湖北省光谷第二高級(jí)中學(xué)高三物理 難點(diǎn)5 透視滑塊與滑板等疊加體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)（通用）

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1、難點(diǎn)5 透視滑塊與滑板等疊加體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)（涉及到少數(shù)動(dòng)量知識(shí)） 高中物理力學(xué)綜合中的模型非常多，例如子彈打木塊、碰撞（快速變力接觸作用型，一個(gè)物體在另一個(gè)物體內(nèi)部作用）、彈簧的連接體模型（中速變力、相對(duì)運(yùn)動(dòng)型，一個(gè)物體通過彈簧與另一個(gè)物體接觸作用）、傳送帶滑塊與滑板（慢速恒力、相對(duì)運(yùn)動(dòng)且相互作用型，一個(gè)物體與另一個(gè)物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)）等。體現(xiàn)出難度大，知識(shí)點(diǎn)跨越運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量與能量、功能關(guān)系及能量守恒定律?？傮w來說，細(xì)節(jié)瞬間對(duì)受力分析要求較高，具有過程的矢量性與過程中動(dòng)量與能量守恒。為了能夠?qū)⒈姸嗟哪Ｐ碗y度進(jìn)行突破，我們選取其中最簡(jiǎn)單的滑塊與滑板模型來研究，對(duì)受力分析、摩擦力分析、運(yùn)動(dòng)分析、位

2、移分析、相對(duì)位移分析、劃痕分析、相對(duì)路程分析、熱量分析、圖象分析及滑塊滑板模型相對(duì)運(yùn)動(dòng)與相對(duì)靜止的臨界分析等進(jìn)行全面透視。 滑塊與滑板模型母題探究 A B v1＝8.5m/s v2＝3.5m/s 【調(diào)研1】如圖所示，滑塊A的質(zhì)量m＝1kg，初始速度向右v1＝8.5m/s；滑板B足夠長(zhǎng)，其質(zhì)量M＝2kg，初始速度向左v2＝3.5m/s。已知滑塊A與滑板B之間動(dòng)摩擦因數(shù)μ1＝0.4，滑板B與地面之間動(dòng)摩擦因數(shù)μ2＝0.1。取重力加速度g＝10m/s2。在兩者相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過程中： 問題（1）：剛開始aA、aB1 問題（2）：B向左運(yùn)動(dòng)的時(shí)間tB1及B向左運(yùn)動(dòng)的最大位移SB2 問題（3

3、）：兩者相對(duì)靜止時(shí)的速度v 問題（4）：A向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t及A運(yùn)動(dòng)的位移SA 問題（5）：B運(yùn)動(dòng)的位移SB及B向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間tB2 問題（6）：A對(duì)B的位移大小△S、A在B上的劃痕△L、A在B上相對(duì)B運(yùn)動(dòng)的路程xA 問題（7）：B在地面的劃痕LB、B在地面上的路程xB 問題（8）：摩擦力對(duì)A的沖量IfA、摩擦力對(duì)B的沖量IfB 、系統(tǒng)所有摩擦力對(duì)A和B的總沖量If 問題（9）：摩擦力對(duì)A做的功WfA、摩擦力對(duì)A做的功WfB、系統(tǒng)所有摩擦力對(duì)A和B的總功Wf 問題（10）：A、B間產(chǎn)生熱量QAB、B與地面產(chǎn)生熱量QB、系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量Q 問題（11）：畫出兩者在相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中

4、的示意圖和v－t圖象 【解析】（1）由牛頓第二定律：aA＝＝μ1g＝4m/s，方向向左；aB1＝＝3.5m/s2，方向向右。 （2）tB1＝＝1s，SB1＝＝1.75m，方向向左。 （3）設(shè)向右為正方向，對(duì)A、B整體由動(dòng)量守恒定律：mv1－Mv2＝(m＋M)v，解得v＝0.5m/s，方向向右。 （4）t＝＝2s＞tB1＝1s，說明B先向左減速然后向右加速直到與A達(dá)到相同速度，A運(yùn)動(dòng)的位移SA＝＝9m （5）B經(jīng)過tB1＝1s后開始向右加速運(yùn)動(dòng)，達(dá)到v＝0.5m/s，加速度為aB2＝＝0.5m/s2，tB2＝＝1s，則向右運(yùn)動(dòng)的位移SB2＝＝0.25m，方向向右。故在兩者相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中

5、，B運(yùn)動(dòng)的總位移為SB＝SB1－SB2＝1.5m，方向向左。 （6）△S＝SA＋SB＝10.5m，△L＝△S＝xA＝10.5m （7）LB＝SB1＝1.75m，xB＝SB1＋SB2＝2m （8）IfA＝μ1mgt＝m(v－v1)＝－8N·s，方向向左；IfB＝[μ1mg＋μ2(mg＋Mg)]tB1－[μ1mg－μ2(mg＋Mg)]tB2＝M(v＋v2)＝8N·s，方向向右；If＝IfA＋I(xiàn)fB＝0。說明：B向左運(yùn)動(dòng)和向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，故地面對(duì)B的摩擦力的沖量總和為零，導(dǎo)致系統(tǒng)所有摩擦力對(duì)A和B的總沖量為零。 （9）WfA＝－μ1mgSA＝m(v2－v12)＝－36J，WfB＝－[μ1

6、mg＋μ2(mg＋Mg)]SB1＋[μ1mg－μ2(mg＋Mg)]SB2＝M(v2－v22)＝－12J，Wf＝WfA＋WfB＝－48J。 （10）QAB＝－[－μ1mgSA＋(－μ1mgSB)]＝μ1mgxA＝42J，QB＝－[－μ2(mg＋Mg)SB1－μ2(mg＋Mg)SB2)]＝μ2(mg＋Mg)xB＝6J （11）示意圖及v－t圖象如下： SB1 A B A B A SB2 SA △S SB v/m·s－1 t/s O 8.5 0.5 -3.5 1 2 4.5 【學(xué)法指導(dǎo)】通過滑塊與滑板模型的母題研究中的十一個(gè)問題，目的是將力學(xué)綜合中的所

7、有基礎(chǔ)知識(shí)：受力分析、牛頓定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、沖量、功、動(dòng)量定理、動(dòng)能定理、動(dòng)量與能量守恒、相對(duì)位移、相對(duì)路程、相對(duì)劃痕等，這些問題可以對(duì)力學(xué)進(jìn)行全面檢查與透視，請(qǐng)認(rèn)真體會(huì)并掌握和領(lǐng)悟計(jì)算方法。 滑塊與滑板模型拓展延伸 v0 M v0 m 【調(diào)研2】如圖所示，在光滑的水平面上，有一質(zhì)量M＝3kg的薄板和一質(zhì)量m＝1kg的物塊朝相反方向運(yùn)動(dòng)，初速度大小都為v0＝4m/s，它們之間有摩擦。當(dāng)薄板的速度大小為2.4m/s時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)情況是 A、做加速運(yùn)動(dòng) B、做減速運(yùn)動(dòng) C、做勻速運(yùn)動(dòng) D、以上運(yùn)動(dòng)都有可能 【解析】設(shè)向左為正方向，最終共同速度為v，由系統(tǒng)動(dòng)量守

8、恒定律：Mv0－mv0＝(m＋M)v，解得v＝2m/s，方向向左。當(dāng)m的速度為零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律：Mv0－mv0＝Mv1，解得M的速度為2.67m/s，此前m向右減速，M向左減速，此后m將向左加速，M繼續(xù)向左減速；當(dāng)兩者速度達(dá)到相同時(shí)，即速度均為2m/s時(shí)，兩者相對(duì)靜止，一起向左勻速直線運(yùn)動(dòng)。由此可知當(dāng)M的速度為2.4m/s時(shí)，m處于向左加速過程中，A對(duì)。 【答案】A 【拓展提升】本題實(shí)際上要求同學(xué)們能將滑塊與滑板的運(yùn)動(dòng)過程全部弄清楚，才能知道板的速度為2.4ms時(shí)，兩者的運(yùn)動(dòng)情況，通過兩個(gè)動(dòng)量守恒定律即可解決，要注意矢量性。如果問題是：當(dāng)物塊的速度大小為2.4m/s時(shí)物塊的運(yùn)動(dòng)情況呢

9、？ 【調(diào)研3】如圖為某生產(chǎn)流水線工作原理示意圖．足夠長(zhǎng)的工作平臺(tái)上有一小孔A，一定長(zhǎng)度的操作板（厚度可忽略不計(jì)）靜止于小孔的左側(cè)，某時(shí)刻開始，零件（可視為質(zhì)點(diǎn)）無初速地放上操作板的中點(diǎn)，同時(shí)操作板在電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)下向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，直至運(yùn)動(dòng)到A孔的右側(cè)（忽略小孔對(duì)操作板運(yùn)動(dòng)的影響），最終零件運(yùn)動(dòng)到A孔時(shí)速度恰好為零，并由A孔下落進(jìn)入下一道工序．已知零件與操作板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.05，零件與與工作臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.025，不計(jì)操作板與工作臺(tái)間的摩擦．重力加速度g=10m/s2．求： （1）操作板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大??； （2）若操作板長(zhǎng)L=2m，質(zhì)量M=3kg，零件的質(zhì)

10、量m=0.5kg，則操作板從A孔左側(cè)完全運(yùn)動(dòng)到右側(cè)的過程中，電動(dòng)機(jī)至少做多少功？ A 工作臺(tái) 工作臺(tái) 操作板 零件 【解析】（1）設(shè)零件向右運(yùn)動(dòng)距離x時(shí)與操作板分離，此過程歷經(jīng)時(shí)間為t，此后零件在工作臺(tái)上做勻減速運(yùn)動(dòng)直到A孔處速度減為零，設(shè)零件質(zhì)量為m，操作板長(zhǎng)為L(zhǎng)，取水平向右為正方向，對(duì)零件，有： 分離前：μ1mg＝ma1，分離后：μ2mg＝ma2，且x＝a1t2 以后做勻減速運(yùn)動(dòng)的位移為：－x＝ 對(duì)操作板，有：＋x＝at2 聯(lián)立以上各式解得：a＝，代入數(shù)據(jù)得：a＝2m/s2 （2）將a＝2m/s2，L＝2m代入＋a1t2＝at2，解得：t＝＝s 操作板從A孔左側(cè)

11、完全運(yùn)動(dòng)到右側(cè)的過程中，動(dòng)能的增加量△Ek1＝M()2=12J 零件在時(shí)間t內(nèi)動(dòng)能的增加量△Ek2＝m(μ1gt)2=J 零件在時(shí)間t內(nèi)與操作板摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能Q1＝μ1mg×＝0.25J 根據(jù)能量守恒定律，電動(dòng)機(jī)做功至少為W＝△Ek1＋△Ek2＋Q1＝12J≈12.33J 【方法點(diǎn)拔】本題的第一個(gè)難點(diǎn)在于為什么操作板具某一個(gè)加速度才有題目中所描述的情景出現(xiàn)？試想如果操作板的加速度很大，工件是不是沖過A孔，如果操作板的加速度很小，工件能到達(dá)A孔嗎？第二個(gè)難點(diǎn)在于工件與操作板之間的兩個(gè)關(guān)聯(lián)，一個(gè)是相對(duì)位移為操作板的一半長(zhǎng)度，另一個(gè)是工件在操作板上和操作平臺(tái)上運(yùn)動(dòng)的位移之和等于操作板的一半長(zhǎng)

12、度，盡管操作板的長(zhǎng)度未知，但這種位移關(guān)聯(lián)和相互作用具有相同時(shí)間的關(guān)聯(lián)是建立方程的重要依據(jù)。 30° A B 【調(diào)研4】如圖所示，皮帶傳動(dòng)裝置與水平面夾角為30°，輪半徑R= m，兩輪軸心相距L=3.75m，A、B分別是傳送帶與兩輪的切點(diǎn)，輪緣與傳送帶之間不打滑。一個(gè)質(zhì)量為0.1kg的小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ= 。g取10m/s2。 （1）當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針方向以v1=3m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將小物塊無初速地放在A點(diǎn)后，它運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)需多長(zhǎng)時(shí)間？（計(jì)算中可取≈16，≈20） （2）小物塊相對(duì)于傳送帶運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)在傳送帶上留下痕跡。當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，小物塊無初速地

13、放在A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)飛出。要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長(zhǎng)，傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度v2至少多大？ 【解析】（1）當(dāng)小物塊速度小于3m/s時(shí)，小物塊受到豎直向下、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向下的摩擦力作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a1，根據(jù)牛頓第二定律 mgsin30° + μmgcos30°=ma1，解得 a1 = 7.5m/s2 當(dāng)小物塊速度等于3m/s時(shí)，設(shè)小物塊對(duì)地位移為L(zhǎng)1，用時(shí)為t1，根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律 t1 = ，L1 = ，解得 t1 = 0.4s L1 = 0.6m 由于L1＜L 且μ＜tan30°，當(dāng)小物塊速度大于3m/s時(shí)，小物塊將繼續(xù)做

14、勻加速直線運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，設(shè)加速度為a2，用時(shí)為t2，根據(jù)牛頓第二定律和勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律 mgsin30°－μmgcos30°=ma2，解得 a2 = 2.5m/s2 L－L1 = v1t2 + a2t22，解得 t2 = 0.8s 故小物塊由禁止出發(fā)從A到B所用時(shí)間為 t = t1 + t2 = 1.2s （2）通過作v—t圖分析知：傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度越大，小物塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)用時(shí)越短，當(dāng)傳送帶速度等于某一值v′ 時(shí)，小物塊將從A點(diǎn)一直以加速度a1做勻加速直線運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，所用時(shí)間最短，即 L = a1tmin2，解得tmin = 1s v′ =a1 tmin =7.5m/s，此時(shí)

15、小物塊和傳送帶之間的相對(duì)路程為 △S = v′ t－L = 3.75m 傳送帶的速度繼續(xù)增大，小物塊從A到B的時(shí)間保持不變，而小物塊和傳送帶之間的相對(duì)路程繼續(xù)增大，小物塊在傳送帶上留下的痕跡也繼續(xù)增大；當(dāng)痕跡長(zhǎng)度等于傳送帶周長(zhǎng)時(shí)，痕跡為最長(zhǎng)Smax，設(shè)此時(shí)傳送帶速度為v2，則Smax = 2L + 2πR，Smax = v2t－L ，聯(lián)立解得 v2 = 12.25m/s 【學(xué)法指導(dǎo)】本題的第一問的受力分析與過程分析相信是非常熟悉的，但第二問中的最長(zhǎng)劃痕實(shí)際上受到傳送帶總長(zhǎng)度的限制，最多只能等于傳送帶的總長(zhǎng)度。而傳送帶的速度多大時(shí)才能使劃痕正好等于傳送帶的總長(zhǎng)度就是問題的關(guān)鍵了。 【拓展訓(xùn)

16、練】 1、如圖所示，子彈水平射入放在光滑水平地面上靜止的木塊，子彈未穿透木塊，此過程產(chǎn)生的內(nèi)能為6J，那么此過程木塊動(dòng)能可能增加了（ ） A、12J B、16J C、4J D、6J 1、C【解析】系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能為f△S＝6J，對(duì)木塊有動(dòng)能定理可知fS木＝EK，其中△S為子彈打入的木塊的深度，S木為木塊運(yùn)動(dòng)的位移，子彈未穿出，畫出子彈和木塊運(yùn)動(dòng)的v－t圖象，顯然可看出△S＞S木，故EK＜6J，則根據(jù)選項(xiàng)可判斷C正確。 2、【2020年全國(guó)新課標(biāo)卷第21題】 2、A【解析】F力較小時(shí)，m1與m2相對(duì)靜止，則F＝(m1＋m2)a，則a＝t，故a隨時(shí)間t均勻

17、增大。當(dāng)F力較大時(shí)，兩者相對(duì)運(yùn)動(dòng)，由于m2與m1之間的摩擦力為滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)滑動(dòng)摩擦力與正壓力成正比，可知該滑動(dòng)摩擦力不變，m1的加速度不會(huì)改變，而m2的加速度隨著F的增大而增大，且滿足F－μm2g＝m2a2，a2＝t－μg，顯然a2－t函數(shù)圖線的斜率比a－t函數(shù)圖線的斜率大，故A正確。 3、如圖所示，光滑水平面MN的左端M處由一彈射裝置P（P為左端固定，處于壓縮狀態(tài)且鎖定的輕質(zhì)彈簧，當(dāng)A與P碰撞時(shí)P立即解除鎖定），右端N處與水平傳送帶恰平齊且很靠近，傳送帶沿逆時(shí)針方向以恒定速率v＝5m/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，水平部分長(zhǎng)度L＝4m。放在水平面上的兩相同小物塊A、B（均視為質(zhì)點(diǎn)）間有一被壓縮的輕質(zhì)彈簧

18、，彈性勢(shì)能EP＝4J，彈簧與A相連接，與B不連接，A、B與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，物塊質(zhì)量mA＝mB＝1kg。現(xiàn)將A、B由靜止開始釋放，彈簧彈開，在B離開彈簧時(shí)，A未與P碰撞，B未滑上傳送帶。取g＝10m/s2。求： （1）B滑上傳送帶后，向右運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)處與N點(diǎn)間的距離sm （2）B從滑上傳送帶到返回到N端的時(shí)間t和這一過程中B與傳送帶間因摩擦而產(chǎn)生的熱能Q （3）B回到水平面后壓縮被彈射裝置P彈回的A上的彈簧，B與彈簧分離然后再滑上傳送帶。則P鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能E滿足什么條件，才能使B與彈簧分離后不再與彈簧相碰。 A B P M N L v D 3、【解

19、析】（1）彈簧彈開的過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒Ep = mAυA2 + mBυB2 由動(dòng)量守恒有mAvA－mBvB＝0 聯(lián)立以上兩式解得vA＝2m/s，vB＝2m/s B滑上傳送帶做勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度減為零時(shí)，向右運(yùn)動(dòng)的距離最大。 由動(dòng)能定理得：－μmBgsm＝0 －mBvB 2，解得sm＝＝1m （2）物塊B先向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到速度減小到零，然后反方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，回到皮帶左端時(shí)速度大小仍為vB＝2m/s 由動(dòng)量定理：－μmBgt＝－mBvB－mBvB，解得t＝＝2s B向右勻減速運(yùn)動(dòng)因摩擦而產(chǎn)生的熱能為：Q1＝μmBg(＋sm) B向左勻加速運(yùn)動(dòng)因摩擦而產(chǎn)生的熱能為：Q2＝

20、μmBg(－sm) Q＝Q1＋Q2＝μmBgvt＝20J （3）設(shè)彈射裝置P將A彈開時(shí)的速度為vA′，則E＝mAvA′2－mAvA2 B離開彈簧時(shí)，AB速度互換，B的速度vB′＝vA′ B與彈簧分離后不再與彈簧相碰，則B滑出平臺(tái)Q端，由能量關(guān)系有mBvB′2＞μmB gL 以上三式解得E＞μmA gL－mAvA2，代入數(shù)據(jù)解得E＞6J 4、如圖（a）所示，在足夠長(zhǎng)的光滑水平面上，放置一長(zhǎng)為L(zhǎng)＝1m、質(zhì)量為m1＝0.5kg的木板A，一質(zhì)量為m2＝1kg的小物體B以初速度v0滑上A的上表面的同時(shí)對(duì)A施加一個(gè)水平向右的力F，A與B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.2，g＝10m/s2；小物體B在

21、A上運(yùn)動(dòng)的路程S與F力的關(guān)系如圖（b）所示。求：v0、F1、F2 。 B A v0 F （a） （b） F/N F2 F1 1 S/m 1 O 4、【解析】（1）由圖象可看出當(dāng)F≤1N時(shí)，B物體在A板上的路程始終等于板長(zhǎng)L，當(dāng)F＝1N時(shí)，剛好不從A板右端掉下，此后A和B一起相對(duì)靜止并加速運(yùn)動(dòng)。 設(shè)B物體的加速度為a2，A板的加速度為a1，分別由牛頓第二定律： μm2g＝m2a2 ，F(xiàn)＋μm2g＝m1a1 設(shè)B運(yùn)動(dòng)的位移為S2，A運(yùn)動(dòng)的位移為S1，經(jīng)過t時(shí)間兩者速度均為v，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式： SB＝t ，SA＝t ，v＝v0－a2t＝a1t B在A上相對(duì)A向右運(yùn)動(dòng)的路程S＝SB－SA 聯(lián)立解得：S＝ ，將F＝1N，S＝1m代入，解得：v0＝4m/s （2）分析可知，當(dāng)1N≤F≤F1時(shí)，隨著F力增大，S減小，當(dāng)F＝F1時(shí)，出現(xiàn)S突變，說明此時(shí)A、B在達(dá)到共同速度后，恰好再次發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，B將會(huì)從A板左端掉下。 對(duì)A、B恰好發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，B的加速度為a2，則整體加速度也為a2，由牛頓第二定律： F1＝(m1＋m2)a2，解得F1＝3N （3）此時(shí)B在A上運(yùn)動(dòng)的路程為S1＝＝m 當(dāng)F≥F1時(shí)，物體B在A板上的路程為B相對(duì)A向右運(yùn)動(dòng)的路程的兩倍。 故當(dāng)F＝F2時(shí)，將S＝0.5S1，解得：F2＝9N