六年級奧林匹克數(shù)學基礎教程 17 操作問題

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1、小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程 操作問題 　　所謂操作問題，實際上是對某個事物按一定要求進行的一種變換，這種變換可以具體執(zhí)行。例如，對任意一個自然數(shù)，是奇數(shù)就加1，是偶數(shù)就除以2。這就是一次操作，是可以具體執(zhí)行的。操作問題往往是求連續(xù)進行這種操作后可能得到的結果。 　　例1 對于任意一個自然數(shù) n，當 n為奇數(shù)時，加上121；當n為偶數(shù)時，除以2。這算一次操作?，F(xiàn)在對231連續(xù)進行這種操作，在操作過程中是否可能出現(xiàn)100？為什么？ 　　討論：同學們碰到這種題，可能會“具體操作”一下，得到 　　這個過程還可以繼續(xù)下去，雖然一直沒有得到100，但也不能肯定得不到100。當然，連續(xù)操作下去會發(fā)現(xiàn)，

2、數(shù)字一旦重復出現(xiàn)后，這一過程就進入循環(huán)，這時就可以肯定不會出現(xiàn)100。因為這一過程很長，所以這不是好方法。 　　解：因為231和121都是11的倍數(shù)，2不是11的倍數(shù)，所以在操作過程中產(chǎn)生的數(shù)也應當是11的倍數(shù)。100不是11的倍數(shù)，所以不可能出現(xiàn)。 　　由例1看出，操作問題不要一味地去“操作”，而要找到解決問題的竅門。 　　例2 對任意兩個不同的自然數(shù)，將其中較大的數(shù)換成這兩數(shù)之差，稱為一次變換。如對18和42可進行這樣的連續(xù)變換： 　　18， 42—→ 18， 24—→ 18， 6—→ 12， 6—→ 6， 6。直到兩數(shù)相同為止。問：對12345和54321進行這樣的連續(xù)變換，最后

3、得到的兩個相同的數(shù)是幾？ 　　分析與解：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是a，那么這兩個數(shù)之差與這兩個數(shù)中的任何一個的最大公約數(shù)也是a。因此在每次變換的過程中，所得兩數(shù)的最大公約數(shù)始終不變，所以最后得到的兩個相同的數(shù)就是它們的最大公約數(shù)。因為12345和54321的最大公約數(shù)是3，所以最后得到的兩個相同的數(shù)是3。 注：這個變換的過程實際上就是求兩數(shù)最大公約數(shù)的輾轉相除法。 　　例3 右圖是一個圓盤，中心軸固定在黑板上。開始時，圓盤上每個數(shù)字所對應的黑板處均寫著0。然后轉動圓盤，每次可以轉動90°的任意整數(shù)倍，圓盤上的四個數(shù)將分別正對著黑板上寫數(shù)的位置，將圓盤上的數(shù)加到黑板上對應位置的數(shù)上。問：經(jīng)過

4、若干次后，黑板上的四個數(shù)是否可能都是999？ 　　解：不可能。因為每次加上的數(shù)之和是 1＋2＋3＋4=10，所以黑板上的四個數(shù)之和永遠是10的整數(shù)倍。 999×4=3996，不是10的倍數(shù)，所以黑板上的四個數(shù)不可都是999。 　　例4 在左下圖中，對任意相鄰的上下或左右兩格中的數(shù)字同時加1或減1，這算作一次操作。經(jīng)過若干次操作后，左下圖變?yōu)橛蚁聢D。問：右下圖中A格中的數(shù)字是幾？ 　　分析與解：每次操作都是在相鄰的兩格，我們將相鄰的兩格染上不同的顏色（見右圖）。因為每次操作總是一個黑格與一個白格的數(shù)字同時加1或減1，所以所有黑格內的數(shù)字之和與所有白格內的數(shù)字之和的差保持不變。因為原

5、題左圖的這個差是13，所以原題右圖的這個差也是13。由（A＋12）-12=13解得 A=13。 　　例5 將1～10十個數(shù)隨意排成一排。如果相鄰兩個數(shù)中，前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么就交換它們的位置。如此操作下去，直到前面的數(shù)都小于后面的數(shù)為止。當1～10十個數(shù)如下排列時，需交換多少次？ 　　8，5，2，6，10，7，9，1，4，3。 　　分析與解：為了不打亂仗，我們按照一定的方法來交換。例如，從最大的數(shù)10開始交換，將10交換到它應在的位置后，再依次對9，8，7，…實施交換，直至按從小到大排列為止。 　　因為10后面有5個比它小的數(shù)，所以對10連續(xù)交換5次，10到了最右邊，而其它各數(shù)的

6、前后順序沒有改變；再看9，9后面有3個比它小的數(shù)，需交換3次，9到了右邊第二位，排在10前面；再依次對8，7，6，…實施這樣的交換。 　　10后面有5個比它小的數(shù)，我們說10有5個逆序；9后面有3個比它小的數(shù)，我們說9有3個逆序；類似地，8，7，6，5，4，3，2依次有7，3，3，4，1，0，1個逆序。因為每個數(shù)要交換的次數(shù)就是它的逆序數(shù)，所以需交換 　　5＋3＋7＋3＋3＋4＋1＋0＋1= 27（次）。 　　例6右圖是一個5×6的方格盤。先將其中的任意5個方格染黑。然后按以下規(guī)則繼續(xù)染色： 　　如果某個格至少與兩個黑格都有公共邊，那么就將這個格染黑。 　　這樣操作下去，能否將整個方

7、格盤都染成黑色？ 　　分析與解：以一個方格的邊長為1，開始時5個黑格的總周長不會超過4×5=20。以后每染一個格，因為這個格至少與兩個黑格都有公共邊，所以染黑后所有黑格的總周長不會增加。左下圖中，A與4個黑格有公共邊，染黑后，黑格的總周長將減少4；下中圖中，A與3個黑格有公共邊，染黑后，黑格的總周長將減少2；右下圖中，A與2個黑格有公共邊，染黑后，黑格的總周長不變。也就是說按照這種方法染色，所有黑格的總周長永遠不會超過20，而5×6方格盤的周長是 22，所以不能將整個方格盤染成黑色。 　 練習17 　　1.黑板上寫著1～15共15個數(shù)，每次任意擦去兩個數(shù)，再寫上這兩個數(shù)的和減1

8、。例如，擦掉5和11，要寫上15。經(jīng)過若干次后，黑板上就會只剩下一個數(shù)，這個數(shù)是幾？ 　　2.在黑板上任意寫一個自然數(shù)，然后用與這個自然數(shù)互質并且大于1的最小自然數(shù)替換這個數(shù)，稱為一次操作。問：最多經(jīng)過多少次操作，黑板上就會出現(xiàn)2？ 　　3.口袋里裝有101張小紙片，上面分別寫著1～101。每次從袋中任意摸出5張小紙片，然后算出這5張小紙片上各數(shù)的和，再將這個和的后兩位數(shù)寫在一張新紙片上放入袋中。經(jīng)過若干次這樣的操作后，袋中還剩下一張紙片，這張紙片上的數(shù)是幾？ 　　4.在一個圓上標出一些數(shù)：第一次先把圓周二等分，在兩個分點分別標上2和4。第二次把兩段半圓弧分別二等分，在分點標上相鄰兩分點

9、兩數(shù)的平均數(shù)3（見右圖）。第三次把四段弧再分別二等分，在四個分點分別標上相鄰兩分點兩數(shù)的平均數(shù)。如此下去，當?shù)?次標完后，圓周上所有標出的數(shù)的總和是多少？ 　　5.六個盤子中各放有一塊糖，每次從任選的兩個盤子中各取一塊放入另一個盤子中，這樣至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一個盤子中？ 　　6.將1～10十個數(shù)隨意排成一排。如果相鄰兩個數(shù)中，前面的大于后面的，那么就交換它們的位置。如此操作下去，直到前面的數(shù)都小于后面的數(shù)為止。已知10在這列數(shù)的第4位，那么最少要交換多少次？最多要交換多少次？ 　　7.在右圖的方格表中，每次給同一行或同一列的兩個數(shù)加1，經(jīng)過若干次后，能否使表中的四

10、個數(shù)同時都是5的倍數(shù)？為什么？ 答案與提示　練習17 　　1.106。 　　提示：操作一次，黑板上的數(shù)減少1個，數(shù)字總和減少1。經(jīng)過14次操作，剩下的一個數(shù)是 　　（1+2+…+15）-14=106。 　　2.2次。 　　提示：若寫的是奇數(shù)，則只需1次操作；若寫的是大于2的偶數(shù)，則經(jīng)過1次操作變?yōu)槠鏀?shù)，再操作1次變?yōu)?。 　　3.51。 　　提示：口袋中所有紙片的數(shù)字之和的后兩位數(shù)保持不變。 　　4.758。 　　提示：第一次標完數(shù)后，以后每次標上的數(shù)字之和都等于上次圓周上的所有數(shù)字之和，即每次標完數(shù)后，圓周上的所有數(shù)字之和是原來的2倍。第8次標完后的總和是 　　6×

11、28-1=6×27=768。 　　5.4次。 　　提示：將各次操作表示如下： 　?。?，1，1，1，1，1）—→（0，3，1，1，1，0）—→（2，2，1，1，0，0） 　　—→（4，1，1，0，0，0）—→（6，0，0，0，0，0）。 　　6.6次；42次。 　　提示：與例5類似，當十個數(shù)按1，2，3，10，4，5，6，7，8，9排列時，交換的次數(shù)最少，要交換6次；當十個數(shù)按9，8，7，10，6，5，4，3，2，1排列時，交換的次數(shù)最多，要交換42次。 　　7.不能。 　　解：要使第一列的兩個數(shù)1，4都變成5的倍數(shù)，第一行應比第二行多變（3+5n）次；要使第二列的兩個數(shù)2，3都變成5的倍數(shù)，第一行應比第二行多變（1+5m）次。 　　因為（3+5n）除以5余3，（1+5m）除以5余1，所以上述兩個結論矛盾，不能同時實現(xiàn)。 　　注：m，n可以是0或負數(shù)。 　　 ?