2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)5 概率、隨機(jī)變量及其分布 理

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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(五)　概率、隨機(jī)變量及其分布 [專題通關(guān)練] (建議用時(shí)：30分鐘) 1．袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是(　　) A.　　　 B. C. D. D　[由題意可知抽到黃球的次數(shù)ξ～B， ∴P(ξ＝2)＝C×＝.] 2．(2019·咸陽(yáng)二模)已知甲、乙、丙三人去參加某公司面試，他們被公司錄取的概率分別為，，，且三人錄取結(jié)果相互之間沒(méi)有影響，則他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿?　　) A. B. C. D. B　[甲、乙、丙三人去參加某公司面試，他們被公司錄取的概率分別為，，，且三個(gè)錄取結(jié)

2、果相互之間沒(méi)有影響，∴他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿椋篜＝1－＝.故選B.] 3.(2019·鄭州二模)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(－1,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(　　) (附：X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 5) A．906 B．2 718 C．1 359 D．3 413 C　[∵X～N(－1,1)， ∴陰影部分的面積S＝P(0﹤X≤1) ＝[P(－3﹤x≤1)－P(－2﹤x≤0)]＝(0.954 5－0.682 7)＝0.1

3、35 9， ∴落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為10 000×0.135 9＝1 359.故選C.] 4．甲、乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. B　[由題意，甲獲得冠軍的概率為×＋××＋××＝，其中比賽進(jìn)行了3局的概率為××＋××＝， ∴所求概率為÷＝，故選B.] 5．(2019·巢湖市一模)某次考試共有12個(gè)選擇題，每個(gè)選擇題的分值為5分，每個(gè)選擇題四個(gè)選項(xiàng)且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，A學(xué)生對(duì)12個(gè)選擇題中每個(gè)題的

4、四個(gè)選擇項(xiàng)都沒(méi)有把握，最后選擇題的得分為X分，B學(xué)生對(duì)12個(gè)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選項(xiàng)都能判斷其中有一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，對(duì)其它三個(gè)選項(xiàng)都沒(méi)有把握，選擇題的得分為Y分，則D(Y)－D(X)的值為(　　) A. B. C. D. A　[設(shè)A學(xué)生答對(duì)題的個(gè)數(shù)為m，得分5m，則m～B，D(m)＝12××＝， ∴D(X)＝25×＝. 設(shè)B學(xué)生答對(duì)題的個(gè)數(shù)為n，得分5n，則n～B， D(n)＝12××＝，∴D(Y)＝25×＝. ∴D(Y)－D(X)＝－＝.故選A.] 6．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(0≤X≤2)＝0.3，則P(X＞4)＝________. 0.2　

5、[由正態(tài)分布的特征可知 P(0≤X≤2)＝P(2≤X≤4)＝0.3. 又P(X≥2)＝0.5，∴P(X＞4)＝0.5－0.3＝0.2.] 7．[易錯(cuò)題]某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為________． 200　[將“沒(méi)有發(fā)芽的種子數(shù)”記為ξ，則ξ＝1,2,3，…，1 000，由題意可知ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，又因?yàn)閄＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200.] 8．甲、乙、丙三人到三個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A為“三個(gè)人去的景點(diǎn)

6、不相同”，B為“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則概率P(A|B)等于________． 　[由題意可知，n(B)＝C22＝12，n(AB)＝A＝6， 所以P(A|B)＝＝＝.] [能力提升練] (建議用時(shí)：30分鐘) 9．根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，某支深受廣大球迷喜歡的足球隊(duì)中，乙球員能夠勝任前鋒、中場(chǎng)、后衛(wèi)及守門員四個(gè)位置，且出場(chǎng)率分別為0.2,0.5,0.2,0.1，當(dāng)出任前鋒、中場(chǎng)、后衛(wèi)及守門員時(shí)，球隊(duì)輸球的概率依次為0.4,0.2,0.6,0.2.則 (1)當(dāng)他參加比賽時(shí)，求球隊(duì)某場(chǎng)比賽輸球的概率； (2)當(dāng)他參加比賽時(shí)，在球隊(duì)輸了某場(chǎng)比賽的條件下，求乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率； (3)如果

7、你是教練員，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析，如何安排乙球員能使贏球場(chǎng)次更多？ [解]　設(shè)A1表示“乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒”，A2表示“乙球員擔(dān)當(dāng)中場(chǎng)”，A3表示“乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”，A4表示“乙球員擔(dān)當(dāng)守門員”，B表示“球隊(duì)某場(chǎng)比賽輸球”． (1)P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.2×0.6＋0.1×0.2＝0.32. (2)由(1)知，P(B)＝0.32， 所以P(A1|B)＝＝＝0.25. (3)因?yàn)镻(A1|B)∶P(A2|B)∶P(A3|B)∶P(A4|B)＝0.08∶0.1

8、0∶0.12∶0.02＝4∶5∶6∶1， 所以多安排乙球員擔(dān)當(dāng)守門員，能夠贏球場(chǎng)次更多． 10．為了預(yù)防某種流感擴(kuò)散，某校醫(yī)務(wù)室采取積極的處理方式，對(duì)感染者進(jìn)行短暫隔離直到康復(fù)．假設(shè)某班級(jí)已知6位同學(xué)中有1位同學(xué)被感染，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定被感染的同學(xué)，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性即被感染，呈陰性即未被感染．下面是兩種化驗(yàn)方案． 方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定被感染的同學(xué)為止． 方案乙：先任取3個(gè)同學(xué)，將他們的血液混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明被感染同學(xué)為這3位中的1位，后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定被感染的同學(xué)為止；若結(jié)果呈陰性，則在另外3位同學(xué)中逐個(gè)檢測(cè)． (1)求方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于方案乙

9、所需化驗(yàn)次數(shù)的概率； (2)η表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)，ξ表示方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，假設(shè)每次化驗(yàn)的費(fèi)用都相同，請(qǐng)從經(jīng)濟(jì)角度考慮哪種化驗(yàn)的方案最佳． [解]　設(shè)Ai(i＝1,2,3,4,5)表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)為i次；Bj(j＝2,3)表示方案乙所需化驗(yàn)的次數(shù)為j次，方案甲與方案乙相互獨(dú)立． (1)P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，P(A5)＝， P(B2)＝＋＝，P(B3)＝1－P(B2)＝， 用事件D表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)， 則P(D)＝P(A2B2＋A3B3)＝P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝×＋×＝. (2)η的可能取值為1,

10、2,3,4,5.ξ的可能取值為2,3. 由(1)知P(η＝1)＝P(η＝2)＝P(η＝3)＝P(η＝4)＝，P(η＝5)＝， 所以E(η)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝，P(ξ＝2)＝P(B2)＝，P(ξ＝3)＝P(B3)＝，所以E(ξ)＝2×＋3×＝. 因?yàn)镋(ξ)＜E(η)，所以從經(jīng)濟(jì)角度考慮方案乙最佳． 11．(2019·昆明模擬)為了解甲、乙兩種產(chǎn)品的質(zhì)量，從中分別隨機(jī)抽取了10件樣品，測(cè)量產(chǎn)品中某種元素的含量(單位：毫克)，如圖所示是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖．規(guī)定：當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素的含量不小于18毫克時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品． (1)試用樣品數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品率；

11、(2)從乙產(chǎn)品抽取的10件樣品中隨機(jī)抽取3件，求抽到的3件樣品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(ξ)； (3)從甲產(chǎn)品抽取的10件樣品中有放回地隨機(jī)抽取3件，也從乙產(chǎn)品抽取的10件樣品中有放回地隨機(jī)抽取3件，抽到的優(yōu)等品中，記“甲產(chǎn)品恰比乙產(chǎn)品多2件”為事件C，求事件C的概率． [解](1)從甲產(chǎn)品抽取的10件樣品中優(yōu)等品有4件，優(yōu)等品率為＝，從乙產(chǎn)品抽取的10件樣品中優(yōu)等品有5件，優(yōu)等品率為＝. 故甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品率分別為，. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0

12、 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (3)抽到的優(yōu)等品中，甲產(chǎn)品恰比乙產(chǎn)品多2件包括兩種情況：“抽到的優(yōu)等品數(shù)甲產(chǎn)品2件且乙產(chǎn)品0件”，“抽到的優(yōu)等品數(shù)甲產(chǎn)品3件且乙產(chǎn)品1件”，分別記為事件A，B，P(A)＝C×C×＝， P(B)＝C×C＝， 故抽到的優(yōu)等品中甲產(chǎn)品恰比乙產(chǎn)品多2件的概率為P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 12．春節(jié)期間某商店出售某種海鮮禮盒，假設(shè)每天該禮盒的需求量在{11,12，…，30}范圍內(nèi)等可能取值，該禮盒的進(jìn)貨量也在{11,12，…，30}范圍內(nèi)取值(每天進(jìn)1次貨)．商店每銷售1盒禮盒可獲利50元；若供大于求，

13、剩余的削價(jià)處理，每處理1盒禮盒虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其他商店調(diào)撥，銷售1盒禮盒可獲利30元．設(shè)該禮盒每天的需求量為x盒，進(jìn)貨量為a盒，商店的日利潤(rùn)為y元． (1)求商店的日利潤(rùn)y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式； (2)試計(jì)算進(jìn)貨量a為多少時(shí)，商店日利潤(rùn)的期望值最大？并求出日利潤(rùn)期望值的最大值． [解](1)由題意得商店的日利潤(rùn)y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式為y＝ 化簡(jiǎn)得y＝ (2)日利潤(rùn)y的分布列為 y 60×11－10a 60×12－10a … 60×(a－1)－10a 30a＋20a p … y 30(a＋1)＋20a … 30×29＋20

14、a 30×30＋20a p … 日利潤(rùn)y的數(shù)學(xué)期望為 E(y)＝·{(60×11－10a)＋(60×12－10a)＋…＋[60×(a－1)－10a]}＋·{(30a＋20a)＋[30(a＋1)＋20a]＋…＋(30×30＋20a)} ＝＋30×＋20a(31－a) ＝－a2＋a＋， 結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)， 當(dāng)a＝24時(shí)，日利潤(rùn)y的數(shù)學(xué)期望最大，最大值為958.5元． 題號(hào) 內(nèi)容 押題依據(jù) 1 相互獨(dú)立事件的概率 依據(jù)概率知識(shí)對(duì)生產(chǎn)實(shí)際作出指導(dǎo)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力 2 期望、方差、決策性問(wèn)題、條件概率、二項(xiàng)分布 高考熱點(diǎn)，結(jié)合二項(xiàng)分布考查離散型隨

15、機(jī)變量的分布列、期望并對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出決策 【押題1】　三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，將T2，T3兩個(gè)元件并聯(lián)后再和T1串聯(lián)接入電路，如圖所示，則電路不發(fā)生故障的概率為________． 　[三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，將T2，T3兩個(gè)元件并聯(lián)后再和T1串聯(lián)接入電路，則電路不發(fā)生故障的概率為： p＝×＝.] 【押題2】　某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱100件，以箱為單位銷售．已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn)的廢品率只有兩種可能10%或者20%，兩種可能對(duì)應(yīng)的概率均為0.5.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場(chǎng)價(jià)格為100元，廢品不值錢．現(xiàn)處理價(jià)格為每箱8 40

16、0元，遇到廢品不予更換．以一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值作為決策依據(jù)． (1)在不開箱檢驗(yàn)的情況下，判斷是否可以購(gòu)買； (2)現(xiàn)允許開箱，有放回地隨機(jī)從一箱中抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)． ①若此箱出現(xiàn)的廢品率為20%，記抽到的廢品數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； ②若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，判斷是否可以購(gòu)買． [解](1)在不開箱檢驗(yàn)的情況下，一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值為： E(ξ)＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8 500＞8 400， ∴在不開箱檢驗(yàn)的情況下，可以購(gòu)買． (2)①X的可能取值為0,1,2，

17、P(X＝0)＝C×0.20×0.82＝0.64， P(X＝1)＝C×0.21×0.81＝0.32， P(X＝2)＝C×0.80×0.22＝0.04， ∴X的分布列為： X 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4. ②設(shè)事件A：發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品， 則P(A)＝C×0.2×0.8×0.5＋C×0.1×0.9×0.5＝0.25， 一箱產(chǎn)品中，設(shè)正品的價(jià)格的期望值為η，則η＝8 000,9 000， 事件B1：抽取的廢品率為20%的一箱，則P(η＝8 000)＝P(B1|A)＝＝＝0.64， 事件B2：抽取的廢品率為10%的一箱，則P(η＝9 000)＝P(B2|A)＝＝＝0.36， ∴E(η)＝8 000×0.64＋9 000×0.36＝8 360＜8 400， ∴已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，不可以購(gòu)買． - 8 -