《2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤練(五十五)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理(含解析)新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤練(五十五)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理(含解析)新人教A版(7頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、課時(shí)跟蹤練(五十五)
A組 基礎(chǔ)鞏固
1.已知點(diǎn)M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是( )
A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定
解析:由題意知點(diǎn)M在圓外,則a2+b2>1,圓心到直線的距離d=<1,故直線與圓相交.
答案:B
2.已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實(shí)數(shù)a的值是( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
解析:由x2+y2+2x-2y+a=0,
得(x+1)2+(y-1)2=2-a,
所以圓心坐標(biāo)為(-1,1),半徑r=,
圓心到直線x+y
2、+2=0的距離為=,
所以22+()2=2-a,解得a=-4.
答案:B
3.(2019·深圳調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x與圓O:x2+y2=1交于A,B兩點(diǎn),α,β的始邊是x軸的非負(fù)半軸,終邊分別在射線OA和OB上,則tan(α+β)的值為( )
A.-2 B.- C.0 D.2
解析:由題可知tan α=tan β=,那么tan(α+β)==-2,故選A.
答案:A
4.(2019·湖北四地七校聯(lián)考)若圓O1:x2+y2=5與圓O2:(x+m)2+y2=20相交于A,B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是( )
A.3 B.4
3、 C.2 D.8
解析:連接O1A,O2A,由于⊙O1與⊙O2在點(diǎn)A處的切線互相垂直,因此O1A⊥O2A,所以|O1O2|2=|O1A|2+|O2A|2,即m2=5+20=25,設(shè)AB交x軸于點(diǎn)C.
在Rt△O1AO2中,sin ∠AO2O1=,所以在Rt△ACO2中,
AC=AO2·sin ∠AO2O1=2×=2,
所以AB=2AC=4.故選B.
答案:B
5.(2018·全國卷Ⅲ)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是( )
A.[2,6] B.[4,8]
C.[,3] D.[2,3
4、]
解析:設(shè)圓(x-2)2+y2=2的圓心為C,半徑為r,點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離為d,則圓心C(2,0),r=,所以圓心C到直線x+y+2=0的距離為2,可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=.由已知條件可得AB=2,所以△ABP面積的最大值為AB·dmax=6,△ABP面積的最小值為AB·dmin=2.
綜上,△ABP面積的取值范圍是[2,6].
故選A.
答案:A
6.已知圓C1:x2+y2-6x-7=0與圓C2:x2+y2-6y-27=0相交于A,B兩點(diǎn),則線段AB的中垂線方程為____________________
____________.
解析:因?yàn)閳A
5、C1的圓心C1(3,0),圓C2的圓心C2(0,3),
所以直線C1C2的方程為x+y-3=0,
AB的中垂線即直線C1C2,故其方程為x+y-3=0.
答案:x+y-3=0
7.從圓x2-2x+y2-2y+1=0外一點(diǎn)P(3,2)向這個(gè)圓作兩條切線,則兩切線夾角的余弦值為________.
解析:由x2-2x+y2-2y+1=0,得(x-1)2+(y-1)2=1,則圓心為C(1,1),|PC|==.
設(shè)兩切點(diǎn)分別為B,D,則|CD|=1,所以sin ∠CPD=,
則cos ∠DPB=1-2 sin2∠CPD=1-=,即兩條切線夾角的余弦值為.
答案:
8.[一題多解](20
6、16·全國卷Ⅲ)已知直線l:x-y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).則|CD|=________.
解析:法一 由圓x2+y2=12知圓心O(0,0),半徑r=2.所以圓心(0,0)到直線x-y+6=0的距離d==3,|AB|=2 =2.過C作CE⊥BD于E.
如圖所示,則|CE|=|AB|=2.
因?yàn)橹本€l的方程為x-y+6=0,
所以kAB=,則∠BPD=30°,從而∠BDP=60°.
所以|CD|====4.
法二 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由
得y2-3y+6=0,解得y1=,y2=2,
所以A(-3
7、,),B(0,2).
過A,B作l的垂線方程分別為
y-=-(x+3),y-2=-x,
令y=0,得xC=-2,xD=2,
所以|CD|=2-(-2)=4.
答案:4
9.已知兩圓C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求證:圓C1和圓C2相交;
(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長.
(1)證明:圓C1的圓心為C1(1,3),半徑r1=,圓C2的圓心為C2(5,6),半徑r2=4,兩圓圓心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|<d<r1+r2,所以圓C1和圓C2相
8、交.
(2)解:圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減,得4x+3y-23=0,
所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x+3y-23=0.
圓心C2(5,6)到直線4x+3y-23=0的距離為=3,故公共弦長為2=2.
10.已知點(diǎn)P(+1,2-),M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程;
(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程,并求出切線長.
解:由題意得圓心為C(1,2),半徑r=2.
(1)因?yàn)?+1-1)2+(2--2)2=4,
所以點(diǎn)P在圓C上.
又kPC==-1,
所以切線的斜率k=-=1.
所以過點(diǎn)P的圓C的切線方程是y
9、-(2-)=x-(+1),
即x-y+1-2=0.
(2)因?yàn)?3-1)2+(1-2)2=5>4,
所以點(diǎn)M在圓C外部.
當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=3,
即x-3=0.
又點(diǎn)C(1,2)到直線x-3=0的距離d=3-1=2=r,
所以直線x-3=0是圓的切線.
當(dāng)切線的斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),
即kx-y+1-3k=0,
則圓心C到切線的距離d==r=2,
解得k=.
所以切線方程為y-1=(x-3),
即3x-4y-5=0.
綜上可得,過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0.
因?yàn)閨MC|==,
所以過點(diǎn)
10、M的圓C的切線長為==1.
B組 素養(yǎng)提升
11.(2019·廣州綜合測試〈二〉)已知k∈R,點(diǎn)P(a,b)是直線x+y=2k與圓x2+y2=k2-2k+3的公共點(diǎn),則ab的最大值為( )
A.15 B.9
C.1 D.-
解析:由題意得解得-3≤k≤1.
因?yàn)辄c(diǎn)P是直線與圓的公共點(diǎn),
所以
即ab=k2+k-=-,
所以當(dāng)k=-3時(shí),ab取得最大值9,故選B.
答案:B
12.(2019·茂名模擬)若圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l:ax+by=0的距離為2,則直線l的斜率的取值范圍是( )
A.[2-,1] B.[2-,2
11、+]
C. D.[0,+∞)
解析:圓x2+y2-4x-4y-10=0可化為
(x-2)2+(y-2)2=18,
則圓心坐標(biāo)為(2,2),半徑為3.
由圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)的直線l:ax+by=0的距離為2可得,圓心到直線l:ax+by=0的距離d≤3-2=,
即≤,
則a2+b2+4ab≤0.①
若a=0,則b=0,不符合題意,
故a≠0且b≠0,則①可化為
1++≤0,
由于直線l的斜率k=-,
所以1++≤0可化為1+-≤0,
解得k∈[2-,2+],故選B.
答案:B
13.[一題多解](2018·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)
12、系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若·=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為________.
解析:法一 設(shè)A(a,2a),a>0,則C,
所以圓C的方程為+(y-a)2=+a2,
由得
所以·=(5-a,-2a)·=+2a2-4a=0,所以a=3或a=-1,
又a>0,所以a=3,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.
法二 由題意易得∠BAD=45°.
設(shè)直線DB的傾斜角為θ,
則tan θ=-,
所以tan ∠ABO=-tan(θ-45°)=3,
所以kAB=tan ∠ABO=-3.
所以AB的方程為y=-3(x-5),
13、
由得xA=3.
答案:3
14.已知直線l:4x+3y+10=0,半徑為2的圓C與l相切,圓心C在x軸上且在直線l的右上方.
(1)求圓C的方程;
(2)過點(diǎn)M(1,0)的直線與圓C交于A,B兩點(diǎn)(A在x軸上方),問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N,使得x軸平分∠ANB?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
解:(1)設(shè)圓心C(a,0),
則=2,解得a=0或a=-5(舍).
所以圓C的方程為x2+y2=4.
(2)當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí),x軸平分∠ANB.
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由
消去y得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
若x軸平分∠ANB,
則kAN=-kBN,即+=0,
則+=0,
即2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0,
即-+2t=0,解得t=4,
所以當(dāng)點(diǎn)N坐標(biāo)為(4,0)時(shí),能使得x軸平分∠ANB.
7