3、的零點是 .? 4.[教材改編] 若函數(shù)f(x)=x2-4x+a存在兩個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍是 .? 題組二 常錯題 ◆索引:錯用零點存在性定理;誤解函數(shù)零點的定義;忽略限制條件;二次函數(shù)在R上無零點的充要條件(判別式小于零). 5.函數(shù)f(x)=x+1x的零點個數(shù)是 .? 6.函數(shù)f(x)=x2-3x的零點是 .? 7.若二次函數(shù)f(x)=x2-2x+m在區(qū)間(0,4)上存在零點,則實數(shù)m的取值范圍是 .? 8.若二次函數(shù)f(x)=x2+kx+k在R上無零點,則實數(shù)k的取值范圍是 .? 探究點一 函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷 例1
4、 (1)函數(shù)f(x)=ex-x-2在下列哪個區(qū)間上必有零點 ( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) (2)已知函數(shù)f(x)=lg x+54x-5在區(qū)間(n,n+1)(n∈Z)上存在零點,則n= .? ? ? ? [總結(jié)反思] 判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法:(1)解方程法,當對應(yīng)方程易解時,可直接解方程;(2)零點存在性定理;(3)數(shù)形結(jié)合法,畫出相應(yīng)函數(shù)圖像,觀察與x軸交點來判斷,或轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像在所給區(qū)間上是否有交點來判斷. 變式題 [2018·南昌模擬] 函數(shù)f(x)=ln(x+1)-2
5、x2的零點所在的區(qū)間為( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 探究點二 函數(shù)零點個數(shù)的討論 例2 (1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f-32+x=f32+x,當x∈0,32時,f(x)=ln(x2-x+1),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點個數(shù)是 ( ) A.3 B.5 C.7 D.9 (2)[2018·河南中原名校模擬] 函數(shù)f(x)=sin2x+π2-log3πx的零點個數(shù)為 .? ? ? [總結(jié)反思] 函數(shù)零點個數(shù)的討論,基本解法有:(1)直接法,令f(x)=0,有多少個解則有多少個零點;(2)定理法,利用定理時
6、往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等;(3)圖像法,一般是把函數(shù)分拆為兩個簡單函數(shù),依據(jù)兩函數(shù)圖像的交點個數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù).
變式題 (1)[2018·重慶巴蜀中學月考] 函數(shù)f(x)=3x-2e-x的零點個數(shù)為 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知函數(shù)f(x)=lnx,x>0,ex,x≤0,則函數(shù)g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零點個數(shù)為 .?
探究點三 函數(shù)零點的應(yīng)用
例3 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若實數(shù)a,b滿足f(a)=g(b)=0,則 ( )
A.f(b)<0 7、(b)
C.0 8、題一般是通過數(shù)形結(jié)合或分離參數(shù)求解.
變式題 (1)[2018·山東、湖北部分重點中學二模] 若函數(shù)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]恰有兩個零點,則m的取值范圍為 ( )
A.(0,1] B.{1}
C.{0}∪(1,3] D.[0,3]
(2)若x1,x2分別是函數(shù)f(x)=x-2-x,g(x)=xlog2x-1的零點,則下列結(jié)論成立的是 ( )
A.x1=x2 B.x1>x2
C.x1+x2=1 D.x1x2=1
第11講 函數(shù)與方程
考試說明 結(jié)合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系,判斷一元 9、二次方程根的存在性及根的個數(shù).
【課前雙基鞏固】
知識聚焦
1.(1)f(x)=0 (2)x軸 零點 (3)f(a)·f(b)<0 (a,b) f(c)=0 c
2.(x1,0),(x2,0) (x1,0) 2 1 0
對點演練
1.1 [解析] 函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且f(2)<0,f(3)>0,故存在唯一零點.
2.0 [解析] 函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且f(0)<0,f(1)>0,故其零點在區(qū)間(0,1)內(nèi),則n=0.
3.0,1 [解析] 由f(x)=x3-2x2+x=0,解得x1=0,x2=1,所以函數(shù)的零點是0,1.
4.(-∞,4) [解析] Δ=16-4a> 10、0,解得a<4.
5.0 [解析] 函數(shù)的定義域為{x|x≠0},當x>0時,f(x)>0,當x<0時,f(x)<0,所以函數(shù)沒有零點.
6.0,3 [解析] 由f(x)=x2-3x=0,得x=0或x=3.
7.(-8,1] [解析] 二次函數(shù)f(x)圖像的對稱軸方程為x=1.若在區(qū)間(0,4)上存在零點,只需f(1)≤0且f(4)>0即可,即-1+m≤0且8+m>0,解得-8 11、C (2)3 [解析] (1)f(-1)=1e-1<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,故選C.
(2)f(x)=lg x+54x-5是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),
根據(jù)零點存在性定理,
可得f(n)<0,f(n+1)>0.因為f(1)=54-5<0,f(2)=lg 2+52-5<0,f(3)=lg 3+154-5<0,f(4)=lg 4+5-5=lg 4>0,
所以函數(shù)f(x)在(3,4)上存在零點,故n=3.
變式題 B [解析] f(x)=ln(x+1)-2x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-12> 12、0,則f(1)·f(2)<0,所以函數(shù)f(x)=ln(x+1)-2x2的零點所在的區(qū)間為(1,2).
例2 [思路點撥] (1)由已知可得函數(shù)是奇函數(shù),周期為3,且f-32=f(-1)=f(0)=f(1)=f32=0,即可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點個數(shù);(2)函數(shù)f(x)=sin2x+π2-log3πx的零點個數(shù)即為y=log3πx與y=cos 2x(x>0)圖像的交點個數(shù),利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.
(1)D (2)6 [解析] (1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f-32+x=f32+x,∴f-32+x+32=f32+x+32,可得f(x+3)=f(x),
則函數(shù)f 13、(x)的周期為3.
當x∈0,32時,f(x)=ln(x2-x+1),
令f(x)=0,則x2-x+1=1,解得x=0(舍去)或1,
又∵函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),
∴在區(qū)間-32,32上,有f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0.
由f-32+x=f32+x,取x=0,得f-32=f32,又f32=-f-32,∴f32=f-32=0,
∴f-32=f(-1)=f(0)=f(1)=f32=0.
又∵函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù),
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點有0,1,32,2,3,4,92,5,6,共9個.
(2)函數(shù)f(x)=sin2x+π2-log 14、3πx=cos 2x-log3πx的零點個數(shù)就是y=log3πx與y=cos 2x(x>0)圖像的交點個數(shù).
在同一坐標系內(nèi)作出y=log3πx與y=cos 2x(x>0)的圖像,如圖,
由圖可知,y=log3πx與y=cos 2x(x>0)的圖像有6個交點,
所以函數(shù)f(x)=sin2x+π2-log3πx的零點個數(shù)為6.
變式題 (1)B (2)3 [解析] (1)∵y=3x單調(diào)遞增,y=-2e-x單調(diào)遞增,
∴f(x)=3x-2e-x單調(diào)遞增.
∵f(0)=-2<0,f(8)=2-2e8>0,
∴由零點存在性定理可得,f(x)=3x-2e-x的零點個數(shù)為1,故選B.
15、(2)函數(shù)g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零點個數(shù)即為方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解的個數(shù),解方程得f(x)=1或f(x)=2.由f(x)=1得ln x=1(x>0)或ex=1(x≤0),解得x=e或x=0;同理,由f(x)=2得ln x=2(x>0)或ex=2(x≤0),解得x=e2.所以函數(shù)g(x)共有3個零點.
例3 [思路點撥] (1)首先確定函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性,然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)計算即可;(2)先轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)的圖像與y=m(x-1)的圖像有且僅有兩個交點,數(shù)形結(jié)合即可得答案.
(1)B (2)D [解析] (1)易知f(x)是增函數(shù),g
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