數(shù)學(xué)第五章 平面向量與解三角形 5.2 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

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1、5.2 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)考點一平面向量的數(shù)量積考點一平面向量的數(shù)量積1.向量的數(shù)量積的定義(1)向量a與b的夾角已知兩個非零向量a和b,過O點作=a,=b,則AOB=(0180)叫做向量a與b的夾角.當(dāng)=90時,a與b垂直,記作ab;當(dāng)=0時,a與b同向;當(dāng)=180時,a與b反向.(2)a與b的數(shù)量積已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為,則把|a|b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab=|a|b|cos .OAOB知識清單(3)規(guī)定:0a=0.(4)ab的幾何意義a.一個向量在另一個向量方向上的投影設(shè)是非零向量a與b的夾角,則|a|cos 叫做a在b的方向上

2、的投影,|b|cos 叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一個實數(shù),而不是向量.當(dāng)090時,它是正值;當(dāng)90180時,它是負值;當(dāng)=90時,它是0.b.ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積.2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則(1)ea=ae=|a|cos ;(2)ab ab=0 ;(3)當(dāng)a與b同向時,ab=|a|b|,當(dāng)a與b反向時,ab=-|a|b|,特別地,aa=|a|2;(4)亦為a、b的夾角,且cos = ;(5)|ab|a|b|.3.向量的數(shù)量積的運算律(1)ab=ba.(2)(a)b=

3、(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.| |a bab(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|=,這就是平面內(nèi)兩點間的距離公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab x1x2+y1y2=0 .5.向量中的重要不等式a=(x1,y1),b=(x2,y2),則-|a|b|ab|a|b|-x1x2+y1y2. 22xyAB222121()()xxyy2211xy2222xy2211xy2222xy4.平面向量的

4、數(shù)量積的坐標表示考點二向量的綜合應(yīng)用考點二向量的綜合應(yīng)用1.向量的坐標表示與運算可以大大簡化向量數(shù)量積的運算.由于有關(guān)長度、角度和垂直的問題可以利用向量的數(shù)量積來解決,因此我們可以利用表示向量的直角坐標求出向量的長度、平面內(nèi)兩點間的距離、兩個向量的夾角,判斷兩向量是否垂直.2.用向量法證明幾何問題的基本思想:將問題中有關(guān)幾何量表示為向量,然后根據(jù)圖形的性質(zhì)和特點,應(yīng)用向量的運算法則,推出所要求證的結(jié)論.要注意挖掘題目中,特別是幾何圖形中的隱含條件.3.證明直線平行、垂直,線段相等等問題的基本方法:(1)要證AB=CD,可轉(zhuǎn)化為證明=或|=|;(2)要證ABCD,只要證存在一實數(shù)0,使等式=成立

5、即可;2AB2CDABCDABCD(3)要證ABCD,只需證=0.ABCD 平面向量數(shù)量積、向量長度與夾角的解題策略平面向量數(shù)量積、向量長度與夾角的解題策略1.求平面向量夾角的方法:(1)向量是坐標形式時,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則cos =,其中為向量a,b的夾角,0,.(2)向量不是坐標形式時,cos =,其中為向量a,b的夾角,0,.2.利用向量數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用,此類問題的處理方法為:(1)|a|=;(2)|ab|2=(ab)2=a22ab+b2;(3)若a=(x,y),則|a|=.121222221122x xy yxyxy| |a bab2aa a

6、22xy方法技巧方法1例1 (2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷三,13)已知向量a,b滿足|a-b|=1且|a|=2|b|,則ab的最小值為 ,此時a與b的夾角是 .解題導(dǎo)引 設(shè)|b|=x,把ab表示成關(guān)于x的函數(shù)利用余弦函數(shù)的有界性得x的取值范圍得結(jié)論解析設(shè)|b|=x,向量a與b的夾角為,則有ab=2x2cos .由1=|a-b|2=4x2+x2-2ab,得ab=.從而有=2x2cos ,即cos =,則-11,解得x21,從而ab=,故ab的最小值為-.此時cos =-1,又0,所以=.2512x 2512x 22514xx22514xx192512x 2,2929答案-; 29 平面向量應(yīng)用的

7、解題策略平面向量應(yīng)用的解題策略1.平面幾何中三角形的四“心”,即三角形的內(nèi)心、重心、垂心、外心.在引入向量這個工具后,三角形ABC(內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c)的四“心”的向量表示為:(1)O為內(nèi)心a+b+c=0.(2)O為重心+=0.(3)O為垂心=.(4)O為外心|=|=|.2.向量在平面幾何中的應(yīng)用向量集數(shù)與形于一身,既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性,因而向量是研究幾何問題的一個有力工具.向量在幾何中的應(yīng)用:證明平行;證明OAOBOCOAOBOCOAOBOAOCOBOCOAOBOC方法2垂直;求夾角;求線段長度.例2已知O是ABC的外心,有AB=6,AC=10,若=x+y,且

8、2x+10y=5,則cosBAC= .AOABAC解題導(dǎo)引 導(dǎo)引一:利用外心的性質(zhì)得到關(guān)于x,y和cos BAC的等式分x=0和x0討論,得結(jié)論導(dǎo)引二:將向量等式=x+y進行變形當(dāng)x0時,利用三點共線得結(jié)論當(dāng)x=0時,由幾何性質(zhì)得結(jié)論 AOABAC解析解法一:設(shè)AC的中點為D,則有=+,故=(+)=+=|2=50,=(x+y)=x+y|2=60 xcosBAC+100y=50,即有6xcosBAC+10y=5,故有6xcosBAC=2x.當(dāng)x0時,解得cosBAC=.當(dāng)x=0時,則y=,從而點O為AC的中點,此時ABC是以角B為直角的三角形,得cosBAC=.解法二:設(shè)AC的中點為D,則有=+2y.設(shè)=,=,則有=+2y,AOADDOAOACADDOACADACDOAC12ACAOACABACACABACAC131261035AO25x52AB2ACAE52ABAD2ACAO25xAEAD當(dāng)x0時,+2y=1,故O,D,E三點共線,即有cosBAC=.當(dāng)x=0時,有y=,故O為AC的中點,此時ABC是以角B為直角的三角形,得cosBAC=. 25x|ADAE515131261035答案 或 1335