高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第3節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）

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1、§3 函數(shù)的單調(diào)性 1．理解函數(shù)單調(diào)性的定義． 2．會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性． 3．能從給定的函數(shù)圖像上直觀得出函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間． 1．增函數(shù) (1)定義：在函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上，如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2∈A，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有________，那么，就稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是增加的，有時(shí)也稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是遞增的． 設(shè)x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是增加的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0＞0. (2)幾何意義：函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間A上是__________

2、__的． (3)圖示：如圖所示． 【做一做1】 下列命題正確的是( )． A．定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，如果存在x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2時(shí)，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上為增函數(shù) B．定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，如果有無(wú)窮多對(duì)x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2時(shí)，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上為增函數(shù) C．如果f(x)在區(qū)間I1上為增函數(shù)，在區(qū)間I2上也為增函數(shù)，那么f(x)在I1∪I2上也一定為增函數(shù) D．如果f(x)在區(qū)間I上為增函數(shù)且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1＜x2

3、 2．減函數(shù) (1)定義：在函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上，如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2∈A，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有________，那么，就稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是減少的，有時(shí)也稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是遞減的． 設(shè)x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是減少的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0＜0. (2)幾何意義：函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間A上是__________的． (3)圖示：如圖所示． 【做一做2－1】 設(shè)函數(shù)f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的減函數(shù)，則有( )． A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)≤ C．a(chǎn)＞

4、－ D．a(chǎn)＜ 【做一做2－2】 函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，則有( )． A．f(3)＜f(5) B．f(3)≤f(5) C．f(3)＞f(5) D．f(3)≥f(5) 3．單調(diào)性 (1)定義：如果函數(shù)y＝f(x)在定義域的某個(gè)子集上是______或是______，那么就稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)子集上具有單調(diào)性．如果函數(shù)y＝f(x)在__________內(nèi)是增加的或是減少的，我們分別稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為增函數(shù)或減函數(shù)，統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù)．

5、 (2)幾何意義：函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間A上是____或____的． 一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“∪”而應(yīng)該用“和”來(lái)表示．如函數(shù)y＝，其定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，不能說(shuō)函數(shù)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上遞減，而只能說(shuō)函數(shù)在(－∞，0)和(0，＋∞)上遞減． 書(shū)寫(xiě)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間端點(diǎn)的開(kāi)或閉沒(méi)有嚴(yán)格規(guī)定，習(xí)慣上，若函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處有定義，則寫(xiě)成閉區(qū)間，當(dāng)然寫(xiě)成開(kāi)區(qū)間也可以；若函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處沒(méi)有定義，則必須寫(xiě)成開(kāi)區(qū)間． 【做一做3－1】 函數(shù)y＝－x2的單調(diào)增區(qū)間為( )． A．(－∞，0]

6、 B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 【做一做3－2】 已知函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則它的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_________． 4．最大值和最小值 (1)定義：一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，其定義域?yàn)镈，如果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得對(duì)于任意的x∈D，都有f(x)≤M[或f(x)≥M]，那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)y＝f(x)的最大(小)值，即當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x0)是函數(shù)y＝f(x)的最大(小)值，記作ymax＝f(x0)

7、[或ymin＝f(x0)]． (2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的最大(小)值是其圖像上最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)． 【做一做4】 函數(shù)f(x)＝x－1在區(qū)間[3,6]上的最大值和最小值分別是( )． A．6,3 B．5,2 C．9,3 D．7,4 答案：1．(1)f(x1)＜f(x2)　(2)上升 【做一做1】 D　A，B項(xiàng)中的x1，x2不具有任意性，C項(xiàng)中f(x)在I1和I2上均為增函數(shù)，但在I1∪I2上的單調(diào)性無(wú)法判定． 2．(1)f(x1)＞f(x2)　(2)下降 【做一做2－1】 D　∵f(x)

8、是R上的減函數(shù)， ∴2a－1＜0，即a＜. 【做一做2－2】 C　∵函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，3＜5， ∴f(3)＞f(5)． 3．(1)增加的　減少的　整個(gè)定義域　(2)上升　下降 【做一做3－1】 A 【做一做3－2】 和 【做一做4】 B　函數(shù)f(x)＝x－1在區(qū)間[3,6]上是增加的，則當(dāng)3≤x≤6時(shí)，f(3)≤f(x)≤f(6)，即2≤f(x)≤5，所以最大值和最小值分別是5,2. 理解函數(shù)的單調(diào)性 剖析：函數(shù)的單調(diào)性刻畫(huà)了函數(shù)的圖像特征，它反映了函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)(當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值是增大還是減小，圖像是上升還是下降)；函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)

9、(減函數(shù))，等價(jià)于對(duì)于D中任意的兩個(gè)自變量x1，x2且x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)〔f(x1)＞f(x2)〕，其中“任意”二字是關(guān)鍵，不能用具體的兩個(gè)自變量代替，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤．比如函數(shù)f(x)＝，取x1＝－1＜x2＝1，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，f(x1)＜f(x2)，如果由此推出f(x)＝是增函數(shù)就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性． 另一方面，從反面考慮，由于存在x1＝－1＜x2＝1，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，f(x1)＜f(x2)，我們可以下這樣的結(jié)論：f(x)＝在整個(gè)定義域上肯定不是減函數(shù)；由定義還可以看出，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)定義域內(nèi)某個(gè)

10、區(qū)間上的性質(zhì)，因此它是一個(gè)局部的性質(zhì)，并且在考察單調(diào)性時(shí)，必須先看函數(shù)的定義域，如果一個(gè)函數(shù)有多個(gè)單調(diào)增(減)區(qū)間，這些增(減)區(qū)間應(yīng)該用逗號(hào)隔開(kāi)(即“局部”)，而不能用并集的符號(hào)連接(并完之后就成了“整體”)．例如f(x)＝的單調(diào)減區(qū)間可以寫(xiě)成(0，＋∞)，(－∞，0)〔或者寫(xiě)成(0，＋∞)和(－∞，0)〕，但不能寫(xiě)成(0，＋∞)∪(－∞，0)；由于函數(shù)的單調(diào)性是反映函數(shù)圖像變化趨勢(shì)的，所以在一點(diǎn)處沒(méi)法討論函數(shù)的單調(diào)性，比如函數(shù)y＝x2的單調(diào)增區(qū)間可以寫(xiě)成(0，＋∞)，也可以寫(xiě)成[0，＋∞)，但是如果定義域中不包含這個(gè)點(diǎn)，則必須使用開(kāi)區(qū)間表示；如果要證明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，要嚴(yán)格按照定義進(jìn)行，

11、步驟如下： (1)取值：在指定區(qū)間上任意取兩個(gè)自變量x1，x2且x1＜x2； (2)變形：主要是配方或分解因式、通分等； (3)定號(hào)：判斷f(x1)－f(x2)的符號(hào)； (4)結(jié)論：由定義給出結(jié)論． 題型一 判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性 【例1】 證明函數(shù)f(x)＝x＋在(0,1)上是減少的． 分析：在(0,1)上任取x1，x2，且x1＜x2，只需證明f(x1)＞f(x2)即可． 反思：證明函數(shù)單調(diào)性，主要有2種方法． (1)定義法．其步驟是：①在所給的區(qū)間上任取兩個(gè)自變量x1和x2，通常令x1＜x2；②比較f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比較法比較大小，此時(shí)比較它們

12、大小的步驟是作差、變形、看符號(hào)；③再歸納結(jié)論． (2)圖像法．借助圖像，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的幾何意義來(lái)判斷．此法適合客觀題(選擇題和填空題)． 題型二 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【例2】 畫(huà)出函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 分析：只需畫(huà)出函數(shù)的圖像，看曲線在哪些區(qū)間是上升的，在哪些區(qū)間是下降的，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 反思：利用函數(shù)圖像確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，具體做法是：先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后再畫(huà)出它的草圖，最后根據(jù)函數(shù)定義域與草圖的位置、狀態(tài)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 題型三 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 【例3】 已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，試比較f(a2－

13、a＋1)與f的大小． 分析：要比較兩函數(shù)值的大小，需先比較自變量的大?。? 反思：利用函數(shù)單調(diào)性的定義比較大小，一方面是正向應(yīng)用，即若y＝f(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)x1＜x2時(shí)，f(x1)＜f(x2)，當(dāng)x1＞x2時(shí)，f(x1)＞f(x2)；另一方面是逆向應(yīng)用，即若y＝f(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)f(x1)＜f(x2)時(shí)，x1＜x2，當(dāng)f(x1)＞f(x2)時(shí)，x1＞x2. 當(dāng)y＝f(x)在給定區(qū)間上是減函數(shù)時(shí)，同理可得相應(yīng)的結(jié)論． 【例4】 已知f(x)是定義在[－1,1]上的增函數(shù)，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范圍． 分析：欲求x的取值范圍，需由f(x－2)＜

14、f(1－x)得出x－2與1－x的大小關(guān)系，同時(shí)要注意函數(shù)的定義域． 反思：解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的不等關(guān)系，即將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式求解． 題型四 單調(diào)性與最值的綜合運(yùn)用 【例5】 已知函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意x，y∈R均有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，f(1)＝－. (1)判斷并證明f(x)在R上的單調(diào)性； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大、最小值． 分析：抽象函數(shù)的性質(zhì)要緊扣定義，并同時(shí)注意特殊值的應(yīng)用． 反思：證明函數(shù)的單調(diào)性，必須用定義嚴(yán)格證明，不能用特殊值去檢驗(yàn)，判斷函數(shù)的最

15、值，往往從單調(diào)性入手． 題型五 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn) 對(duì)單調(diào)區(qū)間與在區(qū)間上單調(diào)兩個(gè)概念理解錯(cuò)誤 【例6】 若函數(shù)y＝|x－a|在區(qū)間(－∞，4]上是減少的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________． 錯(cuò)解：函數(shù)y＝|x－a|的圖像如圖所示，由于函數(shù)在區(qū)間(－∞，4]上是減少的，因此a＝4. 錯(cuò)因分析：錯(cuò)解中把函數(shù)在區(qū)間(－∞，4]上是減少的誤認(rèn)為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，4]．若把原題目改為：函數(shù)y＝|x－a|的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，4]，則a＝4符合題意． 答案：【例1】 證明：設(shè)0＜x1＜x2＜1，則 f(x1)－f(x2)＝－ ＝(x1－x2)＋＝(x1－x2) ＝.

16、 ∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2－1＜0，x1－x2＜0. 則f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)． ∴f(x)＝x＋在(0,1)上是減少的． 【例2】 解：y＝－x2＋2|x|＋3 ＝ 函數(shù)圖像如圖所示． 函數(shù)在(－∞，－1]和[0,1]上是增加的； 函數(shù)在[－1,0]和[1，＋∞)上是減少的． 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1]和[0,1]，單調(diào)減區(qū)間是[－1,0]和[1，＋∞)． 【例3】 解：∵a2－a＋1＝2＋≥， ∴與a2－a＋1都是區(qū)間(0，＋∞)上的值． 又∵f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴f≥f(a2－a＋1)．

17、【例4】 解：由題意可知解得1≤x≤2. ∵f(x)是定義在[－1,1]上的增函數(shù)，且f(x－2)＜f(1－x)， ∴x－2＜1－x.∴x＜. ∴1≤x＜為滿(mǎn)足題設(shè)條件的x的取值范圍． 【例5】 解：(1)令x＝y(tǒng)＝0，可得f(0)＝0， 令y＝－x可得f(－x)＝－f(x)． 在R上任取x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)． ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. 又∵x＞0時(shí)，f(x)＜0， ∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)． 由定義可知f(x) 在R上為單調(diào)遞減函數(shù)． (2)∵f(x)在R上是減函數(shù)， ∴f(x

18、)在[－3,3]上是減少的． ∴f(－3)最大，f(3)最?。? f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×＝－2. ∴f(－3)＝－f(3)＝2，即f(x)在[－3,3]上的最大值為2，最小值為－2. 【例6】 正解：函數(shù)y＝|x－a|的圖像如圖所示，所以只要a＝4或a在4的右側(cè)，都能保證函數(shù)y＝|x－a|在區(qū)間(－∞，4]上是減少的，因此a≥4. 1 函數(shù)y＝x2－6x＋10在區(qū)間(2,4)上是( )． A．遞減函數(shù) B．遞增函數(shù) C．先遞增再遞減

19、 D．先遞減再遞增 2 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )． A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 3 下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上增加的是( )． A．y＝3－x B．y＝x2＋1 C．y＝－x2 D．y＝x2－2x－3 4 函數(shù)f(x)＝x2－|x|的單調(diào)遞減

20、區(qū)間是__________． 5 求證：函數(shù)f(x)＝在(－1，＋∞)上是減少的． 答案：1．D　由函數(shù)圖像可知，函數(shù)y＝x2－6x＋10在區(qū)間(2,4)上先遞減再遞增，選D. 2．C　由y＝的圖像知，選C. 3．B　(排除法)選項(xiàng)A，y＝3－x在R上是減函數(shù)；選項(xiàng)C，y＝－x2在(0，＋∞)上是減少的；選項(xiàng)D，y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，當(dāng)x≤1時(shí)，y是x的減函數(shù)，當(dāng)x≥1時(shí)，y是x的增函數(shù)，而在(0,2)上并不嚴(yán)格單調(diào)，故選B. 4.和　當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－x，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是， 當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋x，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是. 5．證明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2， 則f(x1)－f(x2)＝. ∵x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2， ∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＞0. ∴f(x1)－f(x2)＝＞0. ∴f(x)＝在(－1，＋∞)上是減少的．