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1、2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座第五講一元二次方程的整
數(shù)整數(shù)解
在數(shù)學課外活動中,在各類數(shù)學競賽中,一元二次方程的整數(shù)解問題一直是個熱點,它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識相結(jié)合,涉及面廣,解法靈活,綜合性強,備受關注,解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問題的基本策略有:
從求根入手,求出根的有理表達式,利用整除求解;
從判別式手,運用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍,或引入?yún)?shù)(設△=),通過窮舉,逼近求解;
從韋達定理入手,從根與系數(shù)的關系式中消去參數(shù),得到關于兩根的不定方程,借助因數(shù)分解、因式分解求解;
從變更主元入人,當方程中參數(shù)次數(shù)較低時,可考慮以參數(shù)為主元求
2、解.注:一元二次方程的整數(shù)根問題,既涉及方程的解法、判別式、韋達定理等與方程相關的知識,又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識密切相關.
【例題求解】
【例1】若關于的方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54=0的解都是整數(shù),則符合條件的整數(shù)
是的值有個.
思路點撥用因式分解法可得到根的簡單表達式,因方程的類型未指明,故須按一次方程、二次方程兩種情形討論,這樣確定是的值才能全面而準確.
注:系數(shù)含參數(shù)的方程問題,在沒有指明是二次方程時,要注意有可能是一次方程,根據(jù)問題的題設條件,看是否要分類討論.
【例2】已知、為質(zhì)數(shù)且是方程的根,那么的值是()
A.B.C.
3、D.
思路點撥由韋達定理、的關系式,結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求出、的值.
【例3】試確定一切有理數(shù),使得關于的方程有根且只有整數(shù)根.
思路點撥由于方程的類型未確定,所以應分類討論.當時,由根與系數(shù)關系得到關于r的兩個等式,消去r利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根.
【例4】當為整數(shù)時,關于的方程是否有有理根?如果有,求出的值;如果沒有,請說明
理由.
思路點撥整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù).
設△二(2m+1)2-4(2m-1)=4m2-4m+5=(2m-1)2+4=n2(為整數(shù))解不定方程,討論的存在性.
注:一元二次方程(aMO)而言,方程的根為整數(shù)必為有理數(shù),而△二為完全平
4、方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件.
【例5】若關于的方程至少有一個整數(shù)根,求非負整數(shù)的值.
思路點撥因根的表示式復雜,從韋達定理得出的的兩個關系式中消去也較困難,又因的次數(shù)低于的次數(shù),故可將原方程變形為關于的一次方程.
學歷訓練
1?已知關于的方程的根都是整數(shù),那么符合條件的整數(shù)有—?
2. 已知方程有兩個質(zhì)數(shù)解,則m=.
3. 給出四個命題:①整系數(shù)方程(aMO)中,若△為一個完全平方數(shù),則方程必有有理根;
②整系數(shù)方程(aMO)中,若方程有有理數(shù)根,則△為完全平方數(shù);③無理數(shù)系數(shù)方程(aMO)的根只能是無理數(shù);④若、均為奇數(shù),則方程沒有有理數(shù)根,其中真命題.
4. 已知關于
5、的一元二次方程(為整數(shù))的兩個實數(shù)根是、則=.
5.設rn為整數(shù),且4〈m〈40,方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有兩個整數(shù)根,求m的值及方程的根.
6.已知方程ax2-(3a2—8a)x+2a2—13a+15=0(aMO)至少有一個整數(shù)根,求的值.7.求使關于的方程的根都是整數(shù)的值.
8. 當為正整數(shù)時,關于的方程2x2—8nx+10x—n2+35n—76=0的兩根均為質(zhì)數(shù),試解此方程.
9. 設關于的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的兩根都是整數(shù),試求滿足條件的所有實數(shù)的值.
10. 試求所有這樣的正整數(shù),使得方程至少有一個整數(shù)解
6、.
11.已知為質(zhì)數(shù),使二次方程的兩根都是整數(shù),求出的所有可能值.
12.已知方程及分別各有兩個整數(shù)根、及、,且>O,>O.
(1) 求證:〈O,〈O,〈O,〈O;
(2) 求證:;
(3) 求、所有可能的值.
13.如果直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù),且是方程的根(為整數(shù)),這樣的直角三角形是否存在?若存在,求出滿足條件的所有三角形的三邊長;若不存在,請說明理由.
參考答案
⑤一元二次方程的整數(shù)解
【例題求解】
例15當A6時,得工=2;當怡=9時,得±=—3,當AH6且"H9時,解得4=吉,乜=占,當6T=士1,±3,±9
時.xi是整數(shù),這時人=7,5,3,15,—
7、3;當9一怡=±1,土2,士3,士6時,為是整數(shù),這時A=10,8,11,7,12,15,3.綜上所述^=3,6,7,9,15時原方程的解為整數(shù).
例2選Ba+6=13,則a,6為2,ll,c=a6=22.
例3(1)當r=O時,得x=y不是整數(shù);
(2)當A?工0時,設方程的兩根為Tt,(X1),則X1+X2=—~~'X2=~~~于是,2±1工2—(心+?!>)=
2(二9)+匚嚴=3,有(2q—1)(2乜-1〉=7':Xi,x2為整數(shù),且X!
8、(n+2w—l)(n—2加+1〉=4
Vn+(2m—1)與n—(2m—l)奇偶性相同,故只可能有P+(2w,“'或(“+⑵"1)-[解得2m-l=0
In—(2m—1)=2In~(2ni—1)=—2
此與m為整數(shù)矛盾,故△不可能為完全平方數(shù),方程不可能有有理根.
例50=」鳥篇1=(:;箒羅1①,解得;一2<^6且工工一1山=一2,0,1,2,3,4,5,6
分別代入①,得a=1,13,(a的分數(shù)值已舍去〉
【學力訓練】
1.5當a=l時,x=l,當aHl時,Ti=1,x2=—1—2.39943.①②④4.±1
5.A=4(2m+1)為完全平方數(shù),又m為4
9、=12或24.當m=\2時,勸=16,曲=26;當觀=24時,七=
3c
6.顯然=2——,^4=1—從而可得a=l,3或5.
7-當人=0時.x=l,當*工1時,設兩個整數(shù)根為?,工門則有pl+x2=—1—-7-①
①一②,得?+工2_工1氐=2
②
38,4=52.
|X]X2—1——
???(x1-1)(x2-1)=3=1X3=(-1)X(-3)^得工|+孔=6或勸+孔=一2?
即_1_+=6或_l-y=-2,解得h=-寺或4=1,故滿足要求的g值為
&設兩質(zhì)數(shù)根為4、亞,則心+孔=4”一5為奇數(shù),q、孔必一奇--偶,不妨設小=2,代入原方程得n2-19n+48=0.
10、解得=16??2=3,當”=16時,£2=57$當72=3時,龍2=5.
9-4=一1一總皿=一1一占,消去k得x1xj+3x1+2=0.即m(m+3)=-2.
■:(工】=_2
Ix2+3=1
nf仝\
a=(z+2)2,解得—4£工£2,討論得“=1,3,6,10.
Xi=1
衛(wèi)+3=—2
工嚴2,
從而得代=6,3,¥?
觀=一4.$
u.A=4p2-4(,一5p—l)=4(5p+l)為完全平方數(shù),從而5p+l為完全平方數(shù)?令5p+l=『,注意到/>>2,故W>4,且?為整數(shù),于是5p=(n+l)(n—1).則“+1、”一1中至少有一個是5的倍數(shù),即”=5點±1
11、(點為整數(shù)).*.5p+l=25護±1M+l"=駅5丘土2).
由P為質(zhì)數(shù),5怡士2>1知A=l,p=3或7,當0=3時,原方程變?yōu)椴乓?工一7=0,得工】=一1,比=7;當p=7時,原方程變?yōu)閤2-14x+13=0,得工i=l,總=13.所以,/>=3或7.
12. <1)假設Xi>0,由X]T2>0知t2>0,Xi+^2=~h=—.還與已知Xi^2>0,^\^/2>0矛盾,故?<0,業(yè)V0,同理
jc1<0*衛(wèi)gV?0.
(2) c—(6—l)=Xix2+工]+忌+1=(工1+1)(工2+1)^0,故c^b—1,對于方程x2十工+5=0進行同樣討論,得b^c—1,綜上有6-lWcW
12、b+l.
(3) ①當c=b+l時x2=-x1-x2+l.從而(^+1)(^+1)=2=(-l)X(-2)=1X2.
(工1+1=—1匕1+1=—2
故,c或由此算出&=5"=6符合題意*
IJ-2+1?—2Ix2+1——1
② 當c=b9有小勸=—(工1+比〉,從而(4+l)(x2+1)=1,因此,4=孔=—2+故b=w=4、符合題意.
③ 當c=bT時,&=c+l,對方程ri+cx+b=0作類似①討論有方=6丄=5,綜上所述得三組值.(趴C=(6,5),(5,6),(4,4).
13. 鞏2=片化廠皿+1,當勿=1時,丄=2或0,這樣的直角三角形不存在,假設還存在不為0或1的整數(shù)加,使得方程有整數(shù)抿,則m2—zw+1=A2(A為整數(shù))*即m2—m—k1~1,必有m(m—1)=(^—1)(^+1),而m(m—l)是兩個連續(xù)的不為0的整數(shù)的乘積,但是U-1)和d+l)、l和(k2~l)都不是連續(xù)整數(shù),故m^O且時,旳2—砒+1不是某整數(shù)的平方.綜上所述,滿足條件的直角三角形不存在.