2020屆高考數(shù)學一輪總復習 課時跟蹤練（三十）平面向量的數(shù)量積及其應用 理（含解析）新人教A版

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1、課時跟蹤練(三十) A組　基礎鞏固 1．(2019·開封一模)已知向量a＝(m－1，1)，b＝(m，－2)，則“m＝2”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：當m＝2時，a＝(1，1)，b＝(2，－2)， 所以a·b＝(1，1)·(2，－2)＝2－2＝0， 所以充分性成立； 當a⊥b時， a·b＝(m－1，1)·(m，－2)＝m(m－1)－2＝0， 解得m＝2或m＝－1，必要性不成立， 所以“m＝2”是“a⊥b”的充分不必要條件． 答案：A 2．設向量a，b滿足|a＋b|＝4，a·b＝1，

2、則|a－b|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 解析：由|a＋b|＝4，a·b＝1，得a2＋b2＝16－2＝14， 所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝14－2×1＝12， 所以|a－b|＝2. 答案：B 3．(2019·唐山質(zhì)檢)若向量a＝，向量b＝(1，sin 22.5°)，則a·b＝(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 解析：由題意知a·b＝tan 67.5°＋ ＝－ ＝ ＝＝＝2. 答案：A 4．(2019·石家莊二模)若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為(　　) A.

3、 B. C. D. 解析：設|b|＝1，則|a＋b|＝|a－b|＝2. 由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0， 故以a、b為鄰邊的平行四邊形是矩形，且|a|＝， 設向量a＋b與a的夾角為θ， 則cos θ＝＝＝＝， 因為0≤θ≤π，所以θ＝. 答案：D 5．(2019·九江二模)在Rt△ABC中，AB＝AC，點M、N是線段AC的三等分點，點P在線段BC上運動且滿足＝k，當·取得最小值時，實數(shù)k的值為(　　) A. B. C. D. 解析：建立平面直角坐標系，如圖所示， 設AB＝AC＝3，P(x，3－x)(0≤x≤3)， 則M(1，0)，N(2，

4、0)， 則·＝2x2－9x＋11＝2＋， 所以當x＝時，·取到最小值，此時P， 所以k＝＝. 答案：C 6．在△ABC中，三個頂點的坐標分別為A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B為直角頂點的直角三角形，則t＝________． 解析：由已知，得·＝0， 即(3－t，t＋1)·(－3－t，0)＝0， 所以(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3， 當t＝－3時，點B與點C重合，舍去．故t＝3. 答案：3 7．[一題多解](2017·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________． 解析：

5、法一　|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝＝2. 法二(數(shù)形結合法) 由|a|＝|2b|＝2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝||. 又∠AOB＝60°， 所以|a＋2b|＝2. 答案：2 8．(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，則λ的值為________． 解析：由＝2得＝＋， 所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·， 又·＝3×2×cos 60°＝3，2＝9，2＝4， 所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，解得λ＝. 答案： 9．在平面直角坐標系xOy中，點A(

6、－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)． (1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長； (2)設實數(shù)t滿足(－t)·＝0，求t的值． 解：由題意知＝(3，5)，＝(－1，1)，則＋＝(2，6)，－＝(4，4)． 所以|＋|＝2，|－|＝4. 故所求的兩條對角線的長分別為4，2. (2)由題設知，＝(－2，－1)， －t＝(3＋2t，5＋t)． 由(－t)·＝0，得 (3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 從而5t＝－11，所以t＝－. 10．(2017·江蘇卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥

7、b，求x的值； (2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值． 解：(1)因為a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b， 所以－cos x＝3sin x. 若cos x＝0，則sin x＝0，與sin2x＋cos2x＝1矛盾， 故cos x≠0.于是tan x＝－. 又x∈[0，π]，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos . 因為x∈[0，π]，所以x＋∈， 從而－1≤cos≤， 于是，當x＋＝，即x＝0時，f(x)取得最大值3； 當x＋＝π，即x＝時，f(x)

8、取得最小值－2. B組　素養(yǎng)提升 11．(2019·廣雅中學聯(lián)考)已知a＝(－2，1)，b＝(k，－3)，c＝(1，2)，若(a－2b)⊥c，則|b|＝(　　) A．3 B．3 C．2 D. 解析：由題意得a－2b＝(－2－2k，7)，因為(a－2b)⊥c， 所以(a－2b)·c＝0，即(－2－2k，7)·(1，2)＝0，即－2－2k＋14＝0，解得k＝6， 所以|b|＝＝3. 答案：A 12．(2019·“超級全能生”全國聯(lián)考)在△ABC 中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中點，E在BC上，且AE⊥BD，則·等于(　　) A．16 B．12

9、C．8 D．－4 解析：以B為原點，BA，BC所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)．設E(0，t)，因為AE⊥BD，所以·＝(2，3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0， 所以t＝，即E. ·＝·(0，6)＝16. 答案：A 13．(2019·長郡中學聯(lián)考)已知非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，則向量a＋b與a－b的夾角為________． 解析：由|a＋b|＝|a－b|，知a⊥b，則a·b＝0， 將|a＋b|＝|a|兩邊平方，得a2＋b2＋2a·b＝a2，所以b2＝a2. 設a＋b與a－b的

10、夾角為θ， 所以cos θ＝＝＝＝. 又因為θ∈[0，π]，所以θ＝. 答案： 14．已知A，B，C分別為△ABC的三邊a，b，c所對的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，且m·n＝sin2C. (1)求角C的大?。? (2)若sin A，sin C，sin B成等差數(shù)列，且·(－)＝18，求邊c的長． 解：(1)由已知得m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)， 因為A＋B＋C＝π， 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以m·n＝sin C， 又m·n＝sin 2C， 所以sin 2C＝sin C，所以cos C＝. 又0＜C＜π，所以C＝. (2)由已知得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c＝a＋b. 因為·(－)＝·＝18， 所以abcos C＝18，所以ab＝36. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab， 所以c2＝4c2－3×36， 所以c2＝36，所以c＝6. 6