《(新課標(biāo))2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第2章 第12節(jié) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(二)課時(shí)作業(yè) 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課標(biāo))2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第2章 第12節(jié) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(二)課時(shí)作業(yè) 理(6頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、課時(shí)作業(yè)(十五) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(二)
一、選擇題
1.若直線y=m與y=3x-x3的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A.(-2,2) B.[-2,2]
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
答案:A
解析:y′=3(1-x)(1+x),
由y′=0,得x=±1,∴y極大值=2,y極小值=-2,
∴-2<m<2.故應(yīng)選A.
2.(2020·北京模擬)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)+xf′(x)<0,且f(-4)=0,則不等式xf(x)>0的解集為( )
A.(-4,0)∪(4,+∞)
B.
2、(-4,0)∪(0,4)
C.(-∞,-4)∪(4,+∞)
D.(-∞,-4)∪(0,4)
答案:D
解析:設(shè)g(x)=xf(x),則
g′(x)=[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)
=xf′(x)+f(x)<0,
∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù).
∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù).
∴g(x)=xf(x)是R上的奇函數(shù),
∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).
∵f(-4)=0,
∴f(4)=0,
即g(4)=0,g(-4)=0,
∴xf(x)>0化為g(x)>0,
設(shè)x>0,故不等式為g(x)>g(4),即0
3、不等式為g(x)>g(-4),即x<-4,
故所求的解集為(-∞,-4)∪(0,4),
故應(yīng)選D.
3.(2020·大連模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-1)=2,對任意x∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
答案:B
解析:由已知,[f(x)-(2x+4)]′=f′(x)-2>0,
∴g(x)=f(x)-(2x+4)單調(diào)遞增,又g(-1)=0,
∴f(x)>2x+4的解集是(-1,+∞).故應(yīng)選B.
4.如圖,一個(gè)正五角星薄片(其對稱軸與水面垂直)勻速地升出水面
4、,記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)=0),則導(dǎo)函數(shù)y=S′(t)的圖象大致為( )
答案:A
解析:由導(dǎo)數(shù)的定義知,S′(t0)表示面積函數(shù)S(t0)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)變化率,如圖,正五角星薄片中首先露出水面的是區(qū)域I,此時(shí)其面積S(t)在逐漸增大,且增長速度越來越快,故其瞬時(shí)變化率S′(t)也應(yīng)逐漸增大;當(dāng)露出的是區(qū)域Ⅱ時(shí),此時(shí)的S(t)應(yīng)突然增大,然后增長速度減慢,但仍為增函數(shù),故其瞬時(shí)變化率S′(t)也隨之突然變大,再逐漸變小,但S′(t)>0(故可排除B);當(dāng)五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再變化,故其導(dǎo)數(shù)值S′(t)最終應(yīng)等于0,符合上述特
5、征的只有選項(xiàng)A.故應(yīng)選A.
5.設(shè)1<x<2,則,2,的大小關(guān)系是( )
A.2<<
B.<2<
C.2<<
D.<2<
答案:A
解析:令f(x)=x-ln x(1<x<2),則f′(x)=1-=>0,所以函數(shù)y=f(x)(1<x<2)為增函數(shù),
∴f(x)>f(1)=1>0,∴x>ln x>0,則0<<1,
∴2<.
又-==>0,
∴2<<,故應(yīng)選A.
6.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x∈[0,π]時(shí),0<f(x)<1;當(dāng)x∈(0,π)且x≠時(shí),f′(x)>0,則函數(shù)y=f(x)-sin x在[-2π,2
6、π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.2 B.4
C.5 D.8
答案:B
解析:∵f′(x)>0,
當(dāng)<x<π時(shí),f′(x)>0,
∴f(x)在上是增函數(shù);
當(dāng)0<x<時(shí),f′(x)<0,
∴f(x)在上是減函數(shù).
設(shè)π≤x≤2π,則0≤2π-x≤π.
由f(x)是以2π為最小正周期的偶函數(shù)知,
f(2π-x)=f(x).
故π≤x≤2π時(shí),
0<f(x)<1.
依題意作出草圖(圖略)可知,
y1=f(x)與y2=sin x在[-2π,2π]上有四個(gè)交點(diǎn).
故應(yīng)選B.
二、填空題
7.若f(x)=xsin x+cos x,則f(-3),f,f(2)的大小關(guān)系為_
7、_______.
答案:f(-3)<f(2)<f
解析:由f(-x)=f(x)知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),
因此f(-3)=f(3).
又f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,
當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,
∴f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),
∴f>f(2)>f(3)=f(-3).
8.(2020·北京海淀區(qū)模擬)若函數(shù)f(x)滿足:“對于區(qū)間(1,2)上的任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1≠x2),|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|恒成立”,則稱f(x)為完美函數(shù).給出以下四個(gè)函數(shù):①f(x)=;②f(x)=|x|;③f(x)=x;④f(
8、x)=x2.其中是完美函數(shù)的序號是________.
答案:①③
解析:由|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|知,
<1,即|f′(x)|<1.
經(jīng)驗(yàn)證①③符合題意.
9.(2020·山西四校聯(lián)考)log0.5>log0.5對任意x∈[2,4]恒成立,則m的取值范圍為________.
答案:(45,+∞)
解析:以0.5為底的對數(shù)函數(shù)為減函數(shù),所以得真數(shù)關(guān)系為<,所以m>-x3+7x2+x-7,令f(x)=-x3+7x2+x-7,則f′(x)=-3x2+14x+1,因?yàn)閒′(2)>0且f′(4)>0,所以f′(x)>0在[2,4]上恒成立,即在[2,4]上函數(shù)f(x)為增
9、函數(shù),所以f(x)的最大值為f(4)=45,因此m>45.
三、解答題
10.已知定義在區(qū)間[-2,t](t>-2)上的函數(shù)f(x)=(x2-3x+3)ex.
(1)當(dāng)t>1時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)m=f(-2),n=f(t),試證明m< n.
解:(1)f′(x)=(2x-3)ex+ex(x2-3x+3)=exx(x-1).
由于t>1,故當(dāng)x∈(-2,0)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,t)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
綜上,函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,0
10、),(1,t);單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).
(2)證明:m=f(-2)=13e-2,n=f(t)=(t2-3t+3)et,
設(shè)h(t)=n-m=(t2-3t+3)et-13e-2,
h′(t)=(2t-3)et+et(t2-3t+3)=ett(t-1))(t>-2).
h(t)與h′(t)隨t的變化情況如下表:
t
(-2,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
h′(t)
+
0
-
0
+
h(t)
極大值
極小值
由上表可知,h(t)的極小值為h(1)=e-=>0,又h(-2)=0,所以當(dāng)t>-2時(shí),h(t)>h(-2)=0,
11、即h(t)>0,因此n-m>0,即m<n.
11.(2020·成都模擬)成都市“兩會”召開前,某政協(xié)委員針對自己提出的“環(huán)保提案”對某處的環(huán)境狀況進(jìn)行了實(shí)地調(diào)研.據(jù)測定,該處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比,與到污染源的距離成反比,比例常數(shù)為k(k>0).現(xiàn)已知相距36 km的A,B兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為正數(shù)a,b,它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設(shè)AC=x(km).
(1)試將y表示為x的函數(shù);
(2)若a=1時(shí),y在x=6處取得最小值,試求b的值.
解:(1)設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染指數(shù)為,點(diǎn)C受B污染源污染指數(shù)為,其中k為比例系數(shù),
12、且k>0.
從而點(diǎn)C處污染指數(shù)y=+(0<x<36).
(2)∵a=1,∴y=+,
y′=k,令y′=0,得x=,
當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.
∴當(dāng)x=時(shí),函數(shù)取得最小值.
又此時(shí)x=6,解得b=25,經(jīng)驗(yàn)證符合題意.
12.(2020·大連模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
解:(1)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).
由f′(x)=0,得x1=-1,x2=a>0.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x)與f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,a)
a
(a,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1),(a,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,a).
(2)由(1)知,f(x)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)單凋遞增,在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減,從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)解得0<a<.
所以a的取值范圍是.