（新課標）2020高考數(shù)學大一輪復習 第11章 第4節(jié) 數(shù)學歸納法及其應用課時作業(yè) 理

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1、課時作業(yè)(七十四)　數(shù)學歸納法及其應用 一、選擇題 1．用數(shù)學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 答案：D 解析：當n＝k時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2， 當n＝k＋1時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 故應選D. 2．(2020·岳陽模擬)用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值

2、至少應取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案：B 解析：1＋＋＋…＋＝＞整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至少應取8. 3．用數(shù)學歸納法證明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3…·(2n－1)”，從“k到k＋1”左端需增乘的代數(shù)式為(　　) A．2k＋1　　 B．2(2k＋1) C.　　 D． 答案：B 解析：n＝k＋1時，左端為(k＋2)(k＋3)·…·[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)[2(2k＋1

3、)]， ∴應乘2(2k＋1)，故應選B. 4．對于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同學用數(shù)學歸納法證明的過程如下： (1)當n＝1時，＜1＋1，不等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即＜k＋1，則當n＝k＋1時，＝＜＝＝(k＋1)＋1， ∴當n＝k＋1時，不等式成立，則上述證法(　　) A．過程全部正確 B．n＝1驗得不正確 C．歸納假設不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 答案：D 解析：在n＝k＋1時，沒有應用n＝k時的假設，不是數(shù)學歸納法，故應選D. 5．(2020·上海模擬)平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)

4、的表達式為(　　) A．n＋1　　 B．2n C.　　 D．n2＋n＋1 答案：C 解析：1條直線將平面分成1＋1個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4(個)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7(個)區(qū)域；…；n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝(個)區(qū)域．故應選C. 6．(2020·南寧模擬)已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對任意n∈N*，f(n)都能被m整除，則m的最大值為(　　) A．18 B．36 C．48 D．54 答案：B 解析：由于f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360都能被3

5、6整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值為36.當n＝1時，可知猜想成立．假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，猜想成立，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；當n＝k＋1時，f(k＋1)＝(2k＋9)·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋9＋36(k＋5)·3k－2，因此f(k＋1)也能被36整除，故所求m的最大值為36. 二、填空題 7．用數(shù)學歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”時，第一步驗證為________． 答案：當n＝1時，左邊＝4≥右邊，不等式成立． 解析：由n∈N*可知初始值為1. 8．(2020·徐州模擬)用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，x

6、n＋yn能被x＋y整除”，當?shù)诙郊僭On＝k(k∈N*)命題為真時，進而需證n＝________時，命題亦真． 答案：k＋2 解析：n為正奇數(shù)，假設n＝k成立后，需證明的應為n＝k＋2時成立． 9．若f(n)＝12＋22＋33＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關系式是________． 答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2， ∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2； ∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 10．用數(shù)學歸納法證明 ·…·＞

7、 (k＞1)， 則當n＝k＋1時，左端應乘上________，這個乘上去的代數(shù)式共有因式的個數(shù)是________． 答案：…　2k－1 解析：因為分母的公差為2，所以乘上去的第一個因式是，最后一個是，根據(jù)等差數(shù)列通項公式可求得共有＋1＝2k－2k－1＝2k－1項． 三、解答題 11．(2020·綿陽一模)已知數(shù)列{xn}滿足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論． 解：由x1＝及xn＋1＝， 得x2＝，x4＝，x6＝， 由x2>x4>x6猜想：數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列． 下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，已證命題成立． ②假設當

8、n＝k時命題成立，即x2k>x2k＋2，易知xk>0， 當n＝k＋1時，x2k＋2－x2k＋4＝－ ＝ ＝＞0， 即x2(k＋1)＞x2(k＋1)＋2. 也就是說，當n＝k＋1時命題也成立． 結(jié)合①和②知命題成立． 12．(2020·長沙模擬)設數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2(n＝1,2,3，…)． (1)求a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式(不需證明)； (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，試求使得Sn＜2n成立的最小正整數(shù)n，并給出證明． 解：(1)a2＝a－2a1＋2＝5，a3＝a－2×2a2＋2＝7， a4＝a－2×3a3＋2＝9. 猜想an＝2n＋1(n∈N*)． (2)Sn＝＝n2＋2n(n∈N*)， 使得Sn＜2n成立的最小正整數(shù)n＝6. 下證：當n≥6(n∈N*)時都有2n＞n2＋2n. ①當n＝6時，26＝64,62＋2×6＝48,64＞48，命題成立． ②假設n＝k(k≥6，k∈N*)時，2k＞k2＋2k成立，那么當n＝k＋1時，2k＋1＝2·2k＞2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k＞k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1時，不等式成立； 由①②可得，對于所有的n≥6(n∈N*) 都有2n＞n2＋2n成立．