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1、第十九章一次函數內容分析與教學建議廣州市真光中學 蘇國東一、教材分析（一）本章地位和作用 函數知識在中學數學教學中占有極為重要的地位，既是教學的重點，也是教學的難點之一。本章學生第一次接觸函數，是初中函數部分的起始章，是后續(xù)學習二次函數和反比例函數的基礎。對函數概念和函數圖像的理解貫穿于整個函數的教學中，隨著具體函數的學習而不斷加深認識，同時對函數概念中體現的變化與對應思想的理解又決定了具體的一次函數、反比例函數、二次函數的學習能否順利地進行。一次函數是學生接觸的第一類具體函數形式，由具體實例抽象出統(tǒng)一的函數形式、利用函數圖像歸納函數性質、利用函數圖像和性質解決實際問題，這種由特殊到一般再到特
2、殊的研究方法是研究函數的基本方法。變化對應、數形結合等思想方法貫穿函數學習的始終，要盡可能地使學生加深認識。（二）新版教材的變動一次函數在舊版教材中是在初二上學期學習的內容，反比例函數是在初二下學期學習的內容。而在新版教材中一次函數移至初二下學期，反比例函數移至初三下學期，使學生學習函數的難點后移。新舊教材本章內容與課時安排有所調整，“用函數觀點看方程（組）與不等式”并入“一次函數”一節(jié)，題目作了修改。19.1節(jié)是基礎部分，19.2節(jié)是重點內容，19.3節(jié)是拓展提高部分。具體如下：新教材舊教材位置初二下學期初二上學期章節(jié)內容及課時安排共17課時19.1變量與函數（6課時）19.2一次函數（6課
3、時）19.3課題學習 選擇方案 （3課時）數學活動、小結 （2課時）共17課時14.1變量與函數（5課時）14.2一次函數（5課時）14.3用函數觀點看方程（組）與不等式（3課時）14.4 課題學習 選擇方案（2課時）數學活動、小結 （2課時）另外，細節(jié)也作出了調整，如87-88頁例1兩小問各補充了2個函數的作圖，從而歸納得出k的性質顯得更為妥當?，F實問題中變量間相互聯(lián)系建立數學模型課題學習選擇方案應用函數一次函數再認識一元一次方程一元一次不等式二元一次方程組圖象性質二、本章知識結構框圖三、內容分析（一）函數的相關概念1理解函數的概念及對應關系：兩個變量相互聯(lián)系，一個變量發(fā)生變化時另一個變量也
4、隨之變化；函數與自變量之間是單值對應關系，自變量的值確定后，函數值是唯一確定的。2能根據實際問題列出解析式，寫出自變量的取值范圍（使解析式有意義、實際問題有意義），給出自變量的一個值，會求出相應的函數值（學生對函數與函數值可能混淆）。3能較準確地畫出簡單函數的圖象，學會利用圖象分析變量之間的數量關系。函數圖象直觀反映變量間的單值對應關系，提供了數形結合地研究問題的方法。對一些無法用解析式表達的函數，圖象充當重要角色。（二）一次函數1理解正比例函數的概念和特征，能正確地畫出正比例函數的圖象，掌握正比例函數的圖象和性質，注意。解析式（k為常數，且）自變量取值范圍全體實數圖象形狀過原點和（1，k）點
5、的一條直線k的取值位置經過一、三象限經過二、四象限趨勢（從左向右）上升下降函數變化規(guī)律y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小（1）對正比例系數k的理解：，與小學學過的正比例關系一致，只是小學的比值不涉及負數。（2）對增減性的研究除了通過觀察圖象，對有條件的學生可給出證明方法：對任意，根據k的正負得出的大小。從數形兩方面加深對這個性質的理解。（3）有條件的學?？裳a充k對直線傾斜程度的影響。越大，圖像越靠近y軸，函數變化速率越大。對k的研究可采用右圖方式。2理解一次函數的概念和特征，能正確畫出圖象，注意一次函數的解析式、圖象、性質等方面與正比例函數的異同，從特殊到一般地認識問題。理解、對一次函數的影
6、響。解析式（k為常數，且）自變量取值范圍全體實數圖象形狀過（0，b）和（，0）點的一條直線k、b的取值位置經過第一、二、三象限經過第一、三、四象限經過一、二、四象限經過二、三、四象限趨勢（從左向右）上升下降函數變化規(guī)律y隨x的增大而增大y隨x的增大而減?。?）k決定直線的趨勢（傾斜程度），b決定它與y軸交點位置，k、b共同決定直線經過哪幾個象限。注意看圖識性，體現數與形的互化。（2）對于和，從數來看，常數項有區(qū)別，其余部分相同，因此對x的任一值，兩函數值的差恒為一常數；從形來看，兩圖象上橫坐標相同的點縱坐標總相差同一值，一圖象總比另一圖象高出同一高度。這就把以前學習的圖象平移與函數圖象聯(lián)系起來
7、。（3）建議補充：兩條直線：和：的位置關系與系數的關系：與相交；，且與平行； ，且與重合。3能用待定系數法求一次函數的解析式，體現形（兩點確定一直線）與數的聯(lián)系。 （1）常見的直接條件：對于正比例函數，根據除原點外的一點（，）確定k。對于一次函數，根據兩點(，)和(，)，解方程組確定k、b。（2）間接條件：圍成圖形的面積、平行關系等。4用函數觀點看方程（組）和不等式能直觀地用函數的圖象來反映方程（組）的解和不等式的解集，并解決簡單的實際問題。反之，能利用解方程（組）、解不等式來解決一次函數相關問題。對不等式問題關鍵是找出分界點（即“=”時的點）。（1）一次函數的圖象與x軸交點的橫坐標一元一次方
8、程的解。（2）一次函數與兩圖象的交點（公共點）二元一次方程組的解（公共解）。（3）使一次函數的函數值（或）的x的取值范圍一元一次不等式（或）的解集。（4）（，且）的解集的函數值大于的函數值時的自變量x取值范圍直線在直線的上方對應的點的橫坐標的范圍。5一次函數的應用（1）在數學中的應用：會求某個一次函數的圖象和兩坐標軸圍成的三角形面積；兩個一次函數的圖象和坐標軸圍成的三角形面積或四邊形面積等。（2）在實際中的應用：如分段函數問題、方案問題等。四、教學建議（一）重視概念的形成和發(fā)展，逐步深化學生對函數的認識1對于函數的初步認識變量與函數的教學是學生從初等數學向高等數學學習的轉變的初始階段，為了便于
9、學生的接受，可先借助生活中的實例，逐漸抽象到數學中的概念，讓學生認識并理解函數的概念中最主要的基本要素 2對于函數的再認識引導學生認識到：研究的問題是有在一定條件下進行的，即變量是有取值范圍的，自變量和函數和人們研究的目的有關；變量之間是相互制約、相互依存的，它們之間的對應關系是客觀存在的（包括那些只能用圖象或列表方法才能表示的函數關系）3對于函數的深化認識給出不同形式的數量關系，緊扣函數定義，讓學生判斷它們是否為的函數。例：判斷哪些是的函數：； ； ； ； ； ； ； （二）滲透數學思想方法，落實基礎知識和基本技能本章涉及到的主要數學思想方法有：變化對應的思想、數形結合思想、數學建模思想、從
10、特殊到一般的思想等。本章中自變量取值范圍、正比例函數和一次函數的定義、圖像和性質、解析式的確定是所有學生必須掌握的基礎知識，描點作圖是最基本的技能，要反復練習，配備系列題組，使學生熟練掌握。例1：函數的定義系列題組：1已知y=(k-3)x+1是一次函數，則k_。2已知y=(2-m)x+2m-3，當m為何值時，（1）此函數為正比例函數；（2）此函數為一次函數。3若函數是關于x的一次函數，求該函數解析式。例2：圖像和性質系列題組：1有下列函數：y=3x7 y=2x8 y=3x y=68x，其中過原點的直線是_；函數y隨x的增大而增大的是_；函數y隨x的增大而減小的是_；圖象在第一、二、三象限的是_
11、。2某一次函數的圖象經過點(1,2),且y隨x的增大而減小,請寫出一個符合條件的函數關系式： 。3已知一次函數y=(m-2)x+4-m ,當m為何值時,（1）直線經過第一、三象限。（2）直線經過第一、二、三象限。（3）直線與y軸的交點不在x軸的下方。4點A(-3，y1）、點B（2，y2)都在直線y= 4x+3上，則與的關系是（ ）A B C D 5一次函數y=mx+n與y=mnx（mn0）在同一坐標系中的圖象可能是（ ） A B C D例3：確定函數解析式的系列題組：1若是關于的一次函數，且當時，；當時，求函數的解析式。2若與成正比例關系，且時，求關于的函數關系。3已知一次函數的圖象過點（3，
12、5）與（，），求這個一次函數的解析式。4已知直線與直線平行，且與軸的交點是（0，），求函數解析式。5直線圖象如右圖，求和的值。6一次函數y=kxb的自變量的取值范圍是3x6，相應函數值的取值范圍是5y2，求這個一次函數的解析式。7求經過點（2，0）且與坐標軸圍成的三角形面積為2的直線解析式。8在實際問題中求解析式（略）。2看圖象直接寫出：（1）ax+b=7的解是 。（2）ax+b0時，ax+b 。1看圖象直接寫出:（1）ax+b=0的解是 。（2）ax+b0的解集是 。（3）x-5時，ax+b 。例4：函數與方程、不等式的系列題組：3已知直線y1=ax+b和y2=mx+n的圖象如圖所示，根據圖
13、象填空（1）當x_ _時，y1y2；當x _時，y1=y2；當x_ _時，y1y2。（2）方程組的解為 。（三）加強對新舊知識之間內在聯(lián)系的認識首先函數知識與坐標系聯(lián)系密切，又如對和的異同，把以前學習的圖象平移與函數圖象聯(lián)系起來；待定系數法與解方程組聯(lián)系起來；“一次函數與方程、不等式”一節(jié)在更高的角度（變化和對應的角度），用一次函數把以前學習的方程和不等式等概念統(tǒng)一起來。此外一次函數還能與三角形、面積、勾股定理等知識相聯(lián)系產生綜合性問題。五、易錯題型1利用函數定義判斷函數關系時，不理解“單值對應”含義。例:下列關于x和y 的關系式y(tǒng)=x，y2 =x，y=2x2，y =|x|。其中y是x 的函數
14、的有 （填序號）。錯因：學生易把認為y是x的函數，而把認為不是函數關系。學生不理解函數定義中“對于x 的每一個確定的值，y 都有唯一確定的值與其對應”。2利用一次函數定義易忽視k0的條件。例:y=（1-m）x2-m2+m+3是一次函數，則m的值是 。錯因：學生易錯解為2-m2 =1，得m=1或-1。忽視了1-m0的條件，實際上m=-1。3對于正比例函數與一次函數聯(lián)系不明確，易忽視正比例函數是一次函數的特例。例:已知一次函數y=(3-m)x+m-2的圖象不經過第二象限，則m的取值范圍為（ ）A、m2 B、m3 C、2m3 D、m2錯因：學生易錯解為：因為一次函數圖象不經過第二象限，則經過第一、三
15、、四象限，故3-m0，且m-20，解得m2。教學時要引導學生注意正比例函數是一次函數的特例的情形。當m-2=0時為正比例函數，此時圖象也不經過第二象限，故選D。4實際意義下一次函數作圖易忽視范圍要求。例:某校辦工廠現在年產值是15萬元，計劃今后每年增加2萬元。（1）寫出年產值y（萬元）與年數x 之間的關系式；（2）畫出函數的圖象。錯因：由題意可知問題中x0，畫出的圖象應是一條射線，而學生易忽視題目中有實際意義確定的自變量的范圍要求，而把圖象習慣畫成一條直線。5體會不到“數形結合思想”是解決函數問題的有效途徑。例：一次函數y=kx+b過點（1，1）、（-3，2），則此函數圖象不經過第 象限。錯因
16、：學生習慣用待定系數法求出函數解析式，再畫圖象確定經過第幾象限，從而得出不經過第三象限。實際上，利用數形結合思想，畫出函數的大致圖象，就能立即得出函數圖象不經過第三象限。而學生一般不會想到利用數形結合的方法快捷地找到答案。初二下學期第十九章一次函數測試卷一、 選擇題（每小題2分，共20分）1下列函數中，y是x的正比例函數的是（ ） Ay=-2x+1 By=2x2 C D2直線y=2x+2與x軸的交點坐標是（ ） A（0，2） B（2，0） C.（-1，0） D.（0，-1）3若點A（2，4）在函數ykx2的圖象上，則下列各點在此函數圖象上的是（ ）A（0，2）B（1.5，0） C（8,20）
17、D（0.5，0.5）4要從y=2x的圖像得到直線y=2x+3，就要把直線y=2x（ ）A向上平移3個單位 B向下平移3個單位C向上平移2個單位 D向下平移2個單位 S（米） 18 （分） 第5題5晚飯后小紅從家里出發(fā)去散步，右圖描述了她散步過程中離家s（米）與散步所用的時間t(分)之間的函數關系下面描述符合小紅散步情景的是（ ）A從家出發(fā),到了一個公共閱報欄,看了一會報后,就回家了.B從家出發(fā),一直散步(沒有停留),然后回家了.C從家出發(fā),到了一個公共閱報欄,看了一會報后,繼續(xù)向前走了一會,然后回家了.D從家出發(fā),散了一會步,就找同學去了,18分鐘后才開始返回.6函數y=k（xk）（k0）的圖
18、象不經過（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7點A（-2，y1）和B（5，y2）都在直線y=x+2上，則y1與y2的關系是（ ） A、y1y2 B、y1y2 C、y1y2 D、y1y28若函數y=2x+3與y=3x2b的圖象交x軸于同一點，則b的值為( )第9題A3BC9D9如圖，直線與y軸的交點是（0，3）,則當x0時，( ) A. y0 B. y0 D. y310兩個一次函數y=ax+b和y=bx+a，它們在同一坐標系中的圖象大致是（ ） ） A B C D二、填空題（每題3分，共18分） 11若點（3，）在一次函數的圖像上，則 。12直線y=3x1與兩坐標軸圍成的三角
19、形的面積為 。13已知油箱中有油25升，每小時耗油5升，則剩油量P(升)與耗油時間t(小時)之間的函數關系式為 。第16題14以下函數：y=2x2+x+1y=2ry=y=(1)xy=(a+x)(a是常數)。其中是一次函數的有 。(填序號)15已知函數是一次函數，則m ；此圖象經過第 象限。16. 函數y=ax+b的圖像如圖所示，則x-5時，ax+b 。三、解答題（共6大題，共62分）17（10分）求下列函數的自變量的取值范圍。（1） （2）18.（10分）已知一次函數y=(m-2)x+4-m ,當m為何值時,（1）直線經過第一、二、三象限。（2）直線與y軸的交點不在x軸的下方。（3）直線與y=
20、3x-2交于點(a,4)。19（10分）已知一個正比例函數和一個一次函數的圖像交于點P（-2、2），且一次函數的圖像過點（1，5）。（1）求這兩個函數的解析式；（2）在同一坐標系中，分別畫出這兩個函數的圖像；（3）若一次函數與y軸的交點為Q，求PQO的面積。20.（10分）網絡時代的到來，很多家庭都接入了網絡，電信局規(guī)定了撥號入網的兩種收費方式，用戶可以任選其一：A：計時制：3元/小時；B：全月制：54元/月（限一部個人住宅電話入網），此外B種上網方式要加收通信費1.2元/小時（1）某用戶某月上網的時間為x小時，兩種收費方式的費用分別（元）、（元），寫出、與x之間的函數關系式。（2）在上網時間
21、相同的條件下，請你幫該用戶選擇哪種方式上網更省錢？21.（10分）北京某廠和上海某廠同時制成某大型機器若干臺，北京該廠可支援外地10臺，上海該廠可支援外地4臺，現在決定給重慶8臺，漢口6臺如果從北京運往漢口、重慶的運費分別是400元/臺、800元/臺，從上海運往漢口、重慶的運費分別是300元/臺、500元/臺求：（1）設上海運往漢口x臺，總運費為y元，求y與x的函數關系式；（2）若要求總運費不超過8000元，共有幾種調運方案？（3）求出總運費最低的調運方案及最低總運費是多少元？22.（12分）如圖，在平面直角坐標系中，函數y=x的圖象l是第一、三象限的角平分線。（1）由圖觀察易知A（0，2）關
22、于直線l的對稱點A的坐標為（2，0），請在圖中分別標明B（5，3）、C（-2，5）關于直線l的對稱點B、C的位置，并寫出它們的坐標：B 、C ；（2）結合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發(fā)現：坐標平面內任一點P（m，n）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P的坐標為 ；（3）已知兩點D（0，-3）、E（-1，-4），試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標。初二下學期第十九章一次函數測試卷參考答案一、 選擇題（每小題2分，共20分）12345678910DCAACACDDB二、填空題（每題3分，共18分）11、10 12、 13、 14、 15、；一、二、四 16
23、、0三、解答題（共6大題，共62分）17（10分）（1） （2）18.（10分）（1） （2） （3）19（10分）解：（1）設正比例函數解析式為y=kx，將（-2，2）代入可得k=-1，正比例函數解析式為y=-x.設一次函數解析式為y=ax+b，將（-2，2）和（1，5）代入可得a=1，b=4一次函數解析式為y=x+4（2）如圖所示（3）Q（0，4）20.（10分）解；（1）A：計時制：3元/小時；B：全月制：54元/月（限一部個人住宅電話入網），此外B種上網方式要加收通信費1.2元/小時，得出：=3x，=1.2x+54，（2）由得，3x1.2x+54，解得x30；由=得，3x=1.2x+5
24、4，解得x=30； 由得，3x1.2x+54，解得x30；綜上所述：當該用戶上網時間少于30小時時，選擇A計時制上網省錢；當上網時間等于30小時時選擇計時制、全月制費用一樣；當上網時間超過30小時時選擇B全月制上網省錢21.（10分）解：（1）根據題意可知，上海運往漢口x臺，上海運往重慶4-x臺，北京運往漢口6-x臺，北京運往重慶4+x臺y=300 x+500（4-x）+400（6-x）+800（4+x）=200 x+7600（0 x4的整數）；（2）當y=200 x+76008000時，x2，即x=0，1，2，對應三種方案；（3）當x取最小值0時，y最小=7600，即上海運往漢口0臺，上海運往重慶4臺，北京運往漢口6臺，北京運往重慶4臺最低費用7600元22.（12分）解：（1）如圖，由點關于直線y=x軸對稱可知，B（3，5），C（5，-2）（2）由（1）的結果可知，坐標平面內任一點P（m，n）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P的坐標為 （n，m） （3）由（2）得，D（0，-3）關于直線l的對稱點D的坐標為（-3，0），連接DE交直線l于點Q，此時點Q到D、E兩點的距離之和最小 設過D（-3，0）、E（-1，-4）的設直線的解析式為y=kx+b，則 ，由得 所求Q點的坐標為（-2，-2）。9
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