2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第七單元 不等式與推理證明 第47講 合情推理與演繹推理練習 理（含解析）新人教A版

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1、第47講　合情推理與演繹推理 1．下列在向量范圍內(nèi)成立的命題，類比推廣到復數(shù)范圍內(nèi)，仍然為真命題的個數(shù)是(C) ①|(zhì)a·b|≤|a|·|b|; ②|a＋b|≤|a|＋|b|； ③a2≥0; ④(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. A．1 B．2 C．3 D．4 其中①、②、④為真，③為假，故選C. 2．“因為指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝()x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝()x是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理中錯誤的是(A) A．大前提錯，導致結(jié)論錯 B．小前提錯，導致結(jié)論錯 C．推理形式錯，導致結(jié)論錯 D．大前提和小前提都錯，導致結(jié)論錯 3．若

2、數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2·an(n∈N*)，且a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an為(B) A. B. C. D. 因為S2＝4a2＝a1＋a2，所以a2＝＝＝， 因為S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，所以a3＝＝＝， S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋＋＋a4， 所以a4＝＝＝， 所以猜想an＝(n∈N*)，選B. 4．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x．由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導

3、函數(shù)，則g(－x)＝(D) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 由歸納推理可得，若f(x)為偶函數(shù)，則f′(x)為奇函數(shù)，即g(x)為奇函數(shù)，所以g(－x)＝－g(x)，選 D. 5．(2018·廣州二模)古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1，4，9，16，…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．如圖，可以發(fā)現(xiàn)任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和，下列等式：①36＝15＋21；②49＝18＋31；③64＝28＋36；④81＝36＋45中符合這一規(guī)律的等式是__①③④__．(填寫所有正確結(jié)論的編號)

4、 觀察得： (n＋1)2＝(1＋2＋…＋n)＋[1＋2＋…＋n＋(n＋1)]， 符合上述特征的數(shù)有①③④. 6.在△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑r＝.將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體S-ABC中，若SA，SB，SC兩兩垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，則四面體S-ABC的外接球半徑R＝　　. 類比△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑r＝的推導方法——構(gòu)造長方形．由此可將四面體S-ABC構(gòu)造出長方體，由對角截面性質(zhì)可知，球的直徑等于長方體的體對角線長，即2R＝，故R＝. 7．觀察：①sin2

5、10°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝； ②sin26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝. 由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想． 猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(30°＋α)＝. 證明：左邊＝sin2α＋(cos α－sin α)2＋ sin α(cos α－sin α) ＝sin2α＋cos2α－sin αcos α＋sin2α ＋cos αsin α－sin2α ＝sin2α＋cos 2α ＝＝右邊， 故猜想成立． 8．(2018·蘭州市高三實戰(zhàn)考試)設(shè)n∈N*，則＝(A)

6、 (方法1)(歸納法) 因為1＝(10－1)，11＝(102－1)，…， 歸納得11…1,\s\do4(2n個))＝(102n－1)， 同理22…2,\s\do4(n個))＝(10n－1)， 所以＝ ＝ ＝＝33…3,\s\do4(n個))． (方法2)(排除法) 當n＝1時，＝＝3，排除選項D. 當n＝2時，＝＝＝33， 排除B，C.故選A. 9．(2017·全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信

7、息，則(D) A．乙可以知道四人的成績　　　　　　B．丁可以知道四人的成績 C．乙、丁可以知道對方的成績　　　　D．乙、丁可以知道自己的成績 由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀，1個良好”．乙看丙的成績，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績． 10．對于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)，f″(x)是f′(x)的

8、導數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”．某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－.請根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)， (1)求函數(shù)f(x)的對稱中心； (2)計算f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()． (1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1， 令f″(x)＝0，得2x－1＝0，解得x＝， f()＝×()3－×()2＋3×－＝1. 由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)f(x)的對稱中心為(，1)． (2)由(1)知函數(shù)f(x)的對稱中心為(，1)， 所以f(＋x)＋f(－x)＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2. 故f()＋f()＝2， f()＋f()＝2， f()＋f()＝2， …… f()＋f()＝2， 所以f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()＝×2×2018＝2018. 5