2020版高考數學一輪復習 課后限時集訓27 數系的擴充與復數的引入 理（含解析）新人教A版

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1、課后限時集訓(二十七)　數系的擴充與復數的引入 (建議用時：40分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．(2018·浙江高考)復數(i為虛數單位)的共軛復數是(　　) A．1＋i　　　 B．1－i C．－1＋i D．－1－i B　[＝＝1＋i，∴共軛復數為1－i，故選B.] 2．(2017·全國卷Ⅰ)下列各式的運算結果為純虛數的是(　　) A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i) C　[A項，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是純虛數． B項，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數． C項

2、，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是純虛數． D項，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數． 故選C.] 3．(2019·湘東五校聯(lián)考)已知i為虛數單位，若復數z＝＋i(a∈R)的實部與虛部互為相反數，則a＝(　　) A．－5 B．－1 C．－ D．－ D　[z＝＋i＝＋i＝＋i，∵復數z＝＋i(a∈R)的實部與虛部互為相反數，∴－＝，解得a＝－.故選D.] 4．若＝2－i(i為虛數單位)，則復數z在復平面內對應的點在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　[由題意知z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，其在復平面內對應的

3、點的坐標為(3,1)，在第一象限．故選A.] 5．記復數z的共軛復數為，已知復數z滿足(2－i)z＝5，則||＝(　　) A. B. C. D．5 B　[因為(2－i)z＝5，所以z＝＝2＋i，＝2－i， 所以||＝|z|＝.故選B.] 6．(2018·太原一模)若復數z＝在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是(　　) A．(－1,1) B．(－1,0) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) A　[由題可知z＝·＝＝＋i， 所以即所以－1＜m＜1，故選A.] 7．(2018·陜西二模)若(1－mi)(m＋i)＜0，其中i為虛數單位，則m的值為(

4、　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 A　[因為(1－mi)(m＋i)＝2m＋(1－m2)i＜0，所以解得m＝－1，故選A. 如果一個復數能與實數比較大小，則其虛部為零．] 二、填空題 8．(2018·江蘇高考)若復數z滿足i·z＝1＋2i，其中i是虛數單位，則z的實部為________． 2　[由i·z＝1＋2i得z＝＝2－i，∴z的實部為2.] 9．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數單位)，則a2＋b2＝________，ab＝________. 5　2　[∵(a＋bi)2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2＋2abi－

5、b2＝3＋4i， ∴解得ab＝2，由得∴a2＋b2＝5.] 10．已知復數z＝x＋yi，且|z－2|＝，則的最大值為________． 　[∵|z－2|＝＝， ∴(x－2)2＋y2＝3. 由圖可知max＝＝.] B組　能力提升 1．設z，z1，z2，z3是復數，下列四個命題： ①復數z＝(a－b)＋(a＋b)i(a，b∈R)，當a＝b時，z為純虛數； ②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z2＝z3； ③如果z1－z2＜0，則z1＜z2； ④z＋為實數，且|z|＝||. 以上命題中，正確命題的個數為(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3

6、個 B　[①當a－b＝0且a＋b≠0時z為純虛數，故①不正確； ②只要保證(z1－z2)2與(z2－z3)2互為相反數即可，故②不正確； ③取z1＝－1＋i，z2＝i，則z1－z2＝－1＜0，但無法比較z1與z2的大小，故③不正確； ④顯然正確．故選B.] 2．(2019·湘潭模擬)已知命題p：若復數z滿足(z－i)(－i)＝5，則z＝6i，命題q：復數的虛部為－i，則下面為真命題的是(　　) A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．p∧q C　[由已知可得，復數z滿足(z－i)(－i)＝5，所以z＝＋i＝6i，所以命題p為真命題；復數＝＝，其虛

7、部為－，故命題q為假命題，命題綈q為真命題．所以p∧(綈q)為真命題，故選C.] 3．已知i為虛數單位，m∈R，若關于x的方程x2＋(1－2i)x＋m－i＝0有實數根，則m的取值為(　　) A．m≤ B．m≤－ C．m＝ D．m＝－ C　[設t為方程x2＋(1－2i)x＋m－i＝0的實數根，則t2＋(1－2i)t＋m－i＝0，即t2＋t＋m－(1＋2t)i＝0，則解得t＝－，m＝，故選C.] 4．歐拉公式eix＝cos x＋isin x(i為虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發(fā)明的，它將復數、指數函數與三角函數聯(lián)系起來，將指數函數的定義域擴充到復數，它在復變函數論里占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋 ”．根據歐拉公式可知，e－2i的共軛復數在復平面內所對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[依題意得，e－2i＝cos(－2)＋isin(－2)＝cos 2－isin 2的共軛復數的實部、虛部分別為cos 2，sin 2，又＜2＜π，所以cos 2＜0，sin 2＞0，因此e－2i的共軛復數在復平面內所對應的點位于第二象限，故選B.] - 4 -