高中數學《空間中的垂直關系》學案7 新人教B版必修2

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1、空間中的垂直關系 新課標要求 通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理： ◆一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。 ◆ 一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面垂直。 通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質定理，并加以證明： ◆兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。 能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。 重點難點聚焦 直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質和判定不光是確立垂直關系的重要依據，也以后計算角和距離重要環(huán)節(jié)。因此，垂直關系及其相互轉化是整個立體幾何部分的重點和關鍵。 高考分析及預策 　 近

2、年來，立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定，題目難易適中，常常立足于棱柱、棱錐和正方體，復習是要以多面體為依托，始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質和判定作為考查重點。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點放在對圖形及幾何體的認識上，實現平面到空間的轉化，是知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重。 題組設計 再現型題組 ⒈（2020上海，13） 給定空間中的直線l及平面a，條件“直線l與平面a內無數條直線都垂直”是“直線l與平面a垂直”的（ ）條件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．

3、既非充分又非必要 ⒉已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線l是異面直線AB1 和A1D的公垂線，則直線l與直線BD1的關系為（ ） A．l⊥BD1 B．l∥BD1 C．l與BD1 相交 D．不確定 3．如圖，在四面體ABCD中，，，， （1）四面體ABCD的各面中有幾個直角三角形？為什么？ （2）四面體ABCD的各面中有幾組平面互相垂直？為什么？ （3）你能找出A在面BCD上的射影嗎？為什么？ 鞏固型題組 ⒋如圖１所示，為正方形，⊥平面，過且垂直于的平面分別交于．求證：，． 5．如圖２，

4、在三棱錐中，，，作，Ｅ為垂足，作于．求證：． 6．如圖３，是圓的直徑，是圓周上一點，平面．若 ，為垂足，是上任意一點，求證：平面⊥平面． 提高型題組 7.如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90，AA1 ＝，D 是A1B1 中點．（1）求證C1D ⊥平面A1B ；（2）當點F 在BB1 上什么位置時，會使得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結論。 反饋型題組 8．（2020江西理,7）如圖，正方體AC1的棱長為1，過點A

5、作平面A1BD的垂線，垂足為點H．則以下命題中，錯誤的命題是（ ） A．點H是△A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1 C．AH的延長線經過點C1 D．直線AH和BB1所成角為45°． 9.（1999全國，18）α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個論斷：①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題： 。 10. 如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是

6、EA 的中點，求證：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA。 11. 求證：如果兩個相交平面都與另一個平面垂直，則這兩個平面的交線l垂直于另一個平面 空間中的垂直關系（解答部分） 再現型題組 ⒈ 【提示或答案】C． 【基礎知識聚焦】線面垂直定義：如果一條直線l和一個平面α相交，并且和平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面α互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面α叫做直線l的垂面,直線與平面的交點叫做垂足。直線l與平面

7、α垂直記作：l⊥α。 ⒉【提示或答案】B． 【基礎知識聚焦】直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。 直線和平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行。 ⒊【提示或答案】 四個； 三組； （3）BD的中點E 【基礎知識聚焦】兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。 兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。 兩平面垂直的性質定理：（面面垂直線面垂直）若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們的交線的直

8、線垂直于另一個平面。 鞏固型題組 ⒋【證明】∵平面，　∴． 　　∵，∴平面．　又∵平面，∴． 　　∵平面，∴． 　　∴平面．∴．同理可證． 【點評】本題欲證線線垂直，可轉化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉化中，平面起到了關鍵作用，同學們應多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實現證明所需要的轉化． 判定空間兩直線垂直的方法有： ⑴由定義：若兩條直線所成的角是直角，則它們互相垂直． ⑵平面幾何中證明線線垂直的方法； ⑶三垂線定理及其逆定理． ⑷線面垂直的性質：如果一條直線和一個平面互相垂直，則這條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直． (5)向量方法。 5. 【

9、證明】取的中點Ｆ，連結，． ∵，∴． ∵，∴． 又，∴平面． ∵平面，∴． 又，，　 ∴平面，． ∵，，，∴ 平面． 【點評】本題在運用判定定理證明線面垂直時，將問題轉化為證明線線垂直；而證明線線垂直時，又轉化為證明線面垂直．如此反復，直到證得結論． 判定直線與平面垂直的方法有： ⑴由定義：如果一條直線和一個平面相交，且和這個平面內的任意一條直線都垂直，則這條直線和這個平面互相垂直． ⑵線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面． ⑶面面垂

10、直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面． ⑷向量方法． 6.【證明】∵是圓的直徑，∴． ∵平面，平面，∴．∴平面． ∵平面，　∴平面⊥平面． ∵，平面∩平面＝，∴⊥平面． ∵平面，∴平面⊥平面． 【點評】證明兩個平面垂直時，一般可先從現有的直線中尋找平面的垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關系． 判定平面與平面垂直的方法有： ⑴由定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面． ⑵面面垂直的判定定理：如果一個平面過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直． ⑶向量方法． 提高型題組

11、⒌【解法】（1）證明：如圖，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱， ∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。 又 D 是A1B1 的中點，∴ C1D ⊥A1B1 。 ∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， ∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。 （2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延長DE 交BB1 于F ，連結C1F ，則AB1 ⊥平面C1DF ，點F 即為所求。 事實上，∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， ∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D

12、＝D ， ∴ AB1 ⊥平面C1DF 。 【點評】本題（1）的證明中，證得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分析問題。 課堂小結 1．證明空間線面垂直需注意以下幾點： ①由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證題思路。 ②立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質適當添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。 ③明確何時應用判定定理，何時應用性質定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結論。 2. 要有升降維”思想，熟

13、練掌握各類垂直的相互轉化： 線線垂直 線面垂直 面面垂直 每一垂直的判定就是從某一垂直開始轉向另一垂直最終達到目的。 例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直。 運用降維的方法把立體空間問題轉化為平面或直線問題進行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決。運用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學會學習”的重要方法。平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維

14、與降維思想方法的不斷轉化運用的過程。 反饋型題組 8.D 9.m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β． 【點評】本題主要考查線線、線面、面面之間關系的判定與性質.但題型較新穎，主要表現在：題目中以立體幾何知識為背景，給出了若干材料，要求學生能將其組裝成具有一定邏輯關系的整體?？疾橹R立足課本，對空間想象能力、分析問題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現了加強能力考查的方向． 10. （1）如圖，取EC 中點F ，連結DF。 ∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。 ∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。 ∵ BD ∥

15、CE ，BD ＝CE ＝FC ，則四邊形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。 又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。 （2）取AC 中點N ，連結MN 、NB ， ∵ M 是EA 的中點，∴ MN EC。 由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。 ∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中點，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ， ∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA ⊥平面BDM。 （3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，∴ 平面DEA ⊥平面ECA。 11. 已知：平面、、，，且.求證：. 【方法一】設，,在內作，. 由平面與平面垂直的性質可得：,因為 ,所以 . 同理 ,故 . 【方法二】設，,在內作直線，在內作直線 由平面與平面垂直的性質得：，,故 . 又因為 ,,得，因為 ，,故 ,所以 .