2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練6 組合的綜合應(yīng)用 新人教A版選修2-3

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1、課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(六) 組合的綜合應(yīng)用 (時(shí)間45分鐘) 題型對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間20分鐘) 題組一　有限制條件的組合問題 1．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張．不同取法的種數(shù)為(　　) A．232 B．252 C．472 D．484 [解析]　若沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色則有C×C×C＝64種不同的取法，若2張同色，則有C×C×C×C＝144種不同的取法；若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有C×C×C×C＝192種，剩余2張同色，則有C×C×C＝72種不同的取

2、法，所以共有64＋144＋192＋72＝472種不同的取法． [答案]　C 2．某計(jì)算機(jī)商店有6臺(tái)不同的品牌機(jī)和5臺(tái)不同的兼容機(jī)，從中選購5臺(tái)，且至少有品牌機(jī)和兼容機(jī)各2臺(tái)，則不同的選購方法有(　　) A．1050種 B．700種 C．350種 D．200種 [解析]　分兩類：①從6臺(tái)不同的品牌機(jī)中選3臺(tái)和從5臺(tái)不同的兼容機(jī)中選2臺(tái)；②從6臺(tái)不同的品牌機(jī)中選2臺(tái)和從5臺(tái)不同的兼容機(jī)中選3臺(tái)．所以有CC＋CC＝350種不同的選購方法． [答案]　C 3．某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加

3、比賽，則不同的選派方法共有(　　) A．56種 B．68種 C．74種 D．92種 [解析]　根據(jù)劃左舷中有“多面手”人數(shù)的多少進(jìn)行分類：劃左舷中沒有“多面手”的選派方法有CC種，有一個(gè)“多面手”的選派方法有CCC種，有兩個(gè)“多面手”的選派方法有CC種，即共有20＋60＋12＝92種不同的選派方法． [答案]　D 題組二　分組(分配)問題 4．將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1人，最多2人，則不同的分配方案有(　　) A．30種 B．90種 C．180種 D．270種 [解析]　先將5名教師分成3組，有＝15種分法，再將3組分配到3個(gè)不同班級(jí)有A＝6

4、種分法，故共有15×6＝90種方案． [答案]　B 5．從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是________．(用數(shù)字作答) [解析]　分三類：①選1名骨科醫(yī)生，則有C(CC＋CC＋CC)＝360(種)；②選2名骨科醫(yī)生，則有C(CC＋CC)＝210(種)；③選3名骨科醫(yī)生，則有CCC＝20(種)，∴骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是360＋210＋20＝590. [答案]　590 6．某中學(xué)實(shí)習(xí)的5名大學(xué)畢業(yè)生需到A，B，C，D 4個(gè)班級(jí)當(dāng)輔導(dǎo)員，每班至少一名輔導(dǎo)員，且A班必須有

5、兩名輔導(dǎo)員，則不同的分配方法有多少種？ [解]　第一步，把5名大學(xué)畢業(yè)生分成人數(shù)為2,1,1,1的四份，有＝C種分法； 第二步，把分好的四份分配給A，B，C，D 4個(gè)班級(jí)，有A種分法． 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得總共的分配方法種數(shù)為CA＝60種． 題組三　排列、組合的綜合應(yīng)用 7．從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．300 B．216 C．180 D．162 [解析]　分兩類情況：一類不含0，有CA＝72個(gè)數(shù)，一類含0，有CCCA＝108個(gè)數(shù)．共有72＋108＝180個(gè)數(shù)．故選C. [答案]　C 8．

6、兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有(　　) A．10種 B．15種 C．20種 D．30種 [解析]　分三種情況：恰好打3局，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2C＝6種情況；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2C＝12種情形．所有可能出現(xiàn)的情形種數(shù)為2＋6＋12＝20. [答案]　C 9．有4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)． (1)共有幾種放法？ (2)恰有2個(gè)盒子不放球，有幾種放法？ [解]　(1)44＝256(種)． (2

7、)恰有2個(gè)盒子不放球，也就是把4個(gè)不同的小球只放入2個(gè)盒子中，有兩類放法：第一類，1個(gè)盒子放3個(gè)小球，1個(gè)盒子放1個(gè)小球，先把小球分組，有C種，再放到2個(gè)小盒中有A種放法，共有CA種放法；第二類，2個(gè)盒子中各放2個(gè)小球有CC種放法，故恰有2個(gè)盒子不放球的方法共有CA＋CC＝84種放法． 綜合提升練(時(shí)間25分鐘) 一、選擇題 1．市內(nèi)某公共汽車站有6個(gè)候車位(成一排)，現(xiàn)有3名乘客隨便坐在某個(gè)座位上候車，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是(　　) A．48 B．54 C．72 D．84 [解析]　根據(jù)題意，先將3名乘客進(jìn)行全排列，有A＝6(種)排法，排好后，有4個(gè)空檔，再

8、將1個(gè)空位和余下的兩個(gè)連續(xù)的空位插入4個(gè)空檔中，有A＝12(種)方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6×12＝72(種)候車方式．選C. [答案]　C 2．房間里有5個(gè)電燈，分別由5個(gè)開關(guān)控制，至少開一個(gè)燈用以照明，則不同的開燈方法種數(shù)為(　　) A．32 B．31 C．25 D．10 [解析]　因?yàn)殚_燈照明只與開燈的多少有關(guān)，而與開燈的先后順序無關(guān)，這是一個(gè)組合問題．開1個(gè)燈有C種方法，開2個(gè)燈有C種方法……5個(gè)燈全開有C種方法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的開燈方法有C＋C＋…＋C＝31(種)． [答案]　B 3．已知一組曲線y＝ax3＋bx＋1，其中a為2,4,6,8中的任意

9、一個(gè)，b為1,3,5,7中的任意一個(gè)．現(xiàn)從這些曲線中任取兩條，它們在x＝1處的切線相互平行的組數(shù)為(　　) A．9 B．10 C．12 D．14 [解析]　y′＝ax2＋b，曲線在x＝1處切線的斜率k＝a＋b.切線相互平行，則需它們的斜率相等，因此按照在x＝1處切線的斜率的可能取值可分為5類完成． 第一類：a＋b＝5，則a＝2，b＝3；a＝4，b＝1.故可構(gòu)成兩條曲線，有C組． 第二類：a＋b＝7，則a＝2，b＝5；a＝4，b＝3；a＝6，b＝1.可構(gòu)成三條曲線，有C組． 第三類：a＋b＝9，則a＝2，b＝7；a＝4，b＝5；a＝6，b＝3；a＝8，b＝1.可構(gòu)成四條曲線，有C

10、組． 第四類：a＋b＝11，則a＝4，b＝7；a＝6，b＝5；a＝8，b＝3.可構(gòu)成三條曲線，有C組． 第五類：a＋b＝13，則a＝6，b＝7；a＝8，b＝5.可構(gòu)成兩條曲線，有C組． 故共有C＋C＋C＋C＋C＝14(組)．所以選D. [答案]　D 二、填空題 4．從0,2,4中取一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中取兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則所有不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是________． [解析]　從0,2,4中取一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中取兩個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列，然后在得到的排列中去掉首數(shù)字為0的即滿足題意，因此共有CCA－A＝3×3×6－6＝48個(gè)不同的三位數(shù)． [答案]　48 5．

11、有10只不同的試驗(yàn)產(chǎn)品，其中有4只次品，6只正品，現(xiàn)每次取1只測試，直到4只次品全測出為止，則最后1只次品正好在第五次測試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情形有________種． [解析]　解法一：設(shè)想有五個(gè)位置，先從6只正品中任選1只，放在前四個(gè)位置的任一個(gè)位置上，有CC種方法；再把4只次品在剩下的四個(gè)位置上任意排列，有A種排法．故不同的情形種數(shù)為CCA＝576. 解法二：設(shè)想有五個(gè)位置，先從4只次品中任選1只，放在第五個(gè)位置上，有C種方法；再從6只正品中任選1只，和剩下的3只次品一起在前四個(gè)位置上任意排列，有CA種方法．故不同的情形種數(shù)為CCA＝576. [答案]　576 三、解答題 6．在一次

12、數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級(jí)培訓(xùn)，在下列條件下，有多少種不同的選法？ (1)任意選5人； (2)甲、乙、丙三人必須參加； (3)甲、乙、丙三人不能參加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加； (5)甲、乙、丙三人至少1人參加． [解]　(1)C＝792(種)不同的選法． (2)甲、乙、丙三人必須參加，只需從另外的9人中選2人，共有C＝36(種)不同的選法． (3)甲、乙、丙三人不能參加，只需從另外的9人中選5人，共有C＝126(種)不同的選法． (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，分兩步，先從甲、乙、丙中選1人，有C＝3(種)選法，再從另

13、外的9人中選4人有C種選法，共有CC＝378(種)不同的選法． (5)解法一：(直接法)可分為三類： 第一類，甲、乙、丙中有1人參加，共有CC種， 第二類，甲、乙、丙中有2人參加，共有CC種； 第三類，甲、乙、丙3人均參加，共有CC種． 共有CC＋CC＋CC＝666(種)不同的選法． 解法二：(間接法)12人中任意選5人共有C種， 甲、乙、丙三人都不參加的有C種， 所以，共有C－C＝666(種)不同的選法． 7．現(xiàn)有5位同學(xué)準(zhǔn)備一起做一項(xiàng)游戲，他們的身高各不相同．現(xiàn)在要從他們5個(gè)人當(dāng)中選出若干人組成A，B兩個(gè)小組，每個(gè)小組都至少有1人，并且要求B組中最矮的那個(gè)同學(xué)的身高要比A

14、組中最高的那個(gè)同學(xué)還要高．則不同的選法共有多少種？ [解]　給5位同學(xué)按身高的不同由矮到高分別編號(hào)為1,2,3,4,5，組成集合M＝{1,2,3,4,5}． ①若小組A中最高者為1，則能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{2,3,4,5}的非空子集，這樣的子集有C＋C＋C＋C＝24－1＝15(個(gè))，所以不同的選法有15種； ②若A中最高者為2，則這樣的小組A有2個(gè)：{2}，{1,2}，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{3,4,5}的非空子集，這樣的子集(小組B)有23－1＝7(個(gè))，所以不同的選法有2×7＝14(種)； ③若A中最高者為3，則這樣的小組A有4個(gè)：{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是{4,5}的非空子集，這樣的子集(小組B)有22－1＝3(個(gè))，所以不同的選法有4×3＝12(種)； ④若A中最高者為4，則這樣的小組A有8個(gè)：{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4)，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B只有{5}1個(gè)，所以不同的選法有8種． 綜上，所有不同的選法有15＋14＋12＋8＝49(種). 6