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1、 本科生畢業(yè)論文題 目: 拉格朗日插值和牛頓插值多項(xiàng)式的C程序算法專(zhuān)業(yè)代碼: 070101 作者姓名: 學(xué) 號(hào): 單 位: 08級(jí)1班 指導(dǎo)教師: 2012年 5月 20 日原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明: 所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下, 獨(dú)立進(jìn)行研究取得的成果. 除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外, 論文中不含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果, 也不包含為獲得*大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位證書(shū)而使用過(guò)的材料. 對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體, 均已在文中以明確方式標(biāo)明. 本人承擔(dān)本聲明的相應(yīng)責(zé)任. 學(xué)位論文作者簽名 : 日期 指 導(dǎo) 教 師 簽 名: 日期 目 錄拉格朗日插值多項(xiàng)式的C程序算法11引
2、言11.1插值問(wèn)題的提出11.2插值法21.3插值法思想22拉格朗日插值法32.1拉格朗日插值法的由來(lái)32.2n次插值基函數(shù)42.3拉格朗日插值多項(xiàng)式43牛頓插值法53.1均差：53.2牛頓插值多項(xiàng)式：54C程序設(shè)計(jì)64.1算法設(shè)計(jì)：74.2程序源碼編寫(xiě)75程序檢測(cè)125.1對(duì)拉格朗日插值的檢測(cè)125.2對(duì)牛頓插值的檢測(cè)13總結(jié)15參考文獻(xiàn)16致謝17摘 要本論文著重研究了用C語(yǔ)言編寫(xiě)程序計(jì)算拉格朗日插值和牛頓插值的方法。在前人已有的研究成果的基礎(chǔ)上，首先介紹了拉格朗日插值和牛頓插值的思想和方法，通過(guò)添加可以循環(huán)計(jì)算功能和輸入非法數(shù)值時(shí)的糾錯(cuò)功能，改進(jìn)了已有文獻(xiàn)的方法，對(duì)其進(jìn)行了推廣，使之更加
3、的合理和完美，并且通過(guò)實(shí)際的例子進(jìn)行了具體的驗(yàn)證。最后，總結(jié)了一下本論文的主要研究成果和應(yīng)用前景。關(guān)鍵詞：拉格朗日插值，牛頓插值，C算法，精確解AbstractThis article discuss the method to calculate Lagrange interpolation and Newton interpolation with C program. Base on the results of predecessors research, firstly, this article introduces the thoughts and methods of Lagr
4、ange interpolation and Newton interpolation. Improving the old method by adding functions which can repeatedly computing interpolation and correct illegal data. Then spreading it and making it more reasonable and perfect, checking it with some examples. Finally, summing up the main results of this a
5、rticle and application prospect.Key words：Lagrange interpolation; Newton interpolation ; C program;拉格朗日插值多項(xiàng)式的C程序算法1引言插值法是一種古老的數(shù)學(xué)研究方法，他的產(chǎn)生來(lái)自與社會(huì)的生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)。在我國(guó)，早在一千多年前的隋唐時(shí)期，制定歷法時(shí)，就應(yīng)用了二次插值的方法。隋朝劉焯將等距節(jié)點(diǎn)二次插值應(yīng)用于天文計(jì)算。但是，終究沒(méi)有形成系統(tǒng)的理論。插值理論都是10世紀(jì)微積分產(chǎn)生以后漸漸發(fā)展起來(lái)的。拉格朗日插值和牛頓插值都是優(yōu)秀的重要研究成果。數(shù)值分析1對(duì)此作了詳細(xì)介紹，最近50多年來(lái)計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展
6、和廣泛應(yīng)用，以及輕重工業(yè)等各方面實(shí)際問(wèn)題的需要，促使插值法得到了更進(jìn)一步的發(fā)展。之前也有不少關(guān)于拉格朗日插值和牛頓插值的C程序算法，但是，經(jīng)過(guò)實(shí)際運(yùn)用發(fā)現(xiàn)都有各種各樣的缺點(diǎn)，主要分為以下兩種：1、每次只能執(zhí)行一次，算完一次之后，就會(huì)出現(xiàn)“press anykey to continue”，從而沒(méi)法在進(jìn)行下一次的計(jì)算；2、沒(méi)有糾錯(cuò)功能，通常情況下，為了計(jì)算的精確，我們這一個(gè)程序一般只用于計(jì)算20組以內(nèi)的（即不超過(guò)20個(gè)節(jié)點(diǎn)的），當(dāng)超過(guò)之后，會(huì)產(chǎn)生較大誤差，甚至用戶輸入負(fù)組數(shù)之后，程序崩潰，即程序的健壯性沒(méi)有設(shè)計(jì)好；本算法在盡量彌補(bǔ)這兩個(gè)不足的同時(shí)，也注意盡量?jī)?yōu)化程序，使占用的資源和運(yùn)算的時(shí)間不會(huì)
7、明顯增加。1.1插值問(wèn)題的提出在實(shí)際生活中，我們常用來(lái)表示某種內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，其中很多數(shù)據(jù)可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到。這樣雖然在給定的區(qū)間上是存在的，但是也僅僅能夠得到上的一系列點(diǎn)的函數(shù)值。但這也只能刻畫(huà)有限的情形。為了研究函數(shù)整體的變化規(guī)律，以及實(shí)際的需要，我們往往要求出不再上的情形。因此我們常常會(huì)試著找出一個(gè)既能方便運(yùn)算，又能和比較接近的函數(shù)。為了計(jì)算的方便，我們一般選一類(lèi)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)作為，使得滿足=。這樣確定的函數(shù)就是我們想要得到的插值函數(shù)。1.2插值法拉格朗日平均插值法2介紹，當(dāng)一些實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系來(lái)描述時(shí),往往沒(méi)有明顯的解析表達(dá)式,只能根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)或其他途徑提供一些離散點(diǎn)處的函數(shù)
8、值和導(dǎo)數(shù),有時(shí)盡管有表達(dá)式,卻比較復(fù)雜,不便于研究和使用。對(duì)此,人們希望構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單的連續(xù)函數(shù)p(x)來(lái)近似替代所考察的函數(shù)f(x),使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。用代數(shù)多項(xiàng)式作為研究插值的工具，進(jìn)而得出較為精確結(jié)果的方法，就是代數(shù)插值。當(dāng)給定一張具有+1個(gè)點(diǎn)的函數(shù)表以后，我們要構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，這樣的滿足兩個(gè)條件：第一，是一個(gè)不超過(guò)次的多項(xiàng)式；第二，在給定的點(diǎn)（）上的值必須與給定的值相同。 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，且已知在點(diǎn)上的值，。如果有一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，使得=，成立，就稱是的插值函數(shù)，點(diǎn)稱為插值節(jié)點(diǎn)，包含插值節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)的區(qū)間稱為插值區(qū)間，求得函數(shù)的方法稱為插值法。幾何意義：從幾何上看，插值法就是求曲線=,使其通
9、過(guò)給定的個(gè)點(diǎn)，并用它近似已知曲線=。1.3插值法思想已知在區(qū)間上有個(gè)點(diǎn)，以及他們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，下面我們求次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式，使得=。根據(jù)已知的條件，我們可以得到關(guān)于系數(shù),，的元線性方程組其系數(shù)矩陣為=稱為范德蒙德矩陣，由于互異，所以=因此，線性方程組的解，存在且唯一，從而滿足條件的是存在且唯一的。直接求解上面的方程組就可以得到插值多項(xiàng)式，但這是球插值多項(xiàng)式最繁雜的方法。從范德蒙行列式到拉格朗日插值公式3中描述的則更為貼切，范得蒙行列式與拉格朗日插值公式看來(lái)沒(méi)什么關(guān)系，但仔細(xì)思索可得結(jié)論：應(yīng)用范得蒙行列式可推得拉格朗日插值公式。2拉格朗日插值法2.1拉格朗日插值法的由來(lái)在數(shù)值分析中，拉格朗日插值
10、法是一種多項(xiàng)式差值方法，它的命名來(lái)源于法國(guó)十八世紀(jì)大數(shù)學(xué)家約瑟夫路易斯拉格朗日。在很多實(shí)際問(wèn)題中都傾向于函數(shù)來(lái)表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，但是呢，有相當(dāng)?shù)囊徊糠趾瘮?shù)都只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來(lái)了解。如對(duì)實(shí)踐中的某個(gè)物理量進(jìn)行觀測(cè)，在若干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測(cè)值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)這樣的一個(gè)多項(xiàng)式，這個(gè)多項(xiàng)式恰好在各個(gè)觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值。這樣的多項(xiàng)式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式。從代數(shù)的角度來(lái)說(shuō)，拉格朗日插值法可以給出一個(gè)恰好穿過(guò)二維平面上若干個(gè)已知點(diǎn)的多項(xiàng)式函數(shù)。拉格朗日插值法最早被英國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華華林于1779年發(fā)現(xiàn)，不久后（1783年）由萊昂哈德歐拉再次發(fā)現(xiàn)。1795年，拉格朗日在他的著作
11、師范學(xué)校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程中發(fā)表了這個(gè)插值方法，從此他的名字就和這個(gè)方法產(chǎn)生了不解之緣。插值是一種逼近的方法。拉格朗日插值法是一種較為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式插值構(gòu)造性方法，其計(jì)算復(fù)雜度并不高，得到拉格朗日插值法的途徑不止一種。通用教材北大版高等代數(shù)4以習(xí)題的形式從多項(xiàng)整式整除的角度得到拉格朗日插值公式。2.2n次插值基函數(shù)插值基函數(shù)的描述在拉格朗日插值基函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)5中十分詳細(xì)。拉格朗日插值是代數(shù)多項(xiàng)式插值中較為簡(jiǎn)單的一種，它具有格式整齊、對(duì)稱和規(guī)范的特點(diǎn)，是便于程序設(shè)計(jì)的一種形式。拉格朗日插值函數(shù)是拉格朗日插值基函數(shù)的線性組合，因此探究拉格朗日插值基函數(shù)的性質(zhì)就十分重要了。利用拉格朗日插值求余式的探討6中
12、，對(duì)代數(shù)插值做了概括。用代數(shù)多項(xiàng)式作為研究插值的工具,就是所謂的代數(shù)插值。當(dāng)給定一張有個(gè)點(diǎn)的函數(shù)表以后,要構(gòu)造一個(gè)函數(shù)滿足兩個(gè)條件,即(1)：是一個(gè)不超過(guò)次的多項(xiàng)式；(2)：在給定點(diǎn)上與取相同值，即= 。我們稱為的拉格朗日插值函數(shù)。通常，若次多項(xiàng)式在個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿足條件= 這是稱這個(gè)次多項(xiàng)式上的次插值基函數(shù)。2.3拉格朗日插值多項(xiàng)式通過(guò)推倒，我們已經(jīng)得到次插值基函數(shù)可表示為，為節(jié)點(diǎn)=，故插值多項(xiàng)式可表示為=.令,所以拉格朗日插值多項(xiàng)式可以寫(xiě)為：.3牛頓插值法利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項(xiàng)式，它的公式結(jié)構(gòu)緊湊，整齊，很方便我們的記憶與使用，這在理論分析中非常重要。但是，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)刪減時(shí)，計(jì)
13、算就要全部重新開(kāi)始，這一點(diǎn)非常不方便。為了能方便的進(jìn)行節(jié)點(diǎn)刪減后的運(yùn)算，我們可以重新設(shè)計(jì)一種逐次生成插值多項(xiàng)式的方法。這就是牛頓插值多項(xiàng)式。在牛頓插值公式的拓展使用7中可以看出，通過(guò)對(duì)牛頓插值公式與泰勒公式的比較，把牛頓插值公式拓展到埃爾米特插值公式和樣條函效插值的使用領(lǐng)域，從而可以把插值問(wèn)題都?xì)w結(jié)到牛頓插值公式上，而且在解決插值問(wèn)題上很簡(jiǎn)單、高效、方便。3.1均差：稱為函數(shù)關(guān)于點(diǎn),的一階均差。稱為的二階均差。一般地，我們稱下面的函數(shù)為階均差。階均差可以表示成函數(shù)值，的線性組合，如下：=3.2牛頓插值多項(xiàng)式：借助均差的定義，一次插值多項(xiàng)式可以表示為而二次插值多項(xiàng)式可以表示為根據(jù)均差定義，將x看
14、成是上的一點(diǎn)，可以得到,將上面的式子，后一式帶入前一式，得到,其中以上(x)我們稱為牛頓插值多項(xiàng)式。為插值余項(xiàng)。4 C程序設(shè)計(jì)基于靜態(tài)分析的C語(yǔ)言緩沖區(qū)溢出漏洞檢測(cè)研究8中明確指出：C語(yǔ)言是一種廣泛流行的高級(jí)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，即使現(xiàn)在已經(jīng)有像java這樣可以檢查數(shù)組越界的語(yǔ)言，C語(yǔ)言還被使用于很多的系統(tǒng)開(kāi)發(fā)中。 “學(xué)以致用”是每一門(mén)學(xué)科都致力追求的境界,數(shù)學(xué)自然也不例外。可人們往往淹沒(méi)于一堆高深的數(shù)學(xué)理論及煩瑣的分析、論證之中,早已失去了數(shù)學(xué)的樂(lè)趣!特別是用數(shù)學(xué)來(lái)解決實(shí)際的問(wèn)題更是感到無(wú)所適從。拉格朗日插值法在工程應(yīng)用中的算法實(shí)現(xiàn)9介紹拉格朗日插值法在現(xiàn)實(shí)分析中的應(yīng)用,并通過(guò)C語(yǔ)言程序來(lái)實(shí)現(xiàn)這一數(shù)學(xué)
15、分析法的自動(dòng)化,為復(fù)雜的工程分析研究提供了一條數(shù)學(xué)算法的捷徑。4.1算法設(shè)計(jì)：S1：選擇兩個(gè)變量控制選擇項(xiàng)的實(shí)現(xiàn)，分別命名為Flag和flag；S2：為了計(jì)算的精確，定義2個(gè)不超過(guò)20祖的數(shù)組x20和y20;S3：定義3個(gè)控制循環(huán)的變量，i、f、k；S4：定義幾個(gè)過(guò)程變量，a，b1，b2，c，d，e，j，w1，w2，l，L，newx，newy，P；S5：輸入已知的數(shù)組的組數(shù)，用j表示，當(dāng)j在0,20之間時(shí)，繼續(xù)，當(dāng)輸入的數(shù)不在此范圍時(shí)，提示錯(cuò)誤，并重新輸入，知道正確為止。并通過(guò)循環(huán)語(yǔ)句輸入所有的數(shù)組；S6：選擇要計(jì)算的插值類(lèi)型，或退出；S7：如果選擇1，計(jì)算拉格朗日插值時(shí)，先輸入要插入的新數(shù)值
16、newx，通過(guò)循環(huán)語(yǔ)句，分別用w1表示,用w2表示，d=newx-b1表示對(duì)應(yīng)每一個(gè)k值的，用L表示對(duì)應(yīng)每一個(gè)k值的，所以所有的L相加，就得到了拉格朗日插值；S8：如果選擇2，計(jì)算牛頓插值的時(shí)候，同樣先輸入要計(jì)算插值的數(shù)值newx，通過(guò)循環(huán)語(yǔ)句，分別用w1表示，用w2表示，l=,L=L+l,另d=（因?yàn)榕ｎD插值法中，每一項(xiàng)只乘到，而不是所以要把多余的除掉）,通過(guò)累加，p=p+d,最終用P表示newx的牛頓插值。S9：執(zhí)行完S7和S8之后，由用戶選擇繼續(xù)重新運(yùn)算還是退出；S10：如果用戶在S6中選擇的是0，則直接退出程序；4.2程序源碼編寫(xiě)#include stdio.hint main()in
17、t Flag = 1;float x20,y20;int k,j,i,flag;float a,b1,b2,c,d,e,f,w1,w2,l,L,newx,P;w1=1;w2=1;L=0;P=0;while(Flag = 1)printf(請(qǐng)輸入0,20之間的數(shù)據(jù)。n);printf(輸入的數(shù)據(jù)為幾組:n);scanf(%d,&j);if(j20|j=0)printf(請(qǐng)輸入0,20之間的數(shù)據(jù)。n);printf(輸入的數(shù)據(jù)為幾組:n);scanf(%d,&j);elsefor(i=0;i=j-1;i+)printf(第%d組為:n,i+1);printf(x=);scanf(%f,&xi);p
18、rintf(y=);scanf(%f,&yi);printf(請(qǐng)選擇:1,拉格朗日插值。2,牛頓插值。0,退出。n);scanf(%d,&flag);if(flag=1)printf(請(qǐng)輸入插入的數(shù)值：);scanf(%f,&newx);for(k=0;k=j-1;k+)b1=xk;b2=yk;for(i=0;i=j-1;i+)a=xi;c=newx-a;w1=w1*c;e=b1-a;if(e!=0)w2=w2*e;if(e=0)e=e+1;w2=w2*e;d=newx-b1;f=d*w2;/*printf(f=%fn,f);*/l=b2*w1/f;/*printf(l=%fn,l);*/L=
19、L+l;w1=1;w2=1;printf(newy=%f,L);if(flag=2)printf(請(qǐng)輸入插入的數(shù)值：);scanf(%f,&newx);for(f=0;f=j-1;f+)for(k=0;k=f;k+)b1=xk;b2=yk;for(i=0;i=f;i+)a=xi;e=b1-a;if(e!=0)w1=w1*e;else if(e=0)e=e+1;w1=w1*e;l=b2/w1;L=L+l;w1=1;c=newx-b1;w2=w2*c;d=L*w2/c;w2=1;P=P+d;L=0;printf(newy=%f,P);printf(n);printf(請(qǐng)選擇 ：1 繼續(xù) 。2 退出
20、 。n);scanf(%d,&Flag);printf(n);if(Flag = 2)return 0;if(flag=0)return 0;5程序檢測(cè)C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)教程10高度概括了程序檢測(cè)的重要性。寫(xiě)完一個(gè)程序只能說(shuō)完成任務(wù)的一半（甚至不到一半）。調(diào)試程序往往比寫(xiě)程序更難，更需要精力、時(shí)間和經(jīng)驗(yàn)。常常有這樣的情況：程序花一天就寫(xiě)完了，而調(diào)試程序兩三天也未能完成。有事一個(gè)小小的程序會(huì)出錯(cuò)五六處，而發(fā)現(xiàn)和排除一個(gè)錯(cuò)誤，有時(shí)竟需要半天，甚至更多。C語(yǔ)言是應(yīng)用較廣泛的一種程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言,其程序格式靈活、簡(jiǎn)潔、代碼執(zhí)行效率高。正如C程序調(diào)試中常見(jiàn)錯(cuò)誤分析11中介紹的，由于其語(yǔ)法限制不嚴(yán),且采用了一些用
21、以提高執(zhí)行效率的措施,因而在調(diào)試時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)莫明其妙的錯(cuò)誤,這種錯(cuò)誤需要仔細(xì)檢查和分析才能發(fā)現(xiàn)。在本論文中，主要對(duì)程序計(jì)算結(jié)果的精確性進(jìn)行檢驗(yàn)。5.1對(duì)拉格朗日插值的檢測(cè)在對(duì)拉格朗日插值的精確性進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，我們用下面的一個(gè)例子：例1：已知sin0.32=0.314 567 ,sin0.34=0.333 487 ,sin0.36=0.352 274,2用線性插值及拋物線插值計(jì)算sin0.3367的值。我們依次鍵入， ，；經(jīng)過(guò)運(yùn)算，我們可以得到如下的結(jié)果：我們可以看到，計(jì)算的結(jié)果為0.330 374，這個(gè)結(jié)果和6位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣。說(shuō)明這個(gè)算法的精度很高。5.2對(duì)牛頓插值的檢測(cè)我們同樣
22、引用一個(gè)例子對(duì)牛頓插值的精確性進(jìn)行檢驗(yàn)：例2：給出的函數(shù)和均差表如下：0.400.410750.550.578151.116000.650.696750.186000.280000.800.888111.275730.358930.197330.901.026521.384100.433480.213000.031341.051.253821.515330.524930.228630.03126-0.00012計(jì)算出的近似值。解答：我們依次輸入，。運(yùn)行結(jié)果如下：這個(gè)結(jié)果極近似于例題的答案：0.63192。從結(jié)果我們不難看出：通過(guò)這個(gè)算法所得到的結(jié)果與它的真是值之間的誤差很小，即通過(guò)算法算出的牛
23、頓插值是法的近似值。這樣這個(gè)算法的可行性得證。總結(jié)通過(guò)以上兩個(gè)例題，可以看出，這樣一個(gè)C程序可以使復(fù)雜難算的拉格朗日插值和牛頓插值很方便的計(jì)算出。既不需要熟練的操作技巧，又不需要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力。同時(shí)，我們可以看到，至少在數(shù)組的數(shù)量小于20組的時(shí)候，計(jì)算的精確度是很高的。雖然用其他的大型計(jì)算工具，也會(huì)快速的計(jì)算出插值，例如MATLAB程序，但操作起來(lái)比較復(fù)雜，而且對(duì)設(shè)備有一定的要求。一般電腦上沒(méi)有裝MATLAB環(huán)境，沒(méi)法運(yùn)行。但是這樣的一個(gè)小程序，攜帶方便，運(yùn)算和操作都很簡(jiǎn)單。在工程技術(shù)中，經(jīng)常會(huì)遇到插值之類(lèi)的計(jì)算問(wèn)題，例如在半 導(dǎo)體技術(shù)中，設(shè)計(jì)晶體管和分析其性能時(shí)，常常涉及到與半導(dǎo)體 的
24、雜質(zhì)濃度有關(guān)的參盤(pán);在溫度自動(dòng)控制系統(tǒng)中的熱電偶和溫 度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，當(dāng)采用計(jì)算機(jī)輔助分析和控制時(shí)，必須將這些關(guān)系曲線離散化，然后運(yùn)用插值法進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，最終得到我們需要的結(jié)果。參考文獻(xiàn)1李慶揚(yáng)，易大義，王能超.現(xiàn)代數(shù)值分析.北京：高等教育出版社,1995.2符錫成，郭學(xué)品，拉格朗日平均插值法，海南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007年02期。3王洪玉，從范德蒙行列式到拉格朗日插值公式，滄州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1990年第04期。4 徐章韜，從矩陣的角度解讀拉格朗日插值法，中國(guó)數(shù)學(xué)雜志（高中版），2011年第三期。5車(chē)明剛，拉格朗日插值基函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，保山學(xué)院學(xué)報(bào)，2010年第2期。6黃濤，利用拉格朗日
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26、 the conjugate gradient and Lanczos methods .SIAM Review,1989,31:50-10214李岳生,齊東旭.樣條函數(shù)方法.北京：科學(xué)出版社,197915關(guān)治,陸金甫.數(shù)值分析基礎(chǔ).北京：高等教育出版社,2000致謝我是*大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的一名學(xué)生，在此我非常感謝我的導(dǎo)師，*大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的*老師。正是在*老師的辛苦指導(dǎo)下,我的論文終于定稿.在整個(gè)論文撰寫(xiě)的過(guò)程中,*老師秉著嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的治學(xué)態(tài)度,大膽創(chuàng)新的進(jìn)取精神,高度負(fù)責(zé)的敬業(yè)精神,不僅對(duì)我的論文撰寫(xiě)提供了巨大的幫助甚至在對(duì)我以后的學(xué)習(xí)工作，都產(chǎn)生了巨大的影響，她教會(huì)我怎么去學(xué)習(xí)，而這正是我們要學(xué)習(xí)的精髓.她不僅知識(shí)淵博,而且視野開(kāi)闊,思維敏銳,讓我真正感覺(jué)到了一個(gè)導(dǎo)師的專(zhuān)業(yè)水平,在此我向*老師表示深深的感謝.同時(shí),我要也感謝那些曾經(jīng)給予過(guò)我?guī)椭睦蠋?、同學(xué)和朋友們,是他們讓我不僅圓滿完成了學(xué)習(xí)任務(wù)，而且學(xué)到了課堂上沒(méi)有學(xué)到的東西。17
數(shù)學(xué)系本科生畢業(yè)論文.doc
