《(新課標(biāo))2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第5章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和課時作業(yè) 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課標(biāo))2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第5章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和課時作業(yè) 理(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、課時作業(yè)(三十一) 等差數(shù)列及其前n項和
一、選擇題
1.(2020·寧德模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a2=1,a4=5,則S5等于( )
A.7 B.15
C.30 D.31
答案B
解析:解法一:由等差數(shù)列通項公式,得5=1+2d,d=2,a1=-1,S5=15.
解法二:S5====15.
2.已知{an}為等差數(shù)列,若<-1,且它的前n項和Sn 有最大值,那么當(dāng)Sn取得最小正值時,n=( )
A.11 B.20
C.19 D.21
答案:C
解析:由<-1,得<0,又它的前n項和Sn有最大值,則a10>0,a11<0,a11+a10<0,則S
2、19>0,S20<0,那么當(dāng)Sn取得最小正值時,n=19,
故應(yīng)選C.
3.(2020·威海模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S10=(1+2x)dx,則a5+a6=( )
A. B.12
C.6 D.
答案:A
解析:S10=(1+2x)dx=(x+x2)
=3+32-(0+02)=12,
而S10==5(a1+a10)
=5(a5+a6)=12,
∴ a5+a6=.
故應(yīng)選A.
4.若兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別是Sn,Tn,已知=,則等于( )
A.7 B.
C. D.
答案:D
解析:=====.
故應(yīng)選D.
5.某大
3、樓共有12層,有11人在第1層上了電梯,他們分別要去第2至第12層,每層1人.因特殊原因,電梯只允許停1次,只可使1人如愿到達(dá),其余10人都要步行到達(dá)所去的樓層.假設(shè)乘客每向下步行1層的“不滿意度”增量為1,每向上步行1層的“不滿意度”增量為2,10人的“不滿意度”之和記為S.則S最小時,電梯所停的樓層是( )
A.7層 B.8層
C.9層 D.10層
答案:C
解析:設(shè)電梯??吭诘趚層時,其余10人的“不滿意度”之和為S,向上步行的有(12-x)人,這(12-x)人“不滿意度”之和為S1=2+4+6+…+2(12-x)==x2-25x+156;向下步行的有10-(12-x)=(x-
4、2)(人),這(x-2)人“不滿意度”之和為S2=1+2+…+(x-2)==x2-x+1;所以S=S1+S2=(x2-25x+156)+=x2-x+157=2+,由于x∈N,2≤x≤12,所以當(dāng)x=9時,S取最小值,即S最小時,電梯所停的樓層是9層.
二、填空題
6.(2020·山東泰安一模)正項數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,2a=a+a(n∈N,n≥2),則a7=________.
答案:
解析:因為2a=a+a(n∈N,n≥2),所以數(shù)列{a}是以a=1為首項,以d=a-a=3為公差的等差數(shù)列,所以a=1+3(n-1)=3n-2,所以an=,n≥1,所以a7==.
7.等
5、差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且6S5-5S3=5,則a4=________.
答案:
解析:∵6S5-5S3=5,∴6(5a1+10d)-5(3a1+3d)=5,∴a1+3d=,即a4=.
8.(2020·安慶模擬)已知等差數(shù)列{an}中,a1,a99是函數(shù)f(x)=x2-10x+16的兩個零點,則a50+a20+a80=________.
答案:
解析:依題意,a1+a99=10,∴a50=5,
故a50+a20+a80=a50+2a50=.
9.(2020·福建龍巖質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的首項為2,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(n∈N*).若b2=-2,b
6、7=8,則a8=________.
答案:16
解析:∵{bn}為等差數(shù)列,且b2=-2,b7=8,設(shè)其公差為d,∴b7-b2=5d,即8+2=5d,∴d=2.∴bn=-2+(n-2)×2=2n-6.∴an+1-an=2n-6.由a2-a1=2×1-6,a3-a2=2×2-6,…,an-an-1=2×(n-1)-6,累加,得an-a1=2×(1+2+…+n-1)-6(n-1)=n2-7n+6,∴an=n2-7n+8.∴a8=16.
10.設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若對任意自然數(shù)n都有=,則+的值為________.
答案:
解:∵ {an},{bn}為等
7、差數(shù)列,
∴ +=+===.
∵ ====,
∴ =.
三、解答題
11.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=(n+1)an+cn(n+1)(c為常數(shù)).
(1)證明:是等差數(shù)列;
(2)若{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,試給出不依賴于n的一個充要條件,使得數(shù)列{}是等差數(shù)列,并說明理由.
解:(1)證明:由nan+1=(n+1)an+cn(n+1),可得
=+c,所以是等差數(shù)列.
(2)由(1)可知,=1+(n-1)c,
則an=n+n(n-1)c.
{}是等差數(shù)列的充要條件是=an+b,
即a2n2+2abn+b2=cn2+(1-c)n,則c=1.
12.(20
8、20·濟(jì)南模擬)設(shè)同時滿足條件:①≤bn+1(n∈N*);②bn≤M(n∈N*,M是與n無關(guān)的常數(shù))的無窮數(shù)列{bn}叫“特界”數(shù)列.
(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn是其前n項和,a3=4,S3=18,求Sn;
(2)判斷(1)中的數(shù)列{Sn}是否為“特界”數(shù)列,并說明理由.
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,∴Sn=na1+d=-n2+9n.
(2)由-Sn+1====-1<0,得<Sn+1,故數(shù)列{Sn}適合條件①.而Sn=-n2+9n=-2+(n∈N*),則當(dāng)n=4或5時,Sn有
9、最大值20,即Sn≤20,故數(shù)列{Sn}適合條件②.
綜上,數(shù)列{Sn}是“特界”數(shù)列.
13.(2020·廣東中山一模)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1<0,S2 009=0.
(1)求Sn的最小值及此時n的值;
(2)求使an≥Sn的n的取值集合.
解:(1)設(shè)公差為d,則由S2 009=0,得
2 009a1+d=0,
則a1+1 004d=0,d=-a1,a1+an=a1,
∴Sn=(a1+an)=·a1
=(2 009n-n2).
∵a1<0,n∈N*,
∴當(dāng)n=1 004或1 005時,Sn取最小值a1.
(2)由(1)得an=a1,
由Sn≤an,得(2 009n-n2)≤a1.
∵a1<0,
∴n2-2 011n+2 010≤0,
即(n-1)(n-2 010)≤0,
解得1≤n≤2 010.
故所求n的取值集合為{n|1≤n≤2 010,n∈N*}.