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1、2019-2020年九年級數學競賽輔導講座第二十二講園冪定理
相交弦定理、切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理．圓冪定理實質上是反映兩條相交直線與圓的位置關系的性質定理，其本質是與比例線段有關．
相交弦定理、切割線定理、割線定理有著密切的聯系，主要體現在：
1．用運動的觀點看，切割線定理、割線定理是相交弦定理另一種情形，即移動圓內兩條相交弦使其交點在圓外的情況；
2．從定理的證明方法看，都是由一對相似三角形得到的等積式．
熟悉以下基本圖形、基本結論：
【例題求解】
【例1】如圖，PT切00于點T,PA交00于A、B兩點，且與直徑CT交于點D,CD=2,AD=3,BD=6，則PB
2、=.
思路點撥綜合運用圓幕定理、勾股定理求PB長.
注：比例線段是幾何之中一個重要問題，比例線段的學習是一個由一般到特殊、不斷深化的過程，大致經歷了四個階段：
(1) 平行線分線段對應成比例；
(2) 相似三角形對應邊成比例；
(3) 直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡捷地表示出來；
(4) 圓中的比例線段通過圓幕定理明快地反映出來．
【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，過A、B、C三點的圓交AD于點E,且與CD相切，若AB=4,BE=5，則DE的長為()
A．3B．4C．D．
思路點撥連AC,CE，由條件可得許多等線段，為切割線定理的運用創(chuàng)設條件.
3、注：圓中線段的算，常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識，通過代數化獲解，加強對圖形的分解，注重信息的重組與整合是解圓中線段計算問題的關鍵．
【例3】如圖，AABC內接于OO,AB是Z0的直徑，PA是過A點的直線，ZPAC=ZB.
(1) 求證：PA是O0的切線；
(2) 如果弦CD交AB于E，CD的延長線交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5,,AE：BE=2：3,求AB的長和ZECB的正切值.
思路點撥直徑、切線對應著與圓相關的豐富知識.(1)問的證明為切割線定理的運用創(chuàng)造了條件；引入參數x、k處理⑵問中的比例式，把相應線段用是的代數式表示，并尋找x與k的關系，建立x
4、或k的方程.
【例4】如圖，P是平行四邊形AB的邊AB的延長線上一點，DP與AC、BC分別交于點E、E，EG是過B、F、P三點圓的切線，G為切點，求證：EG=DE
思路點撥由切割線定理得EG2=EF?EP,要證明EG=DE，只需證明DE2=EF?EP,這樣通過圓冪定理把線段相等問題的證明轉化為線段等積式的證明.
注：圓中的許多問題，若圖形中有適用圓冪定理的條件，則能化解問題的難度，而圓中線段等積式是轉化問題的橋梁.
需要注意的是，圓冪定理的運用不僅局限于計算及比例線段的證明，可拓展到平面幾何各種類型的問題中.
【例5】如圖，以正方形ABCD的AB邊為直
5、徑，在正方形內部作半圓，圓心為O,DF切半圓于點E,交AB的延長線于點F,BF=4.
求：(1)cosZF的值；(2)BE的長.
思路點撥解決本例的基礎是：熟悉圓中常用輔助線的添法(連OE,AE)；熟悉圓中重要性質定理及角與線段的轉化方法.對于(1),先求出EF,FO值；對于(2),從ABEF^AEAF,Rt^AEB入手.DC注：當直線形與圓結合時就產生錯綜復雜的圖形，善于分析圖形是解與圓相關綜合題的關鍵，分析圖形可從以下方面入手：
(1) 多視點觀察圖形.如本例從D點看可用切線長定理，從F點看可用切割線定理.
(2) 多元素分析圖形．圖中有沒有特殊點、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、
6、全等三角形、相似三角形．
(3) 將以上分析組合，尋找聯系．
學力訓練
1. 如圖，PT是00的切線，T為切點，PB是00的割線，交00于A、B兩點，交弦CD于點
M,已知CM=10,MD=2,PA=MB=4，則PT的長為.
2. 如圖，PAB、PCD為00的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD=.
3. 如圖，AB是00的直徑，C是AB延長線上的一點，CD是00的切線，D為切點，過點B
作00的切線交CD于點F,若AB=CD=2，則CE=.
4. 如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=10，AC=6，以AC為直徑作圓與斜邊交于點P,則BP的長為(
7、)
A．6．4B．3．2C．3．6D．8
(第4題)(第5題)(第6題)
5. 如圖，00的弦AB平分半徑0C,交0C于P點，已知PA、PB的長分別為方程的兩根，則此圓的直徑為()
A．B．C．D．
6. 如圖，00的直徑Ab垂直于弦CD,垂足為H,點P是ACT上一點(點P不與A、C兩點重合)，連結PC、PD、PA、AD,點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F,給出下列四個結論:
T
①CH2=AH?BH；②AD=AC:③AD2=DF?DP；④ZEPC=ZAPD,其中正確的個數是()
A．1B．2C．3D．4
7. 如圖，BC是半圓的直徑，0為圓心，P是BC延長線上
8、一點，PA切半圓于點A,AD丄BC于點D．
(1) 若ZB=30。，問AB與AP是否相等?請說明理由；
(2) 求證：PD?PO=PC?PB；
⑶若BD：DC=4：l,且BC=10，求PC的長.
8. 如圖，已知PA切00于點A,割線PBC交00于點B、C，PD丄AB于點D，PD、A0的延長線相交于點E,連CE并延長交00于點F,連AF.
(1) 求證：△PBDs^peC；
(2) 若AB=12,tanZEAF=，求00的半徑的長.
9. 如圖，已知AB是00的直徑，PB切00于點B,PA交00于點C,PF分別交AB、BC于E、D,交00于F、G,且BE、BD恰哈好是關于x的方程
9、(其中為實數)的兩根.
(1)求證：BE=BD；(2)若GE?EF=，求ZA的度數.
(第7題)(第8題)(第9題)
10.如圖，△ABC中，點E,與AC相切于點D,
ZC=90°,0為AB上一點，以0為圓心，0B為半徑的圓與AB相交于
11.如圖，已知A、B、C、D在同一個圓上，BC=CD,AC與BD交于E,段BE、ED為正整數，則BD=.
若AC=8,CD=4，且線
(第11題)
12.如圖，P是半圓0的直徑BC延長線上一點，PA切半圓于點A,AH丄BC于H,若PA=1,
PB+PC=(>2)，則PH=()
A．B．C．D．
13.如圖，△ABC是00的內接正三角形，
10、弦EF經過BC的中點D,且EF〃AB，若AB=2，則DE的長為()
A.B.C.D.1
14.如圖，已知AB為00的直徑，C為00上一點，延長BC至D,使CD=BC,CE丄AD于E,
E交00于F,AF交CE于P,求證：PE=PC.
'(第14題)(第15題)
PEC是一條割線，D是AB與PC的交點，若PE=2,CD=1，
15.已知：如圖，ABCD為正方形，以D點為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的00相交于P、C兩點，連結AC、AP、CP，并延長CP、AP分別交AB、BC、0O于E、H、F三點，連結0F.
(1)求證：AAEPsACEA；(2)判斷
11、線段AB與0F的位置關系，并證明你的結論;
(3) 求BH:HC16.如圖，PA、PB是00的兩條切線,求DE的長.
17?如圖，00的直徑的長是關于x的二次方程(是整數)的最大整數根，P是00外一點,過點P作00的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B、C是直線PBC與00的交點，若
PA、PB、PC的長都是正整數，且PB的長不是合數，求PA+PB+PC的值.
圜U9幕定理
【例題求解】
例115由CD?DT=AB?DB,得DT=9,由PTl=PB?PA^PD^-DT1.即PB(PB+BA)=(.PB+BD)2^DT2，得PB
=15.
AC=BE=5,又ZBAC=ZACD
12、=ZABC,則AC=EC=AD=5,DC=AB=4,故DE
DC2
AD
16
例3(1)十ZC4B=90°,故PA是OO的切線;
(2) 設CE=6虹ED=5￡AE=2z,EB=3?rd>0,?r>0),由CE?DE=AE?EE,得30k2=6x2,/?工=^k,AE=2応b、BE=3礫，又FA2=DF?CF=EF?—AE2,即DF(DF+1嘆)=(DF+5妁？一(2島上嚴，解得DF=5H.?.DF=DE,即D為EF的中點，連結AD,則AD=DF=DE,^AF=AC,由FA?=DF?CF得&=50(5&+以+6?),解得代=???AB=AE十BE=5宓=10,tg^EC
13、B=tgZAEF=j￡=2.
DE_AEAE
EF~~EC3EC
EP^DE^EP
DE9^EF^DE
，即DE2=EF?EP?
例5⑴由厶OEFs^DAF,得霽=箸=焉=寺，即AF「2EF,又EF2=FB?FA-BF?2EF
???EF=2BF=8,AF=2EF=16,???A￡=AF—BF=12,FO=*AB+BF=10,cosZF=^=~|RFFFQ1
⑵由△BEFs"AF,得撫=斧=希=赤設BE=H則AE=2虹由AE2BE2=AB2得(2k)2k2=122，解得&=￥代^,故BE=■—
14、A=CB(AB+CB),得CB=^-1,連OD,由RtAODCcz)RtAEBC,得零=焉
4.A5,A6.C
7.(1)AB=AP；(2)PA2=PC?PB=PD?PO$(3)PC=￥?
o
8?(1)PA2=PB?PC^PD?戸￡,???器=鋁又ZP=ZP,???Z\PBDs/\PEC；
(2)作OG丄AB于G,PE〃AF,AG=*AB=6.???OG〃ED〃FA,???ZAOG=ZEAF,
AGo
tanZAOG=^=彳，OG=9,AO=VAG2+OG2=3/T3.
9?("△=一4(加+2)2$0,??5=—2?原方程為工2—6工+9=0?解得BE=BD=3；
(2)
15、AE?BE=GE?FE=6箱，二AE=2州易證△PBCs/\PAB，Z\PBDs/\PAE,
?BC
??麗
PB_BDBnBC_BD?.一yA_BC_BD顱一擊即麗_疋…呵"_麗_疋
3
2^3
李，故ZA=60°?
11. 7BD=CD=4,由厶BCEc^AACB得BC2=CE?AC,AE=6,CE=2?由BE?DE=AE?EC=12.BD=BE+ED
16、2^DE-1=Q9解得DE二氣二?
14. 連OC,則OC〃AD,可證明PC為?O切線，???PC2=PF?PA,又由△PEFs/\PAE,得PE2=PF?PA,故PC?=PE2,艮卩PC=PE?
15. (1)略(2)線段AB與OF是平行的，不妨設AB=BC=2a9連BP,BF,貝ijEA2=EP?EC,EB2=EP?EC,:.EB=
EA=a,又EC=辰，???，由△AEPco^CEA，得篠=黑，代AP=，又AB?=AP?AF,.??AF=
5ECAC5
庾《,又厶ABPc^^AFB,：.帶=器，得BF=42a,^￡/\OBF中，OB=OF=sBF=罷a,；*ZFOB=90°,又
17、AB丄OB,AAB//OF,
(3) VAB//OF,：，焉=鴿=盞=4又OH+BH=a,.，.BH=#a,CH=a+*a=罟,BH?CH=y.
16. 連PO交AB于H,設DE=才，則PA2=PE-PC=2Q+3),在Rt^APH中，AP?=AH*+PH,
即AH?+PH2=2(z+3)①，在RtAPHD中，PH?+DH?=Q+2尸②，又AD?DB=ED?DC,
而AD?DB=(.AH-DH)(AH+DH)=AH2-DH2,：.AH2-DH2=j:?1③，由①②③
得(乂+2尸+乂=2(乂+3),解得DE=z=律_3.
17. 設方程兩根為T|,丄1￡心，則-fl+衛(wèi)=4—2怡①
18、，工口2=怡②.
由題設及①知,口、比都是整數，從①、②消去以得
(2t,+1)(2也+1)w9,*W4‘且當怡V0時，乜=4*故最大的整數根為4,于是?O的宜徑為4,所以BCW4
VBC=PC-PB為正整數，/.BC=1,2,3或4
連結AB.AC,由厶PABsAPCA，得PA!PBCPB+BC)③
(1)當EC=1時，由③得,pa2=PB2+PB,于是PB!
2019-2020年九年級數學競賽輔導講座 第二十二講 園冪定理
