2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十單元 計數(shù)原理 、概率與統(tǒng)計 第80講 概率與統(tǒng)計的綜合問題練習(xí) 理(含解析)新人教A版

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1、第80講 概率與統(tǒng)計的綜合問題 1.(2018·湖北5月沖刺試題)有120粒試驗種子需要播種,現(xiàn)有兩種方案:方案一:將120粒種子分種在40個坑內(nèi),每坑3粒;方案二:120粒種子分種在60個坑內(nèi),每坑2粒,如果每粒種子發(fā)芽的概率為0.5,并且,若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個坑不需要補種;若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽,則這個坑需要補種(每個坑至多補種一次,且第二次補種的種子顆粒同第一次).假定每個坑第一次播種需要2元,補種1個坑需1元;每個成活的坑可收獲100粒試驗種子,每粒試驗種子收益1元. (1)用ξ表示播種費用,分別求出兩種方案的ξ的數(shù)學(xué)期望; (2)用η表示收益,分別求出兩種方案

2、的收益η的數(shù)學(xué)期望; (3)如果在某塊試驗田對該種子進行試驗,你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方案? (1)方案一:用X1表示一個坑播種的費用,則X1可取2,3. X1 2 3 P ()3 所以E X1=2×+3×=.所以Eξ1=40×E X1=85元. 方案二:用X2表示一個坑播種的費用,則X2可取2,3. X2 2 3 P ()2 所以E X2=2×+3×=. 所以Eξ2=60×E X2=135元. (2)方案一:用Y1表示一個坑的收益,則Y1可取0,100. Y1 0 100 P ()2 所以E Y1=100×=.所以Eη1=40×E Y1=

3、3937.5元. 方案二:用Y2表示一個坑的收益,則Y2可取0,100. Y2 0 100 P ()2 所以E Y2=100×=,所以Eη2=60×E Y2=5625元. (3)方案二所需的播種費用比方案一多50元,但是收益比方案一多1687.5元,故應(yīng)選擇方案二. 2.(2018·長春二模)某種植園在芒果臨近成熟時,隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果,其質(zhì)量分別在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400)(單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示. (1)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為[250

4、,300),[300,350)的芒果中隨機抽取9個,再從這9個中隨機抽取3個,記隨機變量X表示質(zhì)量在[300,350)內(nèi)的芒果個數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望; (2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值,將頻率視為概率,某經(jīng)銷商來收購芒果,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個,經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案: A:所有芒果以10元/千克收購; B:對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購,高于或等于250克的以3元/個收購. 通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多. (1)9個芒果中,質(zhì)量在[250,300)和[300,350)內(nèi)的分別有6個和3個. 則X的可能取值為0,1,

5、2,3. P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學(xué)期望EX=0×+1×+2×+3×=1. (2)方案A: (125×0.002+175×0.002+225×0.003+275×0.008+325×0.004+375×0.001)×50×10000×10×0.001=25750元 方案B: 低于250克:(0.002+0.002+0.003)×50×10000×2=7000元, 高于或等于250克(0.008+0.004+0.001)×50×10000×3=19

6、500元, 總計7000+19500=26500元. 由25750<26500,故B方案獲利更多,應(yīng)選B方案. 3.(2018·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖: (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由. (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)

7、表: 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異? 附:K2=, P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . (1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 理由如下: (ⅰ)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少為80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多為79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. (ⅱ)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的

8、工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. (ⅲ)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時間高于80分鐘;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時間低于80分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. (ⅳ)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完

9、成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. (以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分) (2)由莖葉圖知m==80. 列聯(lián)表如下: 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)因為K2==10>6.635, 所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異. 4.(2018·武漢調(diào)研測試)在某市高中某學(xué)科競賽中,某一個區(qū)4000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示. (1)求這4000名考生的競賽平均成績(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表); (2)由直方

10、圖可認(rèn)為考生競賽成績z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分別取考生的平均成績和考生成績的方差s2,那么該區(qū)4000名考生成績超過84.41分(含84.81分)的人數(shù)估計有多少人? (3)如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計全市的參賽考生的成績情況,現(xiàn)從全市參賽考生中隨機抽取4名考生,記成績不超過84.81分的考生人數(shù)為ξ,求P(ξ≤3).(精確到0.001) 附:①s2=204.75,=14.31; ②z~N(μ,σ2),則P(μ-σ

11、55 65 75 85 95 概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 所以=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5, 所以4000名考生的競賽平均成績x為70.5分. (2)依題意z服從正態(tài)分布N(μ,σ2), 其中μ==70.5,σ2=Dξ=204.75,σ=14.31, 所以z服從正態(tài)分布N(μ,σ2)=N(70.5,14.312), 而P(μ-σ

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